1 Синтез комбінаційних схем

Комбінаційні схеми – це логічні схеми, сигнал на виході яких у кожен момент часу визначається комбінацією вихідних сигналів у той же момент часу.

Поняття функції алгебри логіки (ФАЛ) є базовим у алгебрй логіки – математичному апараті, який використовується для опису умов функціювання, а також при перетворенні структур дискретних автоматів.

Бульова алгебра базується на кількох аксіомах, з яких одержують основні закони для перетворень ФАЛ. Кожна аксіома може бути представлена у двох формах, що пов'язано із принципом дуальності (двоїстості) логічних операцій, згідно з яким операції кон'юнкції (логічного множення) та диз'юнкції (логічного складання) дозволяють взаємну заміну, якщо одночасно замінити логічну 1 на 0, 0 на 1, знак "+" на "•", а "•" на "+".

Існує декілька способів завдання ФАЛ :

Числовий спосіб - кожному набору змінних ставлять у відповідність певне число в двійковій системі числення і приписують відповідний номер. Функцію задають у вигляді десяткових номерів тих наборів змінних, на яких вона приймає значення “1”.

Табличний спосіб - ФАЛ задають таблицею її значень залежно від значень змінних. Сукупність значень змінних називають набором. Кожному набору змінних відповідає певне значення функції.

Графічний спосіб - наборам значень змінних ФАЛ зіставляються точки n-мірного простору. Безліч 2n наборів визначає безліч вершин n-мірного одиничного куба. Вершинам відповідають набори значень змінних і приписані значення функції на цих наборах.

Аналітичний спосіб - функцію задають у вигляді виразу алгебри, що показує, які, і в якій послідовності повинні виконуватися логічні операції над аргументами функції. Вираз алгебри може бути складений з наборів аргументів, на яких функція приймає значення “1”, або з наборів, на яких вона приймає значення “0”.

Координатний спосіб - функцію задають у вигляді координатної карти станів, яку називають картою Карно. Карти є прямокутні таблиці, розділені вертикальними і горизонтальними лініями на клітки. Загальне число кліток відповідає числу наборов функції. Всі змінні розділяють на дві групи. Одна група змінних визначить вибір рядка, інша - стовпця.

На перетині рядка і стовпця знаходиться клітка, в яку записують значення функції при відповідному наборі змінних. Розділення змінних на групи здійснюється так, щоб в сусідніх клітках набори розрізнялися тільки значенням однієї змінної.

Існує декілька нормальних форм подання ФАЛ: досконала диз’юнктивна нормальна форма (ДДНФ) та досконала кон’юнктивна нормальна форма (ДКНФ).

Щоб знайти ДДНФ вибирають із таблиці тільки ті рядки, у яких стоять набори змінних, що перетворюють функцію в 1. При цьому, якщо аргумент входитьдо даного набору як 1, він записується в кон’юнкцію (логічне множення) без зміни (). Якщо ж входить у набір як 0, то у відповідну кон’юнкцію вписується його заперечення().З'єднуючи ці кон’юнкції знаками диз'юнкції (логічне додавання) остаточно одержуємо ДДНФ.

Для знаходження ДКНФ вибирають із таблиці тільки ті рядки, у яких стоять набори змінних, що перетворюють функцію в 0. При цьому, якщо аргумент входить у даний набір як 0, він уписується в диз'юнкцію без зміни (x_i). Якщо ж x_i входить у набір як 1, то у відповідну диз'юнкцію вписується його заперечення ().З'єднуючи ці диз'юнкції знаками кон’юнкції остаточно одержуємо ДКНФ.

При розв’язанні задач мінімізаціі ФАЛ, які залежать від невеликої кількості змінних (i ≤ 6), знаходять широке зостосування графічні методи. Найбільш поширеним серед них є метод карт Карно.

Карта Карно являє собою двокоординатну таблицю, у якій кожній клітинці поставлені у відповідність набори значенні змінних логічної функції. Набори, подані сусідніми клітинками, відрізняються значеннями тільки однієї змінної. Сусідніми вважаються дві клітинки, які знаходяться поряд, та розташовані у одному рядку або стовпці. Сусідніми також вважаються клітинки розташовані по кінцям кожного стовпця або рядка.

Карта Карно має k=2ⁱ клітинок ( i- кількість змінних даної ФАЛ), що дорівнює кількості рядків у таблиці істинності функції, або ж - кількості одиничних наборів змінних ДДНФ і нульових наборів змінних ДКНФ, узятих разом. Мінімізацією ФАЛ називається процес скорочення кількості входжень незалежних змінних й операцій в аналітичні вираження для ФАЛ. Існують мінімальна диз'юнктивна нормальна форма (МДНФ) і мінімальна кон’юнктивна нормальна форма (МКНФ).

Утворення підкубів для отримання мінімального значення функції проводиться за таким правилом:

- утворити двоклітинкові підкуби з наборів, які мають тільки одного сусіда;

- із наборів, що залишились, утворити підкуби максимального розміру, які не перетинаються ( якщо це можливо );

- із наборів, що залишились, утворити підкуби максимального розміру, які перетинаються;

- із наборів, які не мають жодного сусіда, утворити одноклітинкові підкуби;

- закінчити утворення підкубів, якщо всі набори задіяні.

При використанні цього правила потрібно строго дотримуватися послідовності виконання пунктів.