Методичка по Дискретке

а) {1, 2} × {3, 4, 5}; б) ({1, 2})4.

6. Изобразить на координатной плоскости множества: а) ((−1, 1) S{3}) × ([0, 2] S{3});

б) R × Z.

7. Дано универсальное множество U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} и его подмножества A = {x : x четно }, B = {x : x кратно четырем }, C = {x : x про-

S T T S S

стое }, D = {1, 3, 5}. Найдите множества A B, C D, A B, A (B C D),

CD, (A\B) S(C\D), A SB, (C\A)ΔD, 2A T2B, 2D\2C.

8.Пусть M2, M3, M5 обозначают подмножества универсального множества N, состоящие соответственно из всех чисел, кратных 2,3,5. Используя теоретикомножественную символику, запишите утверждения:

а) 45 делится на 15; б) 42 делится на 6, но не делится на 10;

в) каждое число из множества {8, 9, 10} делится хотя бы на одно из чисел 2,3,5, но не делится на 6.

9.Решите уравнение:

б) Сколько существует 5-значных чисел со всеми четными цифрами?

в) Сколько существует натуральных чисел, меньших 1 000 000, со всеми нечетными цифрами?

г) Сколько существует 5-значных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево (например, таких, как 67876, 17071)?

3

д) Сколько существует 5-значных чисел, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей?

е) Сколько существует 5-значных чисел, у которых нет рядом стоящих одинаковых цифр?

ж) Сколько существует 5-значных чисел, сумма цифр которых делится на

5?

з) Сколько существует 5-значных чисел, в которых нет рядом стоящих цифр 2 и 3?

2. а) Сколько различных делителей имеет число 35 × 54?

б) Пусть p1, . . . , pn различные простые числа. Сколько делителей имеет число

m = pα1 1 × · · · × pαnn ,

где α1, . . . , αn некоторые натуральные числа?

в) Найти количество делителей чисел 1048, 10 000.

3.а) Сколькими способами можно упорядочить множество {1, 2, . . . , n} так, чтобы числа 1, 2, 3 стояли рядом в порядке возрастания?

б) Сколькими способами можно упорядочить множество {1, 2, . . . , n} так, чтобы числа 1, 2, 3 стояли рядом в произвольном порядке?

4.а) Имеется n различных предметов. Сколько существует способов выложить их в ряд?

б) Сколько существует способов выложить эти же n предметов по окружности на стол?

в) Сколько существует способов связать бусы из n разноцветных бусинок? г) Имеется n1 предметов первого типа, n2 второго типа, . . . , nk k-го

типа. Сколько существует способов выложить их в ряд?

5.а) Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове "компьютер"? (Словом называется любое сочетание букв.)

б) Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове "геометрия"?

в) Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове "парабола"?

г) Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове "комбинаторика"?

д) Сколько различных слов, не длиннее чем из четырех букв, можно составить из букв а, б и в?

6.Cколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 одинаковых ладей так, чтобы они не могли бить друг друга?

7.Имеется p белых и q черных шаров. Сколькими способами можно выложить шары в ряд так, чтобы никакие 2 черных шара не лежали рядом?

8.Студенту необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими способами это можно сделать? Дайте ответ на тот же самый вопрос, если в один день он может сдавать один экзамен.

9.Коридор освещается 12 лампочками, у каждой свой выключатель. Сколько существует способов зажечь 5 лампочек?

9.Коридор освещается 12 лампочками, у каждой свой выключатель. Сколько существует способов освещения коридора?

4

10.На оптовом складе имеется кафельная плитка 10-ти расцветок, расфасованная в одинаковые коробки. Предприниматель приехал на склад на машине в которую можно поместить 200 коробок плитки. Сколькими способами он может набрать плитку на складе, если она имеется там в неограниченном количестве?

11.В скольких точках пересекаются диагонали выпуклого n-угольника, если никакие 3 из них не пересекаются в одной точке?

12.а) Сколькими способами можно разделить 75 студентов на 3 группы так, чтобы в 1-ой группе было 30 человек, во 2-ой 25 человек, а в 3-ей 20 человек?

б) Сколькими способами можно разделить кучку из 75 различных камней на 3 меньшие кучки из 30, 25 и 20 камней?

13.Сколькими способами можно разделить колоду из 36 карт на две равные части так, чтобы в каждой из частей было ровно по два туза ?

