расчет статически определимой фермы

УДК 624.04(076) ББК 38.121я7

М 23

Рецензент канд. техн. наук, доцент А. Н. Черный

Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета.

Манжосов, В. К.

М23 Расчет статически определимой фермы : методические указания. – Ульяновск : УлГТУ, 2010. – 36 с.

Составлены в соответствии с учебными программами по дисциплине «Строительная механика» для направления «Строительство». Методические указания предназначены для выполнения расчетно-проектировочных и контрольных заданий, предусмотренных рабочими программами по дисциплине.

Работа подготовлена на кафедре теоретической и прикладной механики.

УДК 624.04(076) ББК 38.121я7

Учебное издание МАНЖОСОВ Владимир Кузьмич

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ

Методические указания

Редактор М. В. Теленкова

Подписано в печать 01.102010. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 2,09. Тираж 100 экз. Заказ 1038.

Ульяновский государственный технический университет, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.

Типография УлГТУ, 432027, Сев. Венец, 32

Манжосов В. К., 2010.Оформление. УлГТУ, 2010

2

2.Расчет статически определимой фермы с одноярусными шпрен-

гелями……………………………………………………………….. 6

2.4.2.Линии влияния продольных сил в шпренгельных стержнях……………………………………………………… 13

2.4.3.Линии влияния усилий в стержнях 3-й панели на уча-

2.5.Определение усилий в стержнях 3-й панели по линиям

влияния и сопоставление с аналитическими данными………….. 17

3.Расчет статически определимой фермы с двухъярусными шпрен-

гелями …………………………………………………………….. 19

3.4.2.Линии влияния продольных сил в шпренгельных стержнях……………………………………………………… 28

3.4.3.Линии влияния усилий в стержнях 4-й панели на

3.5.Определение усилий в стержнях 4-й панели по линиям

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ 1. Основные понятия

Плоские фермы представляют собой стержневые системы, состоящие из отдельных, обычно прямолинейных, стержней, соединенных между собой в узлах фермы. В большинстве случаев соединения стержней фермы в узлах являются жесткими (с помощью сварки, заклепок, болтов и других скреплений). Точный расчет фермы с такими узлами достаточно сложен, так как такая ферма является много раз статически неопределимой системой.

Однако, если нагрузка фермы приложена в узлах, то расчет фермы можно значительно упростить, условно заменив жесткие узлы фермы шарнирными соединениями. Точные расчеты показывают, что такая замена допустима, так как при сосредоточенных нагрузках, приложенных в узлах, усилия, возникающие в шарнирной ферме, мало отличаются от усилий в ферме с жесткими узлами.

В данной работе изложена последовательность расчета плоской статически определимой, геометрически неизменяемой шпренгельной фермы.

Статически определимой является ферма, когда для определения усилий в ее стержнях достаточно уравнений статического равновесия.

Геометрически неизменяемой является ферма, у которой перемещение ее точек возможно лишь в связи с деформацией ее элементов. Простейшей статически определимой, геометрически неизменяемой системой является шарнирный треугольник (рис. 1.1, а).

а) б)

Рис. 1.1. Статически определимая, геометрически неизменяемая стержневая система

Более сложная статически определимая, геометрически неизменяемая система может быть образована путем последовательного присоединения узлов, причем каждого двумя стержнями, не лежащими на одной прямой (рис. 1.1, б).

Зависимость между числом узлов K и числом стержней С для получения простейшей плоской статически определимой и геометрически неизменяемой фермы может быть определена по формуле

C 2K 3 .

Если число стержней C 2K 3, то это показывает, что ферма в своем составе не имеет минимального количества стержней, необходимого для образования геометрически неизменяемой системы.

По конструктивным соображениям раскосы фермы удобно располагать

так, чтобы они составляли со стойками и поясами углы, близкие к 45o . При увеличении высоты фермы увеличивается длина панелей. Устройство больших

4

панелей вызывает увеличение массы технологической части сооружения на этих панелях.

Задача увеличения высоты фермы может быть рациональна решена при введении в состав каждой панели дополнительных двухопорных ферм – шпренгелей (рис. 1.2, б, в), опирающихся на узлы основной фермы (рис. 1.2, а).

а) Схема фермы без шпренгелей (основная ферма)

б) Схема фермы с одноярусными шпренгелями

в) Схема фермы с двухъярусными шпренгелями Рис. 1.2. Схемы статически определимых ферм

Различают одноярусные шпренгели (рис. 1.2, б), передающие нагрузку в узлы грузового пояса, и двухъярусные шпренгели (рис. 1.2, в), передающие нагрузку в узлы противоположного пояса.

Элементы (стержни) ферм, в состав которых входят одноярусные шпренгели, делят на следующие три категории:

1)элементы, принадлежащие только основной ферме. Усилия в этих стержнях определяются расчетом основной фермы; эти усилия не меняются при включении в ферму шпренгелей;

2)элементы, принадлежащие только шпренгелям. Усилия в них могут быть найдены из уравнений равновесия, составляемых для отдельных частей шпренгеля, который при этом можно рассматривать как самостоятельную двухопорную ферму;

3)элементы, принадлежащие одновременно основной ферме и шпренгелю. Усилие в каждом из них равно сумме двух усилий, одно из которых возникает в элементе основной фермы, а другое – в слившемся с ним элементе шпренгеля.

