Определение скорости звука в воздухе

Цель работы: определить скорость звука в воздухе и длину волны методом фигур Лиссажу, определить показатель адиабаты.

Оборудование: звуковой генератор, трубка с телефоном и микрофоном, осциллограф, нагреватель.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Звук – это волны в упругой среде. В газах звуковые волны − это процесс распространения областей сжатия – разрежения.

Рассмотримраспространение звуковой волны в газе. Пусть мембрана телефона, находящаяся у основания воображаемой трубки с площадью сечения S, начала движение с дозвуковой скоростью U. Частицы газа, прилегающие к мембране, приходят в движение с такой же скоростью. Воздух перед мембраной сжимается и сжимает последующие слои газа. Граница между сжатым и невозмущенным газом, называемая фронтом, перемещается со скоростью звука V (рис. 1).

U

Применим для определения скорости звука уравнение второго закона Ньютона для движущейся массы газа: изменение импульса газа равно импульсу силы со стороны мембраны: dm U = F dt . Массу газа определим как произведение плотности на объем: dm = dL∙S, а силу давления мембраны на газ как повышение давления на площадь: F = dp∙S. Примем, что отношение скоростей мембраны и фронта пропорционально отношению проходимых ими расстояний: , которое, в свою очередь, равно относительному изменению плотности газа. Подставив полученные преобразования в уравнение второго закона Ньютона, произведя замену dL=Vdt, получим уравнение . Вследствие кратковременности процессы сжатия – разрежения газа в звуковой волне происходят адиабатически, без теплообмена между нагретой областью сжатия и охлажденной областью разрежения. Поэтому применим уравнение Пуассона. Дифференцируяи подставляя, получим

. (1)

Здесь R = 8,31 Дж/ моль∙К – газовая постоянная, Т – абсолютная температура, М = 28,9 10 ^–3 кг/моль – масса моль воздуха,  = 1,4 – показатель адиабаты для двухатомных газов.

Запишем уравнение волны. Это уравнение зависимости параметра ψ (давления, смещения и т.д.) в некоторой точке пространства от времени и расстоянии Z до источника. Если колебания источника происходят по уравнению , то частицы среды начинают колебания позже, чем источник, на время распространения волны. Тогда уравнение волны примет вид

. (2)

Для экспериментального определения скорости звука в воздухе в данной работе используется метод фигур Лиссажу. Фигура Лиссажу− это повторяющаяся траектория движения точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях. Она возникает, если соотношение частот равно отношению целых чисел.

В лабораторной установке на экране осциллографа наблюдается сложение электрических колебаний одинаковой частоты от телефона как источника звука, и от приемника – микрофона, которые подаются соответственно на горизонтальный x и вертикальный y входы осциллографа (рис. 2).

Рассмотрим частные случаи сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты.

Пример 1. Пусть разность фаз кратна целому числу 2 радиан, так что колебания происходят по уравнениям: x = A ₁ cos 2 t, y =A ₂ cos (2 t+2πк) = A ₂ cos 2 t . Для получения уравнения траектории (фигуры Лиссажу) в явном видеy(x) исключим время t, например поделив уравнения. В результате получим . Это уравнение прямой линии (рис.3), проходящей через 1−3 квадранты в прямоугольнике со сторонами 2А₂–2А₁.

Пример 2. Пусть разность фаз кратна нечетному числу радиан, так что х= A ₁ cos 2 t, y=A ₂ sin 2 t. Исключим время t по соотношению . В результате получим для фигуры Лиссажу уравнение эллипса:,вписанного в прямоугольник 2А₂ – 2А₁.

Как видно, фигура Лиссажу зависит от разности фаз (рис.3).

При постоянном расстоянии между микрофоном и телефоном Z разность фаз слагаемых колебаний и фигура на экране осциллографа зависит частоты

или . (3)

Превращение эллипса опять в эллипс или прямой в такую же прямую линию происходит, если разность фаз возрастает на целое число 2 радиан, то есть , гдеk = 0,1,2,3 – целое число (оно равно увеличению числа длин волн в трубке). Подставив в уравнение (3) условие повторения фигуры Лиссажу, получим

или (4)

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

Установка 1

1. Включить в сеть 220 В генератор и осциллограф. Установить частоту генератора около 400 Гц, среднее напряжение выхода. Регулятором температуры установить некоторый режим нагрева воздуха в трубке. Регулятором «Усиление» осциллографа получить на экране фигуру Лиссажу почти во весь экран.

2. Плавно изменяя частоту генератора, получить определенную фигуру, например, в виде прямой линии. Принять, что разности фаз колебаний телефона и микрофона соответствует некоторое неизвестное числоk₀. Записать в таблицу частоту при k−k₀= 0.

