2. Практическая часть

2.1 Задача линейного программирования

Задача. Для производства двух видов изделий A и B предприятие использует три вида сырья (I, II, III). Условия задачи приведены в таблице. Необходимо составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия от реализации продукции будет максимальной.

Вид сырья	Нормы расхода сырья на 1 изделие (кг.)		Общее количество сырья (кг.)
	А	В
I	7	5	347
II	7	2	300
III	8	1	357
Прибыль от 1 изделия (д. ед.)	11	7

Введем обозначения в виде переменных:

1 – изделия А, 2 – изделия В.

Запишем систему ограничений и целевую функцию:

71+52≤347;

71+22≤300;

81+2≤357.

V=111+72max

Строим прямые. Для этого находим точки, по которым их будем строить:

1+52=347; 1 0 49,6 2 69,4 0 1+22=300 1 0 43 2 150 0

1+2=357 1 0 44,6 2 357 0

После того, как мы начертили график по найденным координатам точек, получаем многоугольник АBCD, удовлетворяющий областе допустимых значений.

Вектор целевой функции q имеет координаты (0;0) (11; 13). Строим к нему перпендикуляр и переносим его к каждой точке полупившегося многоугольника. Точка С – точка оптимума, где функция приобретает наибольшее значение.

По графику тяжело определить, какие точка С имеет координаты. Для этого решим систему уравнений прямых, на пересечении которых лежит данная точка. Это вторая прямая и прямая 2=0:

71+22=300; 2=0

1= 2=0

Точка C имеет координаты (124; 0).

Находим прибыль, подставляя координаты точки С в уравнение целевой функции: 111+72 = 11*43=473.

Ответ: Для получения максимальная прибыль в размере 473 д. ед. предприятие должно выпускать только изделие А в размере 43 ед. и отказаться от производства изделия В.

2. Задача динамического программирования

Задача. Совет директоров фирмы рассматривает предложение по наращиванию производственных мощностей для увеличения выпуска однородной продукции на четырех предприятиях, принадлежащих фирме. Для модернизации предприятия совет директоров инвестирует средства в объеме 250 млн. р. с дискретностью 50 млн. р. Прирост выпуска продукции зависит от выделенной суммы, его значения представлены в таблице:

f1	f2	f3	f4	xi
0	0	0	0	0
25	26	27	28	50
34	33	35	35	100
46	46	45	44	150
57	58	56	55	200
78	77	79	80	250

Первый этап: условная оптимизация.

1. k = 4.

Предположим, что все средства в количестве x₄ = 250 отданы предприятию №4. В этом случае, максимальный доход, как это видно из таблицы, составит f₄(u₄) = 80, следовательно, F₄(e₄) = f₄(u₄)

e3	u4	e4 = e3 - u4	f4(u4)	F*4(e4)	u4(e4)
50	0	50	0
	50	0	28	28	50
100	0	100	0
	50	50	28
	100	0	35	35	100
150	0	150	0
	50	100	28
	100	50	35
	150	0	44	44	150
200	0	200	0
	50	150	28
	100	100	35
	150	50	44
	200	0	55	55	200
250	0	250	0
	50	200	28
	100	150	35
	150	100	44
	200	50	55
	250	0	80	80	250

2. k = 3.

Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между предприятиями №3, 4. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид: F₃(e₃) = max(x₃<= e₃)(f₃(u₃) + F₄(e₃-u₃)).

e2	u3	e3 = e2 - u3	f3(u3)	F*3(e2)	F2(u3,e2)	F*3(e3)	u3(e3)
50	0	50	0	28	28	28	0
	50	0	27	0	27
100	0	100	0	35	35
	50	50	27	28	55	55	50
	100	0	35	0	35
150	0	150	0	44	44
	50	100	27	35	62
	100	50	35	28	63	63	100
	150	0	45	0	45
200	0	200	0	55	55
	50	150	27	44	71
	100	100	35	35	70
	150	50	45	28	73	73	150
	200	0	56	0	56
250	0	250	0	80	80
	50	200	27	55	82
	100	150	35	44	79
	150	100	45	35	80
	200	50	56	28	84	84	200
	250	0	79	0	79

3. k = 2.

Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между предприятиями №2, 3, 4. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид: F₂(e₂) = max(x₂<= e₂)(f₂(u₂) + F₃(e₂-u₂)).

e1	u2	e2 = e1 - u2	f2(u2)	F*2(e1)	F1(u2,e1)	F*2(e2)	u2(e2)
50	0	50	0	28	28	28	0
	50	0	26	0	26
100	0	100	0	55	55	55	0
	50	50	26	28	54
	100	0	33	0	33
150	0	150	0	63	63
	50	100	26	55	81	81	50
	100	50	33	28	61
	150	0	46	0	46
200	0	200	0	73	73
	50	150	26	63	89	89	50
	100	100	33	55	88
	150	50	46	28	74
	200	0	58	0	58
250	0	250	0	84	84
	50	200	26	73	99
	100	150	33	63	96
	150	100	46	55	101	101	150
	200	50	58	28	86
	250	0	77	0	77

4. k = 1.

Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между предприятиями №1, 2, 3, 4. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид: F₁(e₁) = max(x₁<= e₁)(f₁(u₁) + F₂(e₁-u₁))

e0	u1	e1 = e0 - u1	f1(u1)	F*1(e0)	F0(u1,e0)	F*1(e1)	u1(e1)
50	0	50	0	28	28	28	0
	50	0	25	0	25
100	0	100	0	55	55	55	0
	50	50	25	28	53
	100	0	34	0	34
150	0	150	0	81	81	81	0
	50	100	25	55	80
	100	50	34	28	62
	150	0	46	0	46
200	0	200	0	89	89
	50	150	25	81	106	106	50
	100	100	34	55	89
	150	50	46	28	74
	200	0	57	0	57
250	0	250	0	101	101
	50	200	25	89	114
	100	150	34	81	115	115	100
	150	100	46	55	101
	200	50	57	28	85
	250	0	78	0	78

Пояснение к построению таблиц:

Столбцы 1 (вложенные средства), 2 (проект) и 3 (остаток средств) для всех трех таблиц одинаковы, поэтому их можно было бы сделать общими.

Столбец 4 заполняется на основе исходных данных о функциях дохода, значения в столбце 5 берутся из столбца 7 предыдущей таблицы, столбец 6 заполняется суммой значений столбцов 4 и 5 (в таблице 4-го шага столбцы 5 и 6 отсутствуют).

В столбце 7 записывается максимальное значение предыдущего столбца для фиксированного начального состояния, и в 8 столбце записывается управление из 2 столбца, на котором достигается максимум в 7.

Второй этап: безусловная оптимизация.

Из таблицы 4-го шага имеем F*₁(e⁰ = 250) = 115. То есть максимальный доход всей системы при количестве средств e⁰ = 250 равен 115.

Из этой же таблицы получаем, что 1-му предприятию следует выделить u*₁(e⁰ = 250) = 100

Остаток средств составит: e¹ = e⁰ - u¹ e¹ = 250 - 100 = 150.

Из таблицы 3-го шага имеем F*₂(e¹ = 150) = 81. То есть максимальный доход всей системы при количестве средств e¹ = 150 равен 81.

Из этой же таблицы получаем, что 2-му предприятию следует выделить u*₂(e¹ = 150) = 50.

При этом остаток средств составит: e² = e¹ - u² e² = 150 - 50 = 100.

Из таблицы 2-го шага имеем F*₃(e² = 100) = 55. То есть максимальный доход всей системы при количестве средств e² = 100 равен 55.

Из этой же таблицы получаем, что 3-му предприятию следует выделить u*₃(e² = 100) = 50.

При этом остаток средств составит: e³ = e² - u³ e³ = 100 - 50 = 50 Последнему предприятию достается 50.

Ответ: Для модернизации предприятия совету директоров, чтобы обеспечить максимальный доход, равный 115 млн. рублей, следует распределить инвестиции в размере 250 млн. рублей следующим образом:

• первому предприятию выделить 100 млн. руб.;

• второму предприятию выделить 50 млн. руб.;

• третьему предприятию выделить 50 млн. руб.;

• четвертому предприятию выделить 50 млн. руб.