14.На одной из кафедр университета работают тринадцать человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Десять человек знают английский, семеро немецкий, шестеро французский. Пятеро знают английский и немецкий, четверо английский и французский, трое немецкий

ифранцузский.

а) Сколько человек знают все три языка? б) Сколько человек знают ровно два языка?

в) Сколько человек знают только английский язык? 15. Докажите биномиальную формулу:

2 √

б) найдите числовой коэффициент в члене разложения ( a + b)9, содержащем a3; √

в) определите x из условия, что третий член разложения ( x + x1 )6 равен 59 .

Задания для домашней работы.

1. а) Сколько существует 5-значных чисел, все цифры которых не делятся на 3?

5

б) Сколько существует натуральных чисел, меньших 1 000 000, со всеми четными цифрами?

в) Если повернуть лист белой бумаги на 180◦, то цифры 0, 1, 8 не изменяются, цифры 6 и 9 переходят друг в друга, а остальные цифры теряют смысл. Сколько существует 5-значных чисел, величина которых не изменяется при повороте листа бумаги на 180◦ ?

г) Сколько существует 5-значных чисел, у которых каждая следующая цифра меньше предыдущей?

д) Сколько существует 5-значных чисел, у которых каждая следующая цифра не меньше предыдущей?

е) Сколько существует 5-значных чисел, у которых нет рядом стоящих цифр одной четности?

ж) Сколько существует 5-значных чисел, сумма цифр которых делится на 10?

з) Сколько существует 5-значных чисел, в которых нет рядом стоящих цифр 2 и 3 в порядке возрастания?

2. а) Сколько делителей у числа 16 200?

б) Докажите, что число n имеет нечетное количество делителей тогда и только тогда, когда n точный квадрат.

3.а) Сколькими способами можно упорядочить множество {1, 2, . . . , n} так, чтобы числа 1, 2, 3 не стояли рядом в порядке убывания?

б) Сколькими способами можно упорядочить множество {1, 2, . . . , n} так, чтобы числа 1, 2, 3 не стояли рядом?

4.Пассажир оставил вещи в автоматической камере хранения, а когда пришел получать вещи, выяснилось , что он забыл номер. Он только помнит, что

вномере были числа 23 и 37. Чтобы открыть камеру, нужно правильно набрать 5-значный номер. Какое наибольшее количество номеров нужно перебрать, чтобы открыть камеру?

5.На вершину горы ведет 7 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее? Дайте ответ на тот же самый вопрос, если подъем и спуск осуществляются различными путями.

6.Имеется колода из 36 карт. Сколькими способами из нее можно выбрать четыре карты так, чтобы все они были или одной масти, или одного достоинства?

7.В прямоугольной таблице из m строк и n столбцов записаны числа +1 и −1. Сколькими таких таблиц существует?

8.В прямоугольной таблице из m строк и n столбцов записаны числа +1 и −1 так, что произведение чисел в каждой строке и каждом столбце равно 1. Сколькими способами это можно сделать?

9.Сколько слов можно составить, переставляя буквы слова "математика"?

10.Сколько пятибуквенных, шестибуквенных и семибуквенных слов можно составить, используя буквы а, ы, у, е?

11.Сколько способов выложить в ряд 6 синих, 3 красных и 10 белых шаров?

12.В группе студентов из 25 человек нужно выбрать старосту, профорга и двух заместителей старосты. Сколькими способами это можно сделать.

13.а) Каково число матриц из n строк и m столбцов с элементами из множества 0,1,2?

б) То же при условии, что строки матрицы попарно различны.

7

г) xRy x начальник над y, x, y M, где M множество студентов, преподавателей и сотрудников БашГУ;

д) бинарное отношение на множестве M = {1, 2, 3}, заданное определяющим множеством R M2 : {(1, 2), (2, 1), (2, 3)};

е) xRy x делится на y, x, y N; ж)xRy x ≤ y, x, y N;

з) xRy x ≤ y, x, y R;

и) xRy x + 5 ≤ y, x, y R;

к) xRy x и y дают одинаковые остатки при делении на 5, x, y N;

л) xRy [x] = [y], x, y R ([x] целая часть числа x, то есть наибольшее целое число меньшее или равное x);

м) (a, b)ϕ(c, d) a + d = b + c, a, b, c, d N.

3. Отображения f, g : R → R. Найти композицию f ◦ g, g ◦ f.

1 + x, x ≥ 0

f(x) =

1 − x, x < 0,

1 + x, x ≥ 1

g(x) =

2x, x < 1.