3. Плавно изменяя частоту генератора, наблюдать превращение фигуры Лиссажу, как показано на рис. 3. Получить изображение исходной фигуры. Записать в таблицу возрастание числа k над исходным k₀ и соответствующую частоту генератора. Опыт повторить не менее пяти раз.

Таблица

k − k0	0	1	2	3	4
ν,Гц

Выключить приборы.

4. Построить график зависимости частоты генератора при повторении фигуры от числа k−k₀. Размер графика не менее половины страницы. На осях нанести равномерный масштаб. Около точек провести прямую линию (рис. 4).

5. Определить среднее значение скорости звука по угловому коэффициенту экспериментальной прямой. Для этого на экспериментальной линии как на гипотенузе построить прямоугольный треугольник (рис. 4). По координатам вершин треугольника определить среднее значение скорости

. (5)

6. Оценить случайную погрешность измерения. Записать результатV=<V>±δV, P=0,9.

7. Сравнить с теоретическим значением скорости звука в воздухе, рассчитанным по формуле (1). Сделать выводы.

Установка 2

Работа производится так же, как на установке 1. При постоянной частоте генератора изменяется расстояние между телефоном и микрофоном. Скорость звука определяется по формуле .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Объясните процесс распространения звука в газах. Дайте понятие фронта волны.

2. Запишите формулу для скорости звуковых волн в газах. Объясните, почему процесс сжатия – разрежения газа в звуковой волне происходит адиабатически.

3. Запишите уравнение плоской волны. Дайте понятие фазы.

4. Дайте определение фигуры Лиссажу. Выведите уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, при разности фаз 2πk радиан.

5. Выведите уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, при разности фаз /2 рад.

6. При каком наименьшем изменении частоты генератора фигура Лиссажу принимает первоначальный вид.

Работа 15

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОЕМКОСТИ ВОЗДУХА

Цель работы:познакомиться с процессом изобарического нагревания воздуха, определить молярную теплоемкость воздуха при изобарическом нагревании.

Оборудование: нагреватель, компрессор, термопара с мультиметром, блок питания, амперметр и вольтметр.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Теплоемкость – это теплофизический параметр веществ, определяемый как количество теплоты, необходимое для нагревания некоторой массы вещества на один Кельвин. Если масса вещества равна одному килограмму, то теплоемкость называется удельной теплоемкостью, если масса равна одному моль, то – молярной теплоемкостью. По определению молярная теплоемкость равна

. (1)

Здесь ν =– количество вещества в моль,m– масса,M– масса одного моль,dQ– количество теплоты, достаточной для повышения температуры наdT. Для газов, в отличие от твердых и жидких тел, теплоемкость зависит от вида происходящего с газом термодинамического процесса нагревания. Это связано с тем, что, согласно первому началу термодинамики

, (2)

теплота расходуется не только на повышение внутренней энергии dU, то есть на повышение температуры, но и на работу изменения объема газа. В отличие от твердых и жидких тел изменение объема может быть сравнительно большим и зависит от вида термодинамического процесса. Поэтому величина работы сил давления и количество теплоты, необходимое для нагревания газа, также зависит от вида процесса.

Рассмотрим нагревание идеального газа. Идеальный газ – это газ, собственный объем молекул которого ничтожно мал по сравнению с объемом сосуда, и потенциальная энергия взаимодействия молекул отсутствует. Воздух при нормальных условиях можно считать идеальным газом.

При изохорическом нагревании газа изменения объема нет, работы нет, и теплота идет только на повышение внутренней энергии,dQ = dU. Для идеального газа, согласно молекулярно-кинетической теории, внутренняя энергия – это кинетическая энергия молекул . Откуда молярная теплоемкость при изохорическом нагревании идеального газа равна.

При изобарическом нагревании газа в условиях постоянного давления дополнительно часть теплоты расходуется на работу изменения объема. Поэтому полученное количество теплоты (dQ = dU + dA) будет равно. Сравнивая с формулой (1), получим, что молярная теплоемкость при изобарическом нагревании

В формулах теплоемкости R– универсальная газовая постоянная,i – число степеней свободы молекулы газа. Это число независимых координат, необходимых для определения положения молекулы в пространстве. Или это число компонент энергии, которыми обладает молекула. Например, для одноатомной молекулы это составляющие кинетической энергии при поступательном движении относительно трех координатных осей,i= 3. Для двухатомной молекулы добавляются еще кинетические энергии вращательного движения относительно двух осей, так как относительно третьей, проходящей через оба атома, момент инерции и энергия отсутствуют. В итоге двухатомная молекула имеет 5 степеней свободы. Точно так же и для воздуха, состоящего в основном из двухатомных молекул кислорода и азота.

