2. Транспортная задача

Среди задач линейного программирования выделяется класс задач, условия постановки которых в определенной степени позволяют упростить процедуру их решения и определить специфические алгоритмы нахождения этих решений. Этот класс задач получил название "Транспортные задачи".

Рассмотрим постановку таких задач.

Пусть имеем m предприятий A₁, A₂,..., A_m, производящих один и тот же продукт в количествах соответственно a₁, a₂,..., a_m.

Пусть, далее, имеется n потребителей (складов) B₁, B₂,..., B_n с потребностями (вместимостями) соответственно b₁, b₂,..., b_n.

Пусть весь произведенный продукт может быть размещен на складах B₁, B₂,..., B_n при полном их заполнении.

Пусть, наконец, перевозка единицы продукции из пункта A_i в пункт B_j оценивается величиной c_ij (c_ij - заданы).

Необходимо определить наилучший план перевозок по стоимости, т.е. такой план, который давал бы минимальную стоимость перевозок всей произведенной продукции на склады.

Строим математическую модель.

Пусть x_ij - количество продукта, перевозимого из пункта A_i в пункт B_j. Из постановки задачи очевидно, что каждый склад вмещает:

 

А так как производится столько продукции, сколько ее потребляется (складируется), то:

 

(продукт с предприятия вывозится полностью).

Далее, очевидным является то, что количество перевозимой с предприятия на склад продукции не может быть отрицательным, т.е.

Так как необходимо определить наилучший план перевозок по стоимости, то строим целевую функцию суммарных затрат на перевозки. Она должна быть минимизирована. Такая целевая функция имеет вид:

Таким образом, имеем следующую математическую постановку задачи. Найти такие x_ij, которые доставляют минимум линейной форме L, т.е. и удовлетворяют условиям:

	(1)
	(2)
	(3)

Из (1) и (2) следует, что

закрытая транспортная задача

Именно в этом соотношении заключается основная специфика выделенного класса задач, так как это соотношение определяет дополнительное условие (как бы скрытое), которое позволяет произвольным образом распорядиться одной из переменных x_ij, а тем самым упростить решение задачи).

Заполнение таблицы транспортной задачи начинается с левого верхнего угла, поэтому и называется метод северо-западного угла.

1. Правило "северо-западного угла"

При нахождении опорного плана транспортной задачи методом "северо-западного угла" на каждом шаге рассматривают первый из оставшихся пунктов отправления и первый из оставшихся пунктов назначения. Заполнение транспортной таблицы начинается с левого верхнего угла (северо-западного), двигаясь далее по строке вправо или по столбцу вниз (увеличение i, увеличение j). Переменной Х11 приписывают максимальное значение, допускаемое ограничениями на спрос и запасы.

После этого вычеркивают соответствующий столбец или строку, фиксируя этим, что остальные переменные вычеркнутого столбца (строки) полагаются равными нулю. Если ограничения выполняются одновременно, то можно вычеркнуть либо строку, либо столбец. Процесс завершается тогда, когда будет присвоено значение переменной хmin.

Исходный опорный план, построенный по правилу "северо-западного угла", обычно оказывается весьма далеким от оптимального, так как при его формировании не учитывается стоимость перевозок (величина сij). Более совершенным правилом является правило "минимального элемента".

В методе "северо-западного угла" первоначальное заполнение таблицы начинается с левого верхнего угла. В данном методе на каждом шаге потребность первого из оставшихся пунктов назначения удовлетворяется за счет запасов первого из оставшихся пунктов отправления. Очевидно, что выбор пунктов назначения и отправления целесообразно производить, ориентируясь на стоимость перевозок, а именно на каждом шаге следует выбирать какую-либо клетку, отвечающую минимальному тарифу (если таких клеток несколько, то следует выбирать любую из них), и рассматривать пункты назначения и отправления, соответствующие выбранной клетке.

Правило "минимального элемента" заключается в том, чтобы перевозить максимально возможные объемы из пунктов отправления маршрутами минимальной стоимости. Заполнение таблицы начинаем с клетки, которой соответствует наименьшая стоимость перевозки (элемент cij) из всей таблицы. Переменной этой клетки хij присваивается максимально возможное значение с учетом ограничений. Затем остаток по столбцу или строке помещается в клетку того же столбца или строки, которой соответствует следующее по величине значение сij и т. д. Иными словами, последовательность заполнения клеток определяется по величине сij, а помещаемая в этих клетках величина хij такая же, как и в правиле "северо-западного угла". При решении нашей задачи мы будем пользоваться именно этим методом.