5

Элементы (стержни) ферм, в состав которых входят двухъярусные шпренгели, делятся на четыре категории: из них первые три те же, что и для ферм с одноярусными шпренгелями. Элементами четвертой категории являются те из элементов основной фермы (первой категории), линии влияния для которых имеют различный вид при перемещении единичной силы по верхнему грузовому поясу или по нижнему грузовому поясу.

2.Расчет статически определимой фермы с одноярусными шпренгелями

2.1. Задание для расчета статически определимой фермы

Для заданной статически определимой фермы, нагруженной силами Р в узлах нижнего грузового пояса (рис. 2.1), требуется:

1.Произвести кинематический анализ.

2.Определить усилия в стержнях заданной панели (третьей панели).

3.Построить линии влияния усилий для стержней заданной панели.

4.Определить усилия по линиям влияния и сопоставить их с усилиями, найденными аналитически.

Рис. 2.1. Расчетная схема фермы

2.2.Кинематический анализ

Цель кинематического анализа – выяснить геометрическую неизменяемость сооружения. Геометрическая неизменяемость сооружения обеспечивается в том случае, если степень свободы сооружения равна нулю.

Определим степень свободы фермы w по формуле

w 2K C C0 ,

где K число узлов фермы, C число стержней фермы, C0 число опорных

стержней.

Так как К = 26, С = 49, C0 = 3, то степень свободы фермы w равна

w 2 26 49 3 = 0.

Ферма является статически определимой и геометрически неизменяемой.

2.3. Определение усилий в стержнях заданной панели

2.3.1. Определение усилий в стержнях панели основной фермы

Отбросим шпренгельные элементы и образуем основную ферму (рис. 2.2). Нагрузку, приложенную к шпренгелям, распределим в узлы основной фермы.

6

Рис. 2.2. Расчетная схема фермы без шпренгельных элементов

Врезультате в узлах 8, 9, 10, 11 и 12 действуют силы по 2P , а на опоры А

иВ действуют силы по 0,5P . Из уравнений равновесия в виде равенства нулю

суммы моментов сил относительно узла А: M A (Pi ) 0 , следует

(RB 0,5P) 6d 2P(d 2d 3d 4d 5d) 0 ,

RB 6d 0,5P 6d 2P 15d 0 , RB 5,5P .

Из уравнений равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно узла В: M B (Pi ) 0 , следует

(RA 0,5P) 6d 2P(d 2d 3d 4d 5d) 0RA 6d 0,5P 6d 2P 15d 0 , RA 5,5P .

Сечением I рассечем стержни 3-4, 3-10, 9-10 и отбросим правую от сечения часть фермы (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Расчетная схема левой части основной фермы

Из уравнения равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно узла 10: M10 (Pi ) 0 , следует

(N3 4 )oc d (RA 0,5P) 3d 2P 2d 2P d 0 ,

откуда

(N3 4 )oc (RA 0,5P) 3 2P 2 2P 15P 4P 2P 9P .

Из уравнения равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно узла 3: M3 (Pi ) 0 , следует

(N9 10 )oc d (RA 0,5P) 2d 2P d 0 ,

7

откуда

(N9 10 )oc (RA 0,5P) 2 2P 8P .

Для левой части фермы (рис. 2.3) из условия равновесия в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y : Piy 0, следует, что

(RA 0,5P) 2P 2P (N3 10 )oc cos 45o 0 .

Из данного равенства

Вырежем узел 9 и рассмотрим силы, образующие в этом узле систему сходящихся сил (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Схема сил, сходящихся в узле 9 основной фермы

Из условия равновесия узла 9 в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y : Piy 0, следует, что

Вырежем узел 4 и рассмотрим силы, образующие в этом узле систему сходящихся сил (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Схема сил, сходящихся в узле 4 основной фермы

Из условия равновесия узла 4 в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y : Piy 0, следует, что

(N4 10 )oc 0 .

Последнее равенство означает, что стержень (4-10) не загружен.

2.3.2. Определение усилий в стержнях шпренгеля

Вернемся теперь к исходной расчетной схеме (рис. 2.1). Изобразим шпренгель третьей панели на рис. 2.6 в виде двухопорной фермы.

Из условия равновесия шпренгеля реакции в опорах

8

Рассмотрим равновесие сил в узле 9 шпренгеля (рис. 2.7).

Из уравнения равновесия в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y : Piy 0, следует, что

Вырежем узел 2 и рассмотрим силы, образующие в этом узле систему сходящихся сил (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Схема сил, сходящихся в узле 2 фермы

Из условия равновесия сил в узле 2 в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y : Piy 0, следует

9