Алгебра лекции 2 семестр
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
]Б |
= |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Так как вектор A неизвестен, то возьмем A |
|
X2 |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α11 |
|
α1n |
|
λ 0 … 0 |
|
|
Xn |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MБ (ϕ ) − λ E = − = |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α11 − λ |
|
|
αn1 |
… αnn |
0 0 … λ |
|
|
|
|
||||||||||||
|
α12 |
… α1N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
α21 |
|
α22 − λ |
… α2N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
αN1 |
|
|
… … αNN − λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Подставляя эту матрицу и столбец в равенство выше, |
||||||||||||||||||||||
получаем систему |
α12 X2 + …+ |
α1N XN = 0, |
|
|
||||||||||||||||||
|
( |
α11 − λ |
) |
X1 + |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α2N XN = 0, |
|
|
||||||||
|
|
|
α21 X1 + (α22 − λ ) X2 + …+ |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
αN1 X1 + |
αN 2 X2 + …+ |
(αNN − λ) XN = 0. |
|
||||||||||||||||
Ненулевые решения у этой однородной системы имеются |
||||||||||||||||||||||
тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы |
||||||||||||||||||||||
равен 0, т.е. |
|
MБ (ϕ ) − λ E |
|
= 0 . |
(ϕ ) − λE |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Заметим, что |
|
определитель |
|
|
MБ |
|
после вычисления |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
будет многочленом степени |
n от λ . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многочлен |
|
MБ |
(ϕ ) − λ E |
|
называется |
|
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
характеристическим многочленом оператора ϕ, а уравнение |
MБ (ϕ ) − λ E = 0 – характеристическим уравнением.
Это уравнение относительно одного неизвестного λ . ТЕОРЕМА 31. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение линейного оператора не зависят от выбора базиса, в котором вычисляется матрица оператора.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Б1, Б2 – базисы ненулевого n-мерного векторного пространства V над полем P, MБ1 (ϕ) , MБ2 (ϕ) –
матрицы ϕ в этих базисах соответственно. Тогда по теореме 19 верно равенство
MБ2 (ϕ) = TБ−11Б2 MБ1 (ϕ) TБ1Б2 .
Поэтому
MБ2 (ϕ ) − λ E = TБ−11Б2 MБ1 (ϕ ) TБ1Б2 − λ E =
= |
|
|
|
TБ−11Б2 MБ1 (ϕ ) TБ1Б2 − TБ−11Б2 (λE ) TБ1Б2 |
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
TБ−11Б2 (MБ1 (ϕ ) − λ E ) TБ1Б2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
TБ−11Б2 |
|
|
|
|
MБ1 (ϕ ) − λ E |
|
|
|
TБ1Б2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
TБ1Б2 |
|
|
MБ1 (ϕ ) − λ E |
|
|
|
|
|
MБ1 (ϕ ) − λ E |
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
= |
|
TБ Б |
2 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом |
|
MБ2 (ϕ ) − λ E |
|
= |
|
MБ1 (ϕ ) − λ E |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
41
Значит, характеристический многочлен линейного оператора |
||||||||||||||||
ϕ не зависит от выбора базиса, а потому и |
||||||||||||||||
характеристическое уравнение |
|
|
|
MБ (ϕ ) − λ E |
|
= 0 не зависит от |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
выбора базиса пространства V. |
▲ |
|
|
|||||||||||||
Решив уравнение |
|
MБ (ϕ ) − λ E |
|
|
= 0 , можно найти все |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
собственные значения оператора ϕ, а затем для каждого |
||||||||||||||||
собственного значения |
λ0 |
найти решения однородного |
||||||||||||||
уравнения |
( |
MБ |
( |
ϕ |
) |
− λ0 |
E |
) |
X = |
|
|
θ |
Б . Тем самым будут найдены |
|||
|
|
|
|
|
|
[ |
