Задание 3.

2.7. По результатам наблюдений, проведенным на железнодорожной станции, составлена таблица зависимости времени расформирования составов на сортировочной горке от числа вагонов в составе.

Требуется найти зависимости времени расформирования t(мин) от числа вагонов m в виде трех формул:

Вычислить среднеквадратические уклонения и выбрать наиболее подходящую эмпирическую формулу. Построить графики эмпирических зависимостей вместе с точками исходной таблицы.

Исходные данные

m	20	24	28	32	36	40	44	48	52	54
t	6.0	7.1	8.5	9.8	11.5	12.0	13.5	14.3	15.5	16.1

Решение:

1

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу

m	t	m2	t2	m • t	Эмпирич T(m)	Отклонение =(t-t(m))2
20	6	400	36	120	6,22	0,0484
24	7.1	576	50.41	170.4	7,42	0,1024
28	8.5	784	72.25	238	8,62	0,0144
32	9.8	1024	96.04	313.6	9,82	0,0004
36	11.5	1296	132.25	414	11,02	0,2304
40	12	1600	144	480	12,22	0,0484
44	13.5	1936	182.25	594	13,42	0,0064
48	14.3	2304	204.49	686.4	14,62	0,1024
52	15.5	2704	240.25	806	15,82	0,1024
54	16.1	2916	259.21	869.4	16,42	0,1024
378	114.3	15540	1417.15	4691.8	115,6	0,758

Система нормальных уравнений.

b•n + a∑m = ∑t

b∑m + a∑m² = ∑t•m

Для наших данных система уравнений имеет вид

10b + 378 a = 114.3

378b + 15540 a = 4691.8

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: a = 0.3, b = 0.22

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

t = 0.3 m + 0.22

Среднеквадратическое отклонение:

2

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу

1/m	t	1/m2	t2	m • t	Эмпирич T(m)	Отклонение =(t-t(m))2
0.05	6	0.0025	36	0.3	4,66	1,79
0.0417	7.1	0.00174	50.41	0.3	7,38	0,08
0.0357	8.5	0.00128	72.25	0.3	9,33	0,68
0.0313	9.8	0.000977	96.04	0.31	10,78	0,96
0.0278	11.5	0.000772	132.25	0.32	11,92	0,17
0.025	12	0.000625	144	0.3	12,82	0,67
0.0227	13.5	0.000517	182.25	0.31	13,56	0,00
0.0208	14.3	0.000434	204.49	0.3	14,18	0,01
0.0192	15.5	0.00037	240.25	0.3	14,70	0,63
0.0185	16.1	0.000343	259.21	0.3	14,94	1,35
0.29	114.3	0.00955	1417.15	3.03	114,27	6,36

Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид t = a/m + b + ε

Система нормальных уравнений.

b•n + a∑(1/m) = ∑t

b∑1/m + a∑(1/m²) = ∑t•m

Для наших данных система уравнений имеет вид

10b + 0.29a = 114.3

0.29b + 0.00955 a = 3.03

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: a = -326.34, b = 20.98

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

t = -326.34 / m + 20.98

Среднеквадратическое отклонение:

3

Система уравнений МНК:

an + b∑m + c∑m² = ∑t

a∑m + b∑m² + c∑m³ = ∑tm

a∑m² + b∑m³ + c∑m⁴ = ∑tm²

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу

m	t	m2	t2	m•t	m3	m4	m2 t	Эмпирич T(m)	Отклонение =(t-t(m))2
20	6	400	36	120	8000	160000	2400	5,99	0,00
24	7.1	576	50.41	170.4	13824	331776	4089.6	7,37	0,08
28	8.5	784	72.25	238	21952	614656	6664	8,71	0,05
32	9.8	1024	96.04	313.6	32768	1048576	10035.2	10,01	0,04
36	11.5	1296	132.25	414	46656	1679616	14904	11,25	0,06
40	12	1600	144	480	64000	2560000	19200	12,45	0,20
44	13.5	1936	182.25	594	85184	3748096	26136	13,60	0,01
48	14.3	2304	204.49	686.4	110592	5308416	32947.2	14,71	0,17
52	15.5	2704	240.25	806	140608	7311616	41912	15,77	0,07
54	16.1	2916	259.21	869.4	157464	8503056	46947.6	16,28	0,03
378	114.3	15540	1417.15	4691.8	1362096	62531616	410471.2	116,15	0,71

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 378b + 15540c = 114.3

378a + 15540b + 681048c = 4691.8

15540a + 681048b + 31265808c = 205235.6

Получаем f = -0.00145, b = 0.41, c = -1.63

Уравнение тренда:

t = -0.00145m²+0.41m-1.63

Среднеквадратическое отклонение:

Наиболее подходящая эмпирическая формула - t = -0.00145m²+0.41m-1.63

Построим графики