4.Отображение f : R → R действует по правилу

1 + x, x ≥ 0

f(x) =

1 − x, x < 0.

Найти f([0, 1]), f([−1, 2]), f−1([0, 1]), f−1([−1, 2]).

5.В прямоугольной декартовой системе координат на плоскости каждой точке соответствует радиус вектор r. Пусть f : X → R+, f(r) = |r| (X множество всех радиус-векторов).Описать точки плоскости соответствующие радиус векторам: f−1(0), f−1(4), f−1([1, 3)).

6.Отображение f : R2 → R2 ставит в соответствие точке плоскости с координатами (x, y) точку с координатами (x2, y2). Найти: а) f−1((16, 81));

б) f−1((36, −25));

в) f−1(B), где B = [0; 1] × [4; 9];

г) f(A), A = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1}.

7. Отображение f : R2 → R действует по правилу: f((x, y)) = x + y. Найти:

а) f−1(0);

б) f−1(B) где B = {1, −1}; в) f−1(B), где B = [−2; 3].

8. Пусть X1 = [−1; 1], X2 = {1, 2}, X = X1 × X2, Y = R. Определим отображение f : X → Y действующие по правилу f(x) = xx12 , где x = (x1, x2) X. Найти:

а) f(X);

б) f−1(y) при различных y; в) f−1(B), где B = (−2; 0, 5);

г) f([−1; −0, 5] × {2}).

9. а) Пусть f : X → Y некоторое отображение. Докажите, что для любых

8

10. Пусть X и Y два множества. В каких из перечисленных ниже случаев соответствие, задаваемое правилом f, является отображением из X в Y ? сюръекцией? инъекцией? биекцией? В каждом из случаев отрицательного ответа укажите как нужно изменить X и (или) Y , чтобы f стало отображением, сюръекцией, биекцией?

а) X множество чисел {1, 2, . . . , 10}, Y множество студентов, писавших контрольную, f ставит в соответствие каждому числу x X школьника, получившего оценку x за контрольную (по 5-тибальной системе);

б) X множество телесериалов, показываемых по ТВ, Y некоторое подмножество N, f ставит в соответствие каждому телесериалу количество серий в нем;

в) X множество векторов на плоскости, коллинеарных данному вектору, Y = R, f ставит в соответствие каждому вектору его длину;

г) X множество всех вещественных последовательностей, Y = R, f ставит в соответствие каждой последовательности ее предел;

д) X множество треугольников, Y = R, f ставит в соответствие каждому треугольнику его площадь;

е) X = Y = R2, f ставит в соответствие точке (x, y) точку с координатами

(x2, y2);

ж) X = (−π2 , π2 ), Y = R, f(x) = cos2 x; з) X = Y = R, f(x) = ex;

и) X = Y = N,

n − k, k < n

f(k) = n + k, k ≥ n,

где n фиксированное натуральное число.

Задания для домашней работы.

1.Построить на множестве M = {a, b, c} бинарное отношение, являющееся а) рефлексивным, не симметричным, транзитивным; б) не рефлексивным, антисимметричным, транзитивным;

в) рефлексивным, антисимметричным, не транзитивным; г) рефлексивным, симметричным, транзитивным.

2.Является ли данное бинарное отношение рефлексивным, иррефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным:

а) >, ≥, <, ≤,6= в R;

б) параллельность прямых на плоскости, в) перпендикулярность прямых на плоскости, г) касание окружностей на плоскости; д)отношение родства между людьми; е)отношение знакомства между людьми;

ж) xRy (x − y) Q, x, y R;

з) бинарное отношение на множестве Z, заданное определяющим множеством R Z2 : {(1, 2), (2, 1), (3, 0), (0, 3), (10, 3)};

и) xϕy x − (k + 1)y делится на k, x, y Z, где k произвольное натуральное число;

к) xRy {x} = {y}, x, y R ([x] дробная часть числа x, {x} = x − [x]); л) (a, b)ϕ(c, d) ad = bc, a, b, c, d N;

м) {xn}R{yn} limn→∞ xn ≤ limn→∞ yn, {xn}, {yn} сходящиеся последовательности действительных чисел;

9

н) xRy человек x не выше человека y.

3. Отображения f, g : R → R. Найти композицию f ◦ g, g ◦ f.

(

x2, x ≥ 1

f(x) =

x, x < 1,

точек плоскости, Z = R. f : X → Y отображение, ставящее в соответствие каждому кругу его центр, g : X → Z ставит в соответствие каждому кругу его радиус. Что представляют собой множества f−1(y), g−1(z)?