|
] |
|
|
все собственные векторы, соответствующие λ0 . |
||||||||
Для этого нужно найти ФСР данной системы, чтобы получить |
||||||||
базис подпространства собственных векторов оператора ϕ, |
||||||||
соответствующих собственному значению λ0 . |
||||||||
Линейные операторы с простым спектром |
||||||||
В данном пункте рассматривается случай линейного |
||||||||
оператора n-мерного векторного пространства, имеющего n |
||||||||
попарно различных собственных значений. |
||||||||
ТЕОРЕМА |
32 (о линейной независимости собственных векторов, |
|||||||
принадлежащих разным собственным значениям). Если |
||||||||
собственные векторы A1,A2,…,AM линейного оператора |
||||||||
имеют попарно различные собственные значения, то |
||||||||
последовательность |
A1,A2,…,AM – линейно независима. |
|||||||
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ϕ – линейный оператор векторного |
||||||||
пространства V, |
A1,A2,…,AM – собственные векторы ϕ, |
|||||||
принадлежащие различным собственным значениям, т.е. |
||||||||
выполняются условия: |
|
|
||||||
|
|
ϕ |
(A1) = λ1 A1,…,ϕ (AM) = λM AM |
(1) |
||||
|
|
λI |
≠ λK при I ≠ K . |
(2) |
|
|||
Далее доказательство проводится индукцией по m. |
||||||||
Если M = 1 , то A1 ≠ θ |
|
как собственный вектор и теорема |
||||||
верна. Пусть теорема верна для M−1 |
векторов. Докажем, что |
|||||||
она верна для m |
векторов. |
|
|
|||||
Пусть |
|
|
|
. |
|
(3) |
||
α1 |
A1 + …+ αM AM = θ |
|
||||||
Тогда |
|
AM |
|
= ϕ θ |
, |
|
||
ϕ |
( |
α1 A1 + …+ αM |
) |
|
||||
|
|
|
|
( ) |
|
|
||
α1 ϕ (A1) + …+ αM ϕ (AM ) = θ |
или |
(4) |
||||||
|
|
α1 λ1 A1 + …+ αM λM AM = θ . |
Прибавим к обеим частям равенства (4) соответствующие части равенства (3), умноженные на (−λM) . Тогда получим
равенство
α1 (λ1 − λM ) A1 + …+ αM −1 (λM −1 − λM ) AM −1 = θ . (5)
По индуктивному предположению последовательность собственных векторов A1,A2,…,AM −1 линейно независима.
Поэтому из (5) следует, что
α1 (λ1 − λM ) = 0,…, αM −1 (λM −1 − λM ) = 0 .
Из (2) следует, что α1 = 0,…, αM−1 = 0 . Подставим эти значения в (3) и получим αM AM = θ . Так как AM ≠ θ , то αM = 0 .
Следовательно, все коэффициенты в (3) нулевые и последовательность A1,A2,…,AM – линейно независима. ▲
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейный оператор ϕ n-мерного векторного пространства V над полем P, имеющий n попарно различных
42
собственных значений, называется оператором с простым спектром. Набор всех собственных значений линейного оператора называется его спектром.
ТЕОРЕМА 33 (о свойствах операторов с простым спектром).
Пусть ϕ – линейный оператор n-мерного векторного
пространства V над полем P с простым спектром λ1,λ2,…,λN |
||||
и A1,A2,…,AN – собственные векторы ϕ, принадлежащие |
||||
соответственно собственным значениям λ1,λ2,…,λN . Тогда |
||||
1) Б = a1; a2;…; aN |
– базис пространства V; |
|||
λ1 |
0 |
… |
0 |
|
|
λ2 |
|
0 |
|
0 |
… |
|
||
2) MБ (ϕ ) = |
– диагональная матрица, по |
|||
0 |
0 |
… λn |
|
|
диагонали которой стоят собственные значения; |
||||
3) для любого вектора |
C V , C = X1 A1 + …+ XN AN верно |
|||
равенство ϕ (C ) = λ1 X1 |
A1 + …+ λN XN AN . |
|||
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) По определению λI ≠ λK при I ≠ K . Тогда |
||||
по теореме 32 последовательность Б – линейно независима. А |
||||
так как DIMP V = N |
, то |
Б – базис пространства V. |
||
2) Так как |
|
|
|
|
ϕ (A1) = λ1 A1 = |
λ1 A1 + 0 A2 + …+ 0 AN , |
|||
ϕ (A2 ) = λ2 A2 = 0 A1 + λ2 A2 + …+ 0 AN , |
||||
|
|
|
|
, |
|
||||
ϕ (AN ) = λN AN = 0 A1 + 0 A2 + …+ λN AN |
||||
λ1 |
0 |
… |
0 |
|
|
λ2 |
