расчет статически определимой фермы

x

,

x

, x (0, d, 2d, 3d, 4d, 5d, 6d) ,

RA 1

l

RB

l

где x координата

x ,

по

оси

определяющая

положение единичной силы

(начало координат совмещено с точкой A); l 6d длина пролета.

Рассечем стержни 3-й панели сечением I I

и представим схемы действия

усилий в рассеченных стержнях (рис. 2.12, а).

откуда

(N4 3 )oc d RB 3d 0,

x (0, d, 2d) ,

x

oc

oc

(N4 3 )

(N3 4 )

RB 3 3

,

x (0, d, 2d) .

l

Данное равенство описывает левую ветвь (рис. 2.12,

б) линии влияния

oc

oc

= 0. При x 2d ордината равна (–1,0).

(N3 4 )

. При х = 0 ордината (N3 4 )

Если единичная сила находится правее сечения I I

x (3d, 4d, 5d, 6d) ,

oc

x (3d, 4d, 5d, 6d) ,

(N3 4 )

d RA 3d 0,

oc

x

откуда

(N3 4 )

RA 3

3(1

) , x (3d, 4d, 5d, 6d) .

l

Данное равенство описывает правую ветвь (рис. 2.12, б) линии влияния

oc

l

oc

(N3 4 )

. При

x

3d

ордината (N3 4 )

равна (–1,5). При х = l 6d ордината

2

oc

= 0.

(N3 4 )

oc

d

x (0, d, 2d) ,

(N10 9 )

RB 4d 0 ,

x

oc

oc

откуда

(N10 9 )

(N9 10 )

RB 4

4

,

x (0, d, 2d) .

l

oc

oc

При х = 0 ордината

0. При х = 2d и l = 6d ордината

(N10 9 )

(N9 10 )

oc

oc

4

1,33 . Соединяя концы ординат, получили левую ветвь

(N10 9 )

(N9 10 )

3

oc

oc

.

(рис. 2.12, в) линии влияния (N10 9 )

(N9 10 )

Если единичная сила находится правее сечения I I

x (3d, 4d, 5d, 6d)

(N9 10 )oc d RA 2d 0 ,

x (3d, 4d, 5d, 6d) ,

(N9 10 )

oc

RA 2

2

x

x (3d, 4d, 5d, 6d) .

откуда

1

,

l

12

Линия

влияния

oc

. Построим линию

влияния усилия

(N3 10 )

oc

=

oc

. Если

единичная сила находится

левее сечения I I

(N3 10 )

(N10 3 )

нулю суммы проекций сил на ось y : Piy

0, следует

oc

o

0 ,

x (0, d, 2d) ,

(N10 3 )

sin 45

RB

oc

oc

RB

x / l

x (0, d, 2d) .

откуда

(N10 3 )

(N3 10 )

,

sin 45o

2 / 2

oc

oc

= 0. При х = 2d, l = 6d ордината

При х = 0 ордината (N10 3 )

(N3 10 )

oc

oc

2 2

2

2

(N10 3 )

(N3 10 )

=

0, 47 . Соединяя концы ординат

6

2

3

2

3

oc

oc

.

(рис. 2.12, г), получим левую ветвь линии влияния (N10 3 )

(N3 10 )

Если единичная сила находится правее сечения

I I

x (3d, 4d, 5d, 6d)

oc

o

0 ,

x (3d, 4d, 5d, 6d) ,

(N3 10 )

sin 45

RA

oc

RA

1

x / l

x (3d, 4d, 5d, 6d) .

откуда

(N3 10 )

,

sin 45

o

2 / 2

oc

1

0,5

1

2

При х = 3d = l/2 ордината (N3 10 )

=

0,707 .

2 / 2

2

2

x = l

ордината

oc

При

=

0.

Соединяя

концы ординат, получим

(N3 10 )

(рис. 2.12, г) правую ветвь линии влияния

oc

.

