8.2. Размещение экстренных пунктов обслуживания
Согласно обычной логике, ясно, что размещение экстренных пунктов обслуживания, к которым обычно относят станции скорой помощи, пожарные депо, пункты полиции, должно основываться несколько на иной логике, чем размещение школ или кинотеатров. Предположим, мы хотим разместить участок спецподразделения полиции, задача которого выезжать по вызову, когда сработает сигнализация на охраняемом объекте. Считается, что срабатывание сигнализации - событие редкое, и главной целью является не постановка участка поблизости от сгущения охраняемых объектов (тогда к большинству охраняемых объектов полиция будет прибывать быстро, а в некоторые отдаленные - с недопустимым опозданием), а так, чтобы самый дальний охраняемый объект достигался в минимальное время. В этом случае, видимо, можно будет говорить о соответствии этого минимального времени принятым нормам. Такая постановка задачи называется минимаксной.
НЕОБХОДИМАЯ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ИНФОРМАЦИЯ
Дан
граф
.
Пусть
– матрица
кратчайших расстояний от i-й
до j-й
вершины,
– весj-й
вершины. Тогда можно определить следующие
понятия:
число внешнего разделения
,
число внутреннего разделения
,
внешний
центр графа - вершина
,
для которой
,
внутренний
центр графа - вершина
,
для которой
.
Число
внешнего разделения вершины
,
являющейся внешним центром, называетсявнешним
радиусом графа
.
Число
внутреннего разделения вершины
,
являющейся внутренним центром, называетсявнутренним
радиусом графа
.
У графа может быть несколько внешних и внутренних центров. Очевидно, что в случае неориентированного графа внешний и внутренний центры совпадают, а внешний и внутренние радиусы равны.
Понятно, что если имеются всего два охраняемых объекта, то участок надо ставить между ними. Другое дело, что по ряду причин (например, доступности людских ресурсов, установленного оборудования и т.д.) для такой задачи особым условием может являться необходимость размещения пункта экстренного обслуживания именно в населенном пункте. В этом случае решение задачи особой проблемы не представляет.
Если речь идет о размещении отделения полиции или пожарного депо, то решение вполне очевидно находится из матрицы кратчайших путей после умножения ее на вектор весов вершин. Для этого в каждой строке полученной матрицы находят максимальный элемент и затем выбирают ту строку, которая содержит минимальный из найденных максимальных элементов. Вектор весов вершин в общем случае отражает вероятность потребности данного объекта (города) в соответствующем обслуживании (например, в скорой медицинской помощи). Такая вероятность чаще всего берется пропорционально численности населения каждого района.
Необходимо понимать, что если речь идет о размещении больницы, то оптимизируется время, необходимое для проезда машины скорой помощи в самый отдаленный район и обратно в больницу. По аналогии с рассмотренными определениями можно ввести понятие числа внешне-внутреннего разделения
и
соответственно внешне-внутреннего
центра, т.е. вершины
,
на которой достигается минимум этого
выражения.
НЕОБХОДИМЫЕ УТОЧНЕНИЯ
Однако в общем случае пункт обслуживания может размещаться на произвольном ребре графа, а не обязательно в вершине. В том случае, если поиск внутреннего и внешнего центров ведется без учета требования о совпадении точки с одной из вершин, то говорят о нахождении абсолютных центров (аналогично, внутренних, внешних или внешне-внутренних). Такую задачу можно решить при помощи алгоритма Хакими.
ПРИМЕР ЗАДАЧИ
Имеются шесть населенных пунктов (рис. 8.2). Найти оптимальное расположение отделения полиции, если оно может находиться в любом произвольном месте сети (на дороге или в населенном пункте). Рассчитать время приезда наряда в самый отдаленный населенный пункт.
Рис. 8.2. Схема расположения населенных пунктов
Решая задачу методом Хакими, находим, что отделение полиции нужно разместить на ребре (2,5) в 1 км от пункта 2. Тогда расстояние до самого удаленного населенного пункта будет равно 7.
ПРИМЕЧАНИЕ
Очень часто имеет место ситуация, когда одного пункта экстренного обслуживания недостаточно, поскольку он не в состоянии обслужить все поступающие вызовы. В этом случае возникает задача о наилучшем размещении нескольких таких пунктов обслуживания. Эту задачу можно сформулировать так. Найти наименьшее число пунктов экстренного обслуживания (например пожарных депо) и такое их размещение, чтобы расстояние от каждого жилого района до ближайшего к нему пункта экстренного обслуживания не превышало некоторой заданной величины. Если же число таких пунктов известно, то обычно требуется их разместить так, чтобы было минимально возможным расстояние от любого района до ближайшего к нему пункта. Таким образом, обе эти постановки относятся к нахождению множества абсолютных центров графа. Метод Хакими не может быть обобщен для решения задачи о поиске нескольких центров. Для этого существуют итерационный алгоритм Сингера.