|
|
|
0 |
… |
0 |
||
то MБ (ϕ ) = |
|
|
. |
|
0 |
0 |
λn |
||
3) Пусть C V , |
C = X1 A1 + …+ XN AN . Тогда |
ϕ(C ) = ϕ(X1 A1 + …+ XN AN ) = X1 ϕ(A1) + …+ XN ϕ(AN ) =
=λ1 X1 A1 + λ2 X2 A2 + …+ λN XN AN .▲
43
ТЕМА 9. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ |
|
|||||||||
§1. Основные определения, свойства и задачи |
||||||||||
Истоки теории квадратичных форм лежат в аналитической |
||||||||||
геометрии, а именно, в теории кривых второго порядка. В данном |
||||||||||
параграфе разбирается общий случай n переменных (или |
||||||||||
неизвестных) (в геометрии рассматриваются случаи N = 2 и N = 3 ). |
||||||||||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. |
Квадратичной формой F ( X1; X2; |
…; XN ) от n |
||||||||
переменных X1, X2,…, XN называется сумма, каждое слагаемое |
||||||||||
которой является или квадратом одной из переменных, или |
||||||||||
произведением разных переменных с коэффициентом. |
||||||||||
Квадратичная форма называется действительной или комплексной |
||||||||||
в зависимости от того, являются ли её коэффициенты |
||||||||||
действительными или комплексными числами. |
|
|
||||||||
Считая, что в квадратичной форме f уже сделано приведение |
||||||||||
подобных, введём для её коэффициентов следующие обозначения: |
||||||||||
коэффициент при XI |
2 обозначим через αI I , а коэффициент при Xi Xj |
|||||||||
для i ≠ j |
– через 2αi j |
, т.е. предполагаем, что αi |
j = α j i |
для всех |
||||||
1 ≤ I, J ≤ N . Ввиду этого сумма αi j Xi X j + α j i X j Xi |
(I ≠ J ) |
запишется в |
||||||||
виде |
X j + α j i X j Xi = 2αi j Xi X j (I ≠ J ) , |
|
|
|||||||
αi j Xi |
|
|
||||||||
а вся квадратичная форма f – в виде суммы всевозможных |
||||||||||
слагаемых αi j |
Xi Xj , где |
i, j |
независимо друг от друга пробегают |
|||||||
значения от 1 до n: |
|
|
|
N |
N |
|
|
|||
F = F (X1; X2; …; XN ) = |
|
|
||||||||
∑∑αI J XI X J . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
I =1 J =1 |
|
|
||
Матрицей квадратичной формы f называется квадратная матрица |
||||||||||
A = (αI J )N ×N , составленная из коэффициентов квадратичной формы: |
||||||||||
α11 α12 … α1N |
|
|
|
|
||||||
α21 α22 |
… α2N |
|
|
|
|
|||||
A = |
… |
… |
… |
… |
. |
|
|
|
||
|
αN1 |
αN2 |
… αNN |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
Ранг r матрицы A называется рангом квадратичной формы f. |
||||||||||
Если |
R = N , т.е. если матрица невырожденная, то и квадратичная |
|||||||||
форма f |
называется невырожденной, в противном случае – |
|||||||||
вырожденной. |
|
|
= α j i |
матрица A является симметрической т.к. |
||||||
Ввиду равенства αi j |
||||||||||
её элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны |
||||||||||
между собой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Заметим, что любая симметрическая матрица определяет, причём |
||||||||||
единственным образом, квадратичную форму, имеющую |
||||||||||
коэффициентами элементы этой матрицы. Известно, что квадратная |
||||||||||
матрица A тогда и только тогда будет симметрической, когда AT = A , |
||||||||||
где AT – транспонированная к матрице A. |
|
|
||||||||
|
|
|
X1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X2 |
|
столбец переменных квадратичной формы f, |
|||||
Обозначив X = |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим XT = |
XN |
|
|
|
… ; XN ) , и тогда квадратичную форму f можно |
|||||
(X1; |
X2; |
|
||||||||
записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|||
F = XT A X ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
это – матричная форма записи квадратичной формы f.