6. Пусть X = [0; 2π], Y = R2, f : X → Y, f(x) = (cos x, sin x). Найти f([0, 2π]), f([0; π], f−1(B), где B квадрат [−1; 1] × [−1; 1].

7. Является ли соответствие, задаваемое формулой y = ln x2 отображением: а) из R в R+;

б) из (0; 1) в R;

в) из (0, 5; 1) в R+.

В каждом из случаев, когда ответ положительный, найдите прообраз элемента y.

8. Пусть X = (0; 4π], Y = Y1 × Y2, Y1 = Y2 = R. Определим отображение

f: X → Y действующие по правилу f(x) = (ln x, sin x). Найти: а) f(X);

б) f−1(y) при различных y;

в) f−1(B), где B = [0; 1] × {0, 1};

г) f([ π2 ; π)).

9. а) Пусть f : X → Y некоторое отображение. Докажите, что для любых

A, B Y f−1(A TB) = f−1(A) Tf−1(B);

б) Пусть f : X → Y инъекьтивное отображение. Докажите, что для любых

TT

A, B X f(A B) = f(A) f(B).

10. Пусть X и Y два множества. В каких из перечисленных ниже случаев соответствие, задаваемое правилом f, является отображением из X в Y ? сюръекцией? инъекцией? биекцией? В каждом из случаев отрицательного ответа укажите как нужно изменить X и (или) Y , чтобы f стало отображением, сюръекцией, биекцией.

а) X множество разновидностей обоев в данном магазине, Y некоторое подмножество N, f ставит в соответствие каждому виду обоев его цену в рублях;

б) X множество автомобилей на стоянке, Y множество красок (цветов), f ставит в соответствие каждому автомобилю его цвет;

в) X множество предметов, изучаемых в средней школе, Y множество учителей, работающих в данной школе, f ставит в соответствие каждому преподаваемому предмету учителя, который его преподает в рассматриваемой школе;

г) X множество учителей, работающих в данной школе, Y множество предметов, изучаемых в средней школе, f ставит в соответствие каждому учителю предмет, который он преподает;

10

д) X множество окружностей на плоскости, Y множество точек на плоскости, f ставит в соответствие каждой окружности ее центр;

е) X множество квадратных матриц n×n, Y = R, f ставит в соответствие каждой матрице сумму элементов выбранной наугад строки этой матрицы;

ж) X = [−2, 4], Y = R, f(x) = x4; з) X = Y = R, f(x) = ln x.

4. Мощность множеств. Задания для работы на занятии.

1. Построить биекцию множества X на множество Y : а) X = N \ {1}, Y = N;

б) X = N, Y = N \ {n1, n2, . . . , nk}, где n1, n2, . . . , nk различные натуральные числа;

в) X = N, Y = {3, 10, 17, 24, . . .};

г) X = N S{0}, Y = {12 , 14 , 18 , 161 , . . .}; д) X = Z, Y = {1, 4, 9, 16, . . .}.

2. Доказать, что следующие множества счетны: а) Множество целых чисел Z;

б) множество рациональных чисел Z;

в) множество многочленов с рациональными коэффициентами;

г) множество алгебраических чисел A (действительное число называется алгебраическим если оно является корнем многочлена с рациональными коэффициентами);

k=1

жеств;

е) любое множество попарно непересекающихся интервалов на R;

ж) множество всех конечных последовательностей некоторого счетного множества.

3. Доказать, что если A R и для всех x, y A |x − y| ≥ 0, 001, то A конечно или счетно.

4.Какова мощность множества всех треугольников на плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты?

5.Пусть E счетное множество точек на прямой. Можно ли сдвинуть это множество на величину α (т.е. заменить все точки x E точками x + α) так, чтобы получившееся в результате сдвига множество Eα не пересекалось с E?

6.Построить биекцию множества X на множество Y :

а) X = [a, b], Y = [c, d], a < b, c < d; б) X = (0, +∞), Y = R;

в) X = [0, 1], Y = [0, 1);

г) X = R, Y = R \ {0};

д) X = R, Y = R \ {N}.

7.Докажите, что следующие множества имеют мощность континуума: а) множество иррациональных чисел; б) множество комплексных чисел;

в) множество всех счётных множеств вещественных чисел.

8.Построить (геометрически наглядно) биекцию

а) открытого отрезка на прямую; б) окружности с выколотой точкой на прямую.