(N3 10 )

Соединив концы ординат (–0,47) при x

= 2d

(9-й узел) и (0,707) при

ш

x3

ш

x3

x3 (0, d / 2, d) ,

(R9 )

1

,

(R10 )

,

d

d

Линия влияния (N )ш . Рассечем стержни шпренгеля

сечением I I

9 1

I I (в узле 9,

(рис. 2.13, б). Если единичная сила находится левее сечения

лю суммы проекций сил на ось y : Piy 0,

следует

1 (N )ш sin 45o R 0 ,

x 0 ,

9 1

9

3

откуда с учетом, что при x3 0 R9

1

(N )ш

1 R9

1 1

0 .

2 / 2

9 1

sin 45o

а)

б)

Рис. 2.14. Расчетные схемы для определения (N )ш

и

(N 1 1 )ш

9 1

9 2

Если единичная сила находится правее сечения I I

(в узлах 2 и 10,

ва нулю суммы проекций сил на ось y : Piy

0,

следует

(N

)ш sin 45o

R 0 ,

x (d / 2, d) ,

9 1

R9

9

3

откуда

(N

)ш

1 x3 / d

,

x (d / 2, d) .

sin 45o

d

9 1

2 / 2

3

При x3

2

(когда единичная сила находится в узле 2 )

(N

)ш (1 0,5)

1

2

0,707 .

9 1

2 / 2

2

2

При x3 = d (когда единичная сила находится в узле 10)

(N )ш

(1 1)

= 0.

9 1

2 / 2

Соединив концы ординат (N

(N

)ш 0

при

x 0 и

)ш 0,707 при

9 1

3

9 1

x d / 2 , а также концы ординат (N )ш

0,707

при

x d

/ 2 и (N )ш 0

3

9 1

9 1

при x d , получим линию влияния усилия (N

)

ш

в стержне 9 1 шпренгеля

3

9 1

Линия влияния(N 1 1 )ш .

Если единичная сила

находится левее

сечения

9 2

I I

(в узле 9, x3 0 ), то из условия равновесия сил в узле 9 (рис. 2.14, а) в ви-

де равенства нулю суммы проекций сил на ось x : Pix

0 ,

следует

(N )ш cos 45o (N )ш 0 , при

x

0 ,

9 1

9 2

3

откуда с учетом, что при x 0 (N )ш = 0

3

9 1

(N9 2 )ш 0 .

I I

(в узлах

2 и 10,

Если единичная сила находится правее сечения

ва нулю суммы проекций сил на ось x : Pix 0 ,

следует

(N )ш cos 45o

(N )ш 0 ,

x (d / 2, d) ,

откуда

9 1

9 2

3

(N

)ш (N

)ш cos 45o ,

x (d / 2, d) .

d

9 2

9 1

3

При x3

2

(когда единичная сила находится в узле 2 )

(N )ш

(N )ш cos 45o ( 0,707) 0,707 0,5.

9 2

9 1

При x3 = d (когда единичная сила находится в узле 10)

(N )ш (N )ш cos 45o

0 0,707 0 .

9 2

9 1

Соединив

концы

ординат

(N9 2 )ш 0 при

x3 0 и (N9 2 )ш 0,5 при

x3 d / 2 , а также концы ординат (N9 2 )ш 0,5 при x3 d / 2

и (N9 2 )ш 0 при

ш

в стержне

x3 d , получим линию влияния усилия (N9 2 )

9 2 шпренгеля

(рис. 2.15, б).

Линия влияния (N

)ш .

Если единичная сила находится левее сечения

2

1

I I (в узле 9, рис. 15, б), то из условия равновесия сил в узле 2 (рис. 2.16, а) в

виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y : Piy 0,

следует, что

(N

)ш 0 , при

x 0 .

2

1

3

а)

б)

в)

Рис. 2.16.

(N

)ш 1 0 ,

(N

)ш 1, x d / 2 .