44
ПРИМЕР. Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
F |
(X1; X2; X3 ) |
= 2X12 − X22 + 3X32 − 2X1X2 |
+ 3X2X3 . |
|||||||||||||||||||||||||||
Тогда матрица этой квадратичной формы будет иметь вид: |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
−1 |
0 |
|
|
|
|
X1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
−1 |
|
−1 |
3 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
X |
T |
|
= (X1; X2; X3 ) и |
|||||||||||
A = |
|
|
2 |
X = X2 |
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
X3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
−1 |
0 |
|
X |
|
|
|
|||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
X |
A X = (X1; X2; X3 ) |
|
|
−1 |
|
−1 |
3 |
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
X2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
3 |
|
X3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
−X1 − X2 + |
X3; |
X2 |
|
+ 3X3 |
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||
= 2X1 − X2; |
2 |
2 |
|
|
X2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 X |
|
|
|
|
+ 3 X |
|
|
|
X3 |
|
|
|||
= |
2X |
2 − X |
|
X |
− X X |
2 |
− X |
2 |
+ |
3 |
X |
2 |
2 |
X |
3 |
+ 3X |
2 = |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
2 1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||
= 2X12 − 2X1X2 − X22 |
+ 3X2X3 + 3X32 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ТЕОРЕМА |
34 (об изменении матрицы квадратичной формы при |
|||||||||||||||||||||||||||||
линейном преобразовании). Если к квадратичной форме |
||||||||||||||||||||||||||||||
F = F (X1; X2; …; XN ) |
с матрицей A применить линейное |
|||||||||||||||||||||||||||||
преобразование переменных XI |
|
== ∑N |
Q I K YK , |
I = 1, 2,…, N , с матрицей |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K =1 |
|
|
|
|
|
|
Q = (QI J )N ×N , то получится квадратичная форма от n переменных |
|||||
Y1, Y2,…, YN с матрицей QTAQ . |
|
|
|||
|
Y1 |
|
|
|
|
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Y = |
Y2 |
|
. Тогда Y |
T |
= (Y1; Y2; … ;YN ) и |
|
|
|
|||
|
YN |
|
|
|
имеет вид X = QY . Откуда |
линейное преобразование переменных XI |
XT = YTQT и
F = XTAX = (Y TQT ) A (QY ) = YT (QTAQ )Y
или F = Y TBY , где B = QTAQ .
Матрица B является симметрической, т.к.
BT = (QTAQ)T = QT (QTA)T = QT (ATQTT ) =
= QTATQ = QTAQ = B .
Значит, B = QTAQ – матрица квадратичной формы от переменных
Y1, Y2,…, YN . ▲
ЗАМЕЧАНИЕ. Если преобразование переменных невырождено, т.е. матрица Q, а вместе с ней и матрица QT , невырожденные, то по
теореме о ранге произведения матриц ранги матриц A и QTAQ
равны, т.е. ранг квадратичной формы не изменяется при невырожденных линейных преобразованиях.
По аналогии с задачами аналитической геометрии рассмотрим вопрос о приведении квадратичной формы невырожденным линейным преобразованием к сумме квадратов переменных с некоторыми коэффициентами, т.е. к виду, в котором коэффициенты
45
при произведении переменных с разными номерами равны нулю. Такой вид квадратичной формы называется каноническим. ТЕОРЕМА 35. Если квадратичная форма
N N |
невырожденным линейным |
F = F (X1; X2; …; XN ) = ∑∑αI J XI X J |
|
I =1 J =1 |
|
преобразованием переменных приведена к каноническому виду |
f = β1y12 + β2y22 + …+ βNyN2 , то количество ненулевых |
|||||||||||||||||
коэффициентов в каноническом виде равно её рангу. |
|||||||||||||||||
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По замечанию выше ранг формы после применения |
|||||||||||||||||
к ней невырожденного линейного преобразования переменных не |
|||||||||||||||||
изменяется. Матрица канонического вида квадратичной формы |
|||||||||||||||||
f = β1 y12 + β2 y22 + …+ βN yN |
2 имеет диагональный вид |
||||||||||||||||
|
β1 |
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
β2 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
B = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
, значит, её ранг равен количеству ненулевых |
||||||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
βN |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
элементов, стоящих на главной диагонали. ▲ |
|||||||||||||||||
ТЕОРЕМА |
|
36 (основная теорема о квадратичных формах). Всякая |
|||||||||||||||
квадратичная форма некоторым невырожденным линейным |
|||||||||||||||||
преобразованием переменных может быть приведена к |
|||||||||||||||||
каноническому виду, причём если квадратичная форма имеет |
|||||||||||||||||
