2.3 Транспортная задача

Задача. Фирма имеет три магазина розничной торговли, расположенные в разных районах города (А, В, С). Поставки продукции в эти магазины осуществляются с четырех складов (1,2,3,4). Найти оптимальные распределение поставок, при котором суммарные затраты на перевозку были бы минимальными.

Решение. Данные приведены в матрице ниже:

Номер склада	Магазины				Запасы
	А	В	С
1	2	4	3	30
2	2	5	2	25
3	4	1	4	15
4	5	3	5	30
Спрос	40	20	40

Проверим закрытость ТЗ (транспортной задачи):

40+20+40=30+25+15+30=100

Общий спрос равен сумме всех запасов, следовательно, ТЗ закрытая.

Произведем первоначальное распределение первоначально методом северо-западного угла и затем методом минимального элемента, чтобы увидеть разницу, как быстрее получить оптимальный план поставок.

Распределяем методом северо-западного угла. Получаем матрицу:

	V1=2	V2=5	V3=8	Запас
U1=0	30 2	4	3	30
U2=0	10 2	15 5	2	25
U3=-4	4	5 1	10 4	15
U4=-3	5	3	30 5	30
Спрос	40	20	40

Воспользуемся следующей формулой для проверки количества занятый ячеек:

n+m-1, где:

n – количество потребителей,

m - количество поставщиков.

Применим это формулу для нашей задачи: 3+4-1=6. Вводить дополнительных нули не надо.

По заполненным клеткам ищем транспортные издержки:

T=30*2+10*2+15*5+5*1+10*4+30*5=350.

Теперь считаем потенциалы по формуле (i- производитель, j- потребитель) :

Ui+Vj=Cij.

Предполагаем, что U1=0, тогда:

U1+V1=2; U2+V1=2; U2+V2=5;

U3+V2=1; U3+V3=4 U4+V3=5.

Для проверки оптимальности данного плана находим оценки по незаполненным клеткам, используя формулу:

∆ij=Ui+Vj-Cij.

Применяем данную формулу: ∆12=0+5-4= 1; ∆13=0+8-3= 5; ∆23=0+8-2= 6;

∆31=-4+2-4= -6; ∆41=-3+2-5= -6 ∆42=-3+5-3= -1.

Условия оптимальности не выполняются.

Произведем распределение методом минимального элемента:

	V1=2	V2=0	V3=2	Запас
U1=0	30 2	4	3	30
U2=0	2	5	25 2	25
U3=1	4	15 1	4	15
U4=3	10 5	5 3	15 5	30
Спрос	40	20	40

Рассчитываем транспортные издержки:

T=30*2+25*2+15*5+5*3+10*5+15==265.

Как мы может заметить, сразу издержки сократились. Возможно, найден оптимальный план поставок. Проверим это, найдя потенциалы и затем оценки.

Потенциалы находим и записываем в таблицу по вышеприведенной формуле.

Затем считаем оценки, получаем:

∆12=0+0-4= -4; ∆13=0+2-3= -1; ∆21=0+2-2= 0;

∆22=0+0-5= -5; ∆31=1+2-4= -1; ∆33=1+2-4= -1.

Как мы видим, оптимальный план поставок найден, все оценки или отрицательные или равны нулю.

Ответ: Фирма должна производить шесть перевозок следующим образом, для того, чтобы затраты на транспортировку товаров были минимальны в размере 265 ден. ед.:

1. от первого поставщика – 30 единиц продукции к первому потребителю,

2. второй поставщик 25 единиц к третьему,

3. третий поставщик 15 единиц второму потребителю,

4. четвертый поставщик производит три перевозки: 10 единиц первому потребителю, 5 единиц второму, и 15 единиц третьему потребителю.