2

1

2

1

3

Если единичная сила приложена к узлу 10 ( x3 d ), то из условия равнове-

(рис. 2.16, в) в виде равенства нулю суммы проекций сил на

сия сил в узле 2

ось y : Piy 0,

следует

(N

)ш 0 ,

x d .

2

1

3

Соединив концы ординат (N

)ш 0

при x 0 ,

(N

)ш 1

при x d / 2

2 1

3

2

1

3

влияния усилия

ш

соответствует линии влияния усилия

ш

(N10 2 )

(N9 2 )

на рис. 2.15, б.

2.4.3. Линии влияния усилий в стержнях 3-й панели на участках (1 10 ),

( 9 2 ),

( 2 10 )

На участке между узлами 9 и 10

N9 2 = (N9 10 )ос + (N9 2 )ш .

При x 2d

N9 2

= 1,33 + 0 = 1,33.

При x 2,5d N9 2 = 2(1 2,5) 0,5

7

0,5 1,66

6

6

При x 3d

N9 2

= 2(1 3) 0 1.

6

После

узла

10

линия

влияния

N9 2

соответствует

правой

ветви

(рис. 2.12, в) линии влияния усилия (N9 10 )ос основной фермы.

Окончательная линия влияния усилия N9 2

примет вид, изображенный на

рис. 2.12, д.

.

Линия влияния усилия N

1 10

соответствует левой ветви (рис. 2.12, г) ли-

До узла 9 линия влияния N

1 10

oc

основной фермы. На участке между узлами 9 и 10

нии влияния усилия (N3 10 )

=

(N

)

oc

)

ш

.

N

10

3 10

+ (N

1

1 10

= 0,47

0 0,47 .

При x 2d N

10

1

0,707 0,47

При x 2,5d

N

=

( 0,707)

0,588 .

1 10

2

= 0,707.

При x 3d N

10

После

1

линия

влияния

N

соответствует

правой

ветви

узла

10

1 10

Усилия в стержнях 3-й панели фермы

Табл. 2.1

Стержни

Обозначения усилий в стержнях и их значения

Усилия в стержнях

Усилия в шпренгель-

Суммарные усилия в

3-й панели

основной фермы

ных стержнях

стержнях

(3-4) – основн.

(N3 4 )oc 9P

–

N3 4 9P

(9-3) – основн.

(N9 3 )oc 2P

–

N9 3 2P

(4-10) – основн.

(N4 10 )oc

0

–

N4 10

0

(N

)

oc

2P

–

N

2P

(3-1 ) – основн.

3 10

3 1

–

(N

)

ш

2P / 2

N

2P / 2

(9-1 ) – шпренг.

9 1

9 1

( 2 -1 ) – шпренг.

–

(N

2 1

)ш P

N

P

2 1

(N

)

oc

2P

(N

)

ш

2P / 2

N

2P / 2

(1 -10) – совмещ.

3 10

10

10

1

1

(9- 2 ) – совмещ.

(N

9 10

)ос 8P

(N

9 2

)ш 0,5P

N

8,5P

9 2

( 2 -10) – совмещ.

(N

9 10

)ос 8P

(N

2 10

)ш 0,5P

N

10

8,5P

2

Ni Pi yi ,

где Pi значение силы, приложенной в i-м узле фермы;

yi ордината линии

влияния Ni

в точке, где приложена сила Pi .

Используя формулу и линии влияния N

3 4

,

N

, N

,

N

10

(рис. 2.18),

вычислим усилия:

3 1

9 2

1

N3 4 P(0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0,25) = 9P ;

N

P( 0,118 0,235 0,353 0,471 0,118 0,707 0,589

3 1

0,471 0,353 0,235 0,118) 1,414P;

N9 2 P(0,333 0,666 1 1,33 1,66 1 0,833

0,666 0,498 0,333 0,166) 8,496P 8,5P;

N

10

P( 0,118 0,235 0,353 0,471 0,589 0,707

1

Итак, имеем N

3 4

= 9P ;

N

1,414P 2P ;

N

8,5P ;

3 1

9 2