действительные коэффициенты, то и все коэффициенты |
|||||||||||||||||
соответствующего невырожденного линейного преобразования |
|||||||||||||||||
можно взять действительными. |
|
|
|||||||||||||||
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Индукция по количеству переменных n. |
|||||||||||||||||
При |
N = 1 |
квадратичная форма имеет вид |
F = F (X1) = α11X12 . |
||||||||||||||
Требуемое линейное преобразование – это тождественное |
|||||||||||||||||
преобразование |
X1 |
= Y1 , т.к. f уже имеет канонический вид. |
|||||||||||||||
Пусть для всех натуральных чисел 1 ≤ N ≤ K −1 , где K N , теорема |
|||||||||||||||||
верна. Докажем, что теорема верна и для N = K . |
|||||||||||||||||
Рассмотрим квадратичную форму |
|
|
|||||||||||||||
F = F (X1; X2; …; |
Xk ) |
k k |
|
|
|
||||||||||||
= ∑∑αi j Xi X j . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 j =1 |
|
|
|
|
Для доказательства теоремы достаточно построить соответствующее |
|||||||||||||||||
невырожденное линейное преобразование. |
|
||||||||||||||||
Пусть среди коэффициентов α11, α22,…, αKK , т.е. среди |
|||||||||||||||||
коэффициентов при XI 2 |
есть ненулевые. Не теряя общности можно |
||||||||||||||||
считать, что |
α11 ≠ 0 . Тогда квадратичная форма |
||||||||||||||||
H = α11−1 (α11 |
X1 |
+ α12 X2 + …+ α1K XK )2 |
|
||||||||||||||
содержит такие же слагаемые с переменным X1 , как и f, а |
|||||||||||||||||
квадратичная форма |
F1 |
= F − H будет содержать неизвестные |
|||||||||||||||
x2, x3,…, xK , но не будет содержать X1 . |
|
||||||||||||||||
Таким образом, невырожденное линейное преобразование |
|||||||||||||||||
переменных |
|
|
|
|
|
|
|
x2 + …+ α1K xK , |
|
||||||||
|
|
y1 |
= α11 x1 + α12 |
( ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= xI , |
если |
|
i = |
2, 3,…,k |
|
||||||
|
|
yI |
|
|
|
|
|||||||||||
даёт равенство f = α11−1 y12 + g , где g – квадратичная форма от |
|||||||||||||||||
переменных |
Y2, Y3,…, YK , которая получена из f невырожденным |
||||||||||||||||
линейным преобразованием, обратным к ( ) |
|||||||||||||||||
|
|
|
−1 |
y1 |
− |
|
−1 |
|
|
|
−1 |
α1K |
yK , |
||||
x1 |
= α11 |
|
|
α11 |
|
α12 y2 − …− α11 |
|||||||||||
xI |
= yI , |
|
если |
i |
= |
2, 3,…,k. |
|
|
|
46
Это преобразование имеет своим определителем число α11−1 , а |
||||||||
потому является невырожденым. |
||||||||
Форма g может быть приведена к каноническому виду |
||||||||
невырожденным линейным преобразованием по предположению |
||||||||
индукции, что и завершает доказательство. |
||||||||
Если же α11 = α22 = … = αKK = 0 , но есть αi j ≠ 0, i ≠ j , то можно |
||||||||
сделать вспомогательное невырожденное линейное преобразование, |
||||||||
приводящее к появлению в форме f квадратов переменных. Не теряя |
||||||||
общности, можно считать, что α12 ≠ 0 , т.е. f содержит слагаемое |
||||||||
2α12X1X2 . |
|
|
|
|||||
Применим линейное преобразование |
||||||||
X1 |
= |
Z1 |
− Z2, |
|||||
X2 |
= |
Z1 |
+ Z2, |
|||||
|
= ZI , |
если I = 3,…,K. |
||||||
XI |
||||||||
Это преобразование невырождено, т.к. его определитель |
||||||||
|
|
1 |
−1 0 0 |
|
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
1 |
0 0 |
|
= 2 ≠ 0 . |
|
= |
0 0 1 0 |
|
||||||
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
0 |
0 1 |
|
|
||
После преобразования в квадратичной форме появятся квадраты с |
||||||||
ненулевыми коэффициентами: |
||||||||
2α12X1X2 = 2α12 (Z1 − Z2 ) (Z1 + Z2 ) = 2α12Z12 − 2α12Z22 , |
||||||||
которые не могут сократиться ни с одним из остальных слагаемых, |
||||||||
т.к. в каждое из них входит одна из переменных Z3,…,ZK . |
||||||||
После этого доказательство сводится к рассмотренному выше случаю. |
||||||||
▲ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ. Алгоритм приведения квадратичной формы к |
||||||||
каноническому виду следует из доказательства теоремы. |
||||||||
ПРИМЕР. Привести к каноническому виду квадратичную форму |
||||||||
F (X1; |
|
X2; |
X3 ) = 2X1X2 − 4X1X3 + 6X2X3 . |
|||||
Так как в этой форме нет квадратов неизвестных, то вначале |
||||||||
применим невырожденное линейное преобразование |
||||||||
X1 = Y1 |
− Y2, X2 = Y1 + Y2, X3 = Y3 с матрицей |
|||||||
|
1 |
|
−1 |
0 |
||||
A = |
|
1 |
|
1 |
|
|||
|
|
0 . |
||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|||
|
|
|
1 |
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|||
f = |
2 |
(y1 − y2 ) (y1 + y2 ) − 4 (y1 − y2 ) y3 + 6 (y1 + y2 ) y3 = |
= 2Y12 − 2Y22 + 2 Y1 Y3 + 10 Y2 Y3 .