Экспериментальное измерение молярной теплоемкости воздуха производится с помощью калориметра. В калориметре воздух нагревается при постоянном давлении, равном атмосферному. Измерение температуры при нагреве производится с помощью термопары, подсоединенной к мультиметру. Для повышения точности измерений следует нагревать большую массу воздуха. Поэтому с помощью компрессора воздух непрерывной струей пропускается через калориметр (рис. 1).

Нагреватель калориметра подключен к блоку питания. Потребляемая мощность определяется по показаниям вольтметра и амперметра N = J U. Когда после включения установки наступит тепловое равновесие и температура воздуха, выходящего из калориметра, перестанет изменяться, подводимая от электронагревателя тепловая мощностьN расходуется на нагрев поступающего в калориметр воздуха и частично на теплопередачуqчерез стенки калориметра. Поэтому уравнение теплового баланса имеет вид

. (3)

Здесь m– секундный расход воздуха через калориметр,DT– повышение температуры воздуха после прохождения через калориметр.

Для исключения неизвестной мощности тепловых потерь qнужно провести опыты при разном расходе воздуха, но при одинаковом повышении температуры. При этом мощность тепловых потерь будет одинакова, потому что теплопередача через стенки пропорциональна перепаду температур. Согласно уравнению (3), подводимая к калориметру тепловая мощность, при постоянном повышении температуры воздуха Δ Т, зависит от секундного расхода воздуха линейно, и поэтому график – прямая линия. Угловой коэффициент линии равен. Его можно определить экспериментально по графику как отношение катетов прямоугольного треугольника, построенного на экспериментальной линии, по координатам его вершинАиВ. Откуда получим

. (4)

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1. Измерить температуру воздуха в лаборатории термометром. Включить калориметр в сеть 220 В, установить переменным резистором компрессора сравнительно большой расход воздуха.

2. Установить переменным резистором нагревателя такую мощность, чтобы после установления теплового равновесия (3 мин) температура воздуха выходящего из калориметра повысилась бы на 30–50 К. Измерить температуру воздуха, определить по шкале резистора компрессора расход воздуха. Записать в таблицы повышение температуры, расход воздуха, показания амперметра и вольтметра.

3. Уменьшить расход воздуха примерно на одну пятую часть от начального и синхронно уменьшить мощность нагревателя так, чтобы температура воздуха на выходе из калориметра оставалась одинаковой. Эта часть работы требует терпения, плавности регулировки. Результаты измерений расхода воздуха, силы тока и напряжения записать в таблицу. Опыт провести не менее пяти раз во всем диапазоне расхода воздуха.

Повышение температуры D Т, К
Расход воздуха m, г/с
Сила тока I, А
Напряжение U, В
Мощность N=IU, Вт

Выключить питание мультиметров. Выключить установку.

4. Произвести расчеты. Определить мощность, потребляемую электронагревателем, N= I U. Записать в таблицу.

5. Построить график зависимости потребляемой мощности от расхода воздуха N (m).Размер графика не менее половины страницы. На осях координат нанести равномерный масштаб. Около точек провести прямую линию так, чтобы сумма отклонений точек была минимальной.

6. Построить на экспериментальной линии как на гипотенузе прямоугольный треугольник (рис. 2). Определить координаты вершин АиВтреугольника. По формуле (4) рассчитать среднее значение молярной теплоемкости <C_P>. Принять значение массы моля воздуха равным 28,9 10^-3кг/моль.

7. Оценить графическим методом случайную погрешность измерения молярной теплоемкости. Для этого провести на графике параллельно экспериментальной прямой две близкие линии так, чтобы все точки кроме промахов были между ними. Определить расстояние между линиями σN. Произвести расчет по формуле

. (5)

8. Записать результат в виде С_Р = <C_P> ± d C_P,P = 90%. Сравнить с теоретическим значением, рассчитанным по формуле (3), приR= 8,31 Дж/моль К,i= 5.

Сделать выводы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение молярной теплоемкости вещества.

2. Сформулируйте первое начало термодинамики. Запишите формулы для теплоты, работы, внутренней энергии идеального газа.

3. Выведите формулы для молярной теплоемкости идеального газа при изохорическом и изобарическом нагревании.

4. Запишите уравнение теплового баланса для калориметра.

5. Объясните, почему тепловые потери через стенки калориметра не влияют на измерение теплоемкости.

6. Объясните, почему в установке воздух должен непрерывной струей проходить через калориметр.

Работа 16