Коэффициент при Y12 отличен от нуля, поэтому можно выделить |
|||||||||||||||
квадрат одного переменного. Для этого положим |
|
|
|
|
|
||||||||||
Z1 = 2Y1 + Y3, |
Z2 = Y2, |
Z3 = Y3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y1 = 1 Z1 |
− 1 Y3 = 1 Z1 − |
1 Z3, |
Y2 = Z2, Y3 = Z3 – |
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
− |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
линейное преобразование с матрицей B = |
|
0 |
1 |
|
|
0 |
|
, причём |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
невырожденное, так как |
|
B |
|
= 2 ≠ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47
Делаем замену |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
f = 2y12 |
− 2y22 |
|
+ 2y1y3 +10y2y3 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= |
2 |
|
1 Z |
− |
1 Z |
3 |
2 |
− 2Z |
2 + 2 |
1 Z |
− |
1 Z |
3 |
Z |
3 |
|
|
+ 10Z Z |
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
22 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= |
2 Z1 − |
2Z2 |
|
|
− 2 Z3 +10Z2Z3 . |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Получилась форма с матрицей |
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. После этого |
|||||
В ней выделился полный квадрат переменного |
|
Z1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подвергаем оставшуюся квадратичную форму от переменных Z2, Z3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
аналогичным преобразованиям. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
T1 = Z1, T2 = −2Z2 + 5Z3, T3 = Z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Z1 = T1, Z2 |
= − |
1 T2 + 5 T3, Z3 = T3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Это преобразование с матрицей |
С = |
|
0 |
|
|
|
|
− 12 |
|
52 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
F |
= |
1 |
2 |
− |
|
− |
1 |
T2 + |
5 |
|
1 |
|
2 |
+ 10 |
|
|
|
1 |
T2 |
+ |
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
T1 |
2 |
2 |
2 |
T3 |
− |
2 |
T3 |
− |
2 |
2 |
T3 T3 = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= 12 T12 − 12 T22 +12T32 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Невырожденное линейное преобразование, сразу переводящее к |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полученному виду, имеет своей матрицей произведение A B C = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 −1 0 |
|
|
|
12 0 |
− 12 |
|
1 0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= 1 1 0 |
|
|
|
|
|
|
0 − 12 52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 0 1 |
|
|
0 0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 −1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
2 |
1 |
|
0 0 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
1 |
−12 |
|
|
− 12 |
|
5 |
2 |
|
= |
|
12 |
|
− |
12 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
12 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применив к f невырожденное ( |
|
A B C |
|
≠ 0) |
линейное преобразование |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
X1 = |
1 T1 + |
1 T2 − 3T3, X2 |
= 1 T1 |
− |
1 T2 + 2T3, X3 = T3 , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
можно сразу получить f в каноническом виде. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Заметим, что квадратичную форму к каноническому виду можно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
привести и другими преобразованиями, тоже линейными и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
невырожденными, и получить в общем случае другой результат. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Например, квадратичная форма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
F = 2X1X2 − 6X2X3 + 2X3X1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
преобразованием X1 |
= |
1 T1 + |
1 T2 + 3T3, X2 = |
1 T1 − |
1 T2 − T3, X3 = T3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|||||||
приводится к каноническому виду F |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
2 T1 |
|
− 2 T2 |
|
+ 6T3 , а |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
преобразованием X1 = T1 + 3T2 + 2T3, X2 = T1 − T2 − 2T3, |
X3 = T2 |
48
к виду F = 2T12 + 6T22 − 8T32 , причём оба преобразования линейные и
невырожденные.
Комплексная квадратичная форма может быть всегда приведена к
виду F = T12 + T22 |
+ …+ TR 2 , где r – ранг квадратичной формы f. |
|||||||||||||
В случае действительных квадратичных форм верна следующая |
||||||||||||||
ТЕОРЕМА (закон инерции действительных квадратичных форм). Число |
||||||||||||||
положительных и число отрицательных квадратов в каноническом |
||||||||||||||
виде, к которому приводится данная квадратичная форма с |
||||||||||||||
действительными коэффициентами, не зависит от выбора этого |
||||||||||||||
преобразования. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Число положительных квадратов канонического вида, к которому |
||||||||||||||
приводится квадратичная форма f, |
называется положительным |
|||||||||||||
индексом инерции. Число отрицательных квадратов – |
||||||||||||||
отрицательным индексом инерции, а разность между |
||||||||||||||
положительным и отрицательным индексами инерции – сигнатурой |
||||||||||||||
формы f. При заданном ранге формы задание любого из трёх |
||||||||||||||
определённых выше чисел определяет и два других. |
||||||||||||||
ТЕОРЕМА. Две квадратичные формы от n переменных с |
||||||||||||||
действительными коэффициентами тогда и только тогда |
||||||||||||||
переводятся друг в друга невырожденными действительными |
||||||||||||||
линейными преобразованиями, если эти формы имеют одинаковые |
||||||||||||||
ранги и одинаковые сигнатуры. |
|
|
|
|
||||||||||
§2. Положительно определённые квадратичные формы |
||||||||||||||
Квадратичная форма f от n |
переменных с действительными |
|||||||||||||
коэффициентами называется положительно определённой, если она |
||||||||||||||
приводится к каноническому виду, состоящему из n положительных |
||||||||||||||
квадратов, т.е. если ранг и положительный индекс инерции этой |
||||||||||||||
формы равны числу переменных. Критерием положительной |
||||||||||||||
определённости действительной квадратичной формы служит |
||||||||||||||
ТЕОРЕМА (критерий положительной определённости квадратичной |
||||||||||||||
формы). Квадратичная форма f от n переменных |
X1, X2,…, XN с |
|||||||||||||
действительными коэффициентами тогда и только тогда будет |
||||||||||||||
положительно определённой, когда при любых действительных |
||||||||||||||
значениях входящих в неё переменных, хотя бы одно из которых |
||||||||||||||
отлично от нуля, эта форма получает только положительные |
||||||||||||||
значения. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
К сожалению, эта теорема не дает возможности по коэффициентам |
||||||||||||||
действительной квадратичной формы установить, будет ли форма |
||||||||||||||
положительно определена или нет. |
|
|
|
|
||||||||||
Введем вспомогательные понятия, в терминах которых можно |
||||||||||||||
сформулировать положительную определённость действительной |
||||||||||||||
квадратичной формы по её коэффициентам. |
|
|
||||||||||||
Пусть f – действительная квадратичная форма от n переменных с |
||||||||||||||
матрицей A = (αi j ) . Миноры порядка 1, 2, …, n этой матрицы, |
||||||||||||||
расположенные в левом верхнем углу, т.е. миноры |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α11 α12 … α1K |
|
α11 α12 … α1N |
|
||
|
α11 |
|
, |
|
α11 α12 |
|
,…, |
α21 α22 |
… α2K |
,…, |
α21 α22 |
… α2N |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
α21 α22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
αK1 αK 2 |
… αKK |
|
αN1 αN2 |
… αNN |
|
из которых последний совпадает с определителем матрицы A, |
||||||||||||||
называются главными минорами формы f. |
|
|
||||||||||||
ТЕОРЕМА 37 (критерий Сильвестра положительной определённости |
||||||||||||||
действительной квадратичной формы). Квадратичная форма f от n |
||||||||||||||
переменных с действительными коэффициентами тогда и только |
||||||||||||||
тогда будет положительно определённой, когда все её главные |
||||||||||||||
миноры строго положительны. |
|
|
|
|
||||||||||
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Индукция по n. При N = 1 теорема верна, т.к. форма |
||||||||||||||
f в этом случае имеет вид F |
= α11X12 и потому положительно |
49
определена тогда и только тогда, когда α11 > 0 . Далее предположим, что теорема верна в случае N −1 переменной и докажем её для форм
с n переменными.
Заметим, что если форма f с действительными коэффициентами, составляющими матрицу A, подвергается невырожденному линейному преобразованию с действительной матрицей Q, то знак определителя формы, т.е. определителя её матрицы, не меняется. Действительно, после указанного преобразования получаем
квадратичную форму с матрицей QTAQ , а т.к. QT = Q , то
|
QT A Q |
|
= |
|
A |
|
|
|
Q |
|
2 , т.е. |
|
A |
|
умножается на положительное число и его |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
знак не |
|
меняется. |
|
|
|
|
|
|
N N |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пусть дана квадратичная форма |
F |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= ∑∑αI J XI X J . Тогда её можно |
||||||||||||||||||||||||||||||
записать в виде |
|
|
|
|
|
|
I =1 J =1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
N −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 , |
|
(1) |
|
|||||
|
F = ϕ (X1; X2; …; XN −1) + 2 ∑αI N XI XN + αNN XN |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где ϕ – квадратичная форма от N −1 переменной, составленная из |
||||||||||||||||||||||||||||||
тех членов формы |
F, в которые не входит XN . Главные миноры ϕ |
|||||||||||||||||||||||||||||
совпадают со всеми, кроме последнего |
|
A |
|
, главными минорами |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
формы F. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в этом случае тоже |
||||||||||||||||
Пусть форма F положительно определена. Форма ϕ |
||||||||||||||||||||||||||||||
положительно определена, т. к. если бы нашлись значения |
||||||||||||||||||||||||||||||
переменных X1,X2,…,XN −1 , не все равные нулю, при которых форма |
||||||||||||||||||||||||||||||
ϕ получает не строго положительное значение, то, полагая |
||||||||||||||||||||||||||||||
дополнительно XN |
= 0 , получим, что форма F принимает не строго |
|||||||||||||||||||||||||||||
положительное значение, хотя не все значения переменных |
||||||||||||||||||||||||||||||
X1, X2,…, XN −1, XN равны нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Поэтому по индуктивному предположению все главные миноры |
||||||||||||||||||||||||||||||
формы ϕ, т.е. все главные миноры формы |
F, кроме, быть может, |
|||||||||||||||||||||||||||||
последнего, строго положительны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Положительность последнего главного минора формы F, определителя |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
A |
|
, вытекает, по замечанию выше, из того, что у формы F в |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
каноническом виде F = X12 + …+ XN |
2 положительно определены все |
||||||||||||||||||||||||||
главные миноры её матрицы QT A Q , а значит, |
|
A |
|
> 0 . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Наоборот, пусть строго положительны все главные |
|
|
|
миноры формы F. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Тогда строго положительны и все главные миноры формы ϕ, и она |
||||||||||||||||||||||||||||||
положительно определена по индуктивному предположению. |
||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, существует такое невырожденное линейное |
||||||||||||||||||||||||||||||
преобразование переменных X1,X2,…,XN −1 , которое приводит форму |
||||||||||||||||||||||||||||||
ϕ к виду суммы N −1 положительных квадратов от новых |
||||||||||||||||||||||||||||||
переменных Y1,Y2,…,YN −1 . Это невырожденное линейное |
||||||||||||||||||||||||||||||
преобразование можно дополнить до невырожденного линейного |
||||||||||||||||||||||||||||||
преобразования всех переменных |
X1,X2,…,XN , полагая |
XN = YN . |
||||||||||||||||||||||||||||
Ввиду (1), форма приводится указанным преобразованием к виду |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
f = y12 + y22 + …+ yN −12 + 2N∑−1βI J yI yN + βNN yN |
2 . |
|
|
(2) |
|||||||||||||||||||||||
Заметим, что |
|
|
|
|
I |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
+ βI N YN )2 − βIN2 YN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
YI 2 + 2βI N YI YN = (YI |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Поэтому невырожденное линейное преобразование |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
ZI = YI + βI N YN , ZN = YN , приводит f |
из (2) к каноническому виду |
50