Методичка по Дискретке

11

9. Пусть E какое-либо несчетное множество положительных чисел; дока-

T

зать, что найдется такое число τ > 0, что множество E (τ, +∞) несчетно.

10.Какова мощность множества всех отрезков на числовой прямой?

11.На прямой задано множество попарно не пересекающихся отрезков. Что можно сказать о мощности этого множества?

12.На плоскости построено некоторое множество попарно не пересекающихся букв Т (размеры этих букв могут быть и различными). Что можно сказать

омощности этого множества?

13.Доказать, что множество всех числовых функций, определенных на отрезке [a, b], имеет мощность гиперконтинуума. (Гиперконтинуум мощность множества всех подмножеств множества мощности континуум.)

14.Доказать с помощью теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентность замкнутого и открытого круга того же радиуса на плоскости.

Задания для домашней работы.

1.Построить биекцию множества X на множество Y : а) X = N, Y = Z \ {1};

б) X = Z−, Y = N S{0};

в) X = N, Y = {2, 13, 24, 35, . . .};

г) X = N S{0}, Y = {12 , 15 , 18 , 111 , . . .}.

2. Доказать, что следующие множества счетны:

а) множество всех слов над конечным алфавитом (словом называется любая конечная последовательность букв);

б) Множество всех прямых на плоскости, каждая из которых содержит хотя бы 2 точки с рациональными координатами;

в) Любое бесконечное множество точек на плоскости, все попарные расстояния между элементами которого рациональны;

г) любое бесконечное множество попарно непересекающихся кругов на плоскости;

д) множество всех конечных подмножеств счетного множества; е) множество всех тетраэдров в пространстве, вершины которых имеют це-

лые координаты.

3.Доказать, что если A R2 и для всех точек множества A расстояние между ними больше 1, то A конечно или счетно.

4.Пусть E счетное множество точек на окружности. Можно ли повернуть окружность вокруг центра на некоторый угол ϕ так, чтобы получившееся в результате поворота множество E1 не пересекалось с E?

5.Построить биекцию множества X на множество Y :

а) X = [0, +∞), Y = [c, d); б) X = (−∞, 0), Y = (0, 1);

S

в) X = [0, 1) (1, 2], Y = [0, 1]; г) X = R, Y = R \ {Z}.

6.Докажите, что следующие множества имеют мощность континуума: а) множество трансцендентных (не алгебраических) чисел; б) множество всех отрезков на плоскости; в) множество всех счётных множеств натуральных чисел.

7.Построить (геометрически наглядно) биекцию

а) одного замкнутого отрезка на другой замкнутый отрезок; б) сферы с выколотой точкой на плоскость.

12

8.Какова мощность всех кругов на плоскости?

9.На плоскости построенно некоторое множество попарно не пересекающихся окружностей. Что можно сказать о мощности этого множества?

10.На плоскости построено некоторое множество попарно не пересекающихся букв Г (размеры этих букв могут быть и различными). Что можно сказать

омощности этого множества?

11.Доказать, что множество всех непрерывных функций на отрезке [a, b] имеет мощность континуума.

12.Доказать следующее утверждение: "Если множество E на плоскости несчетно, то найдется такой круг с центром в начале координат, котрый содержит несчетное количество точек из E".

5.Исчисление высказываний. Задания для работы на занятии.

1.Составить таблицы истинности для следующих пропозициональных форм. Является ли данная форма тавтологией или противоречием?

а) (A (B C)) (A + C) A;

б) (AeB) ((BeC) (A (B C)));

в) (A B) (((B C) (C A)) (A C)). г) (A B) (eB eA);

д) ((A B) (B C)) (A C); е) (A B)e(eB eA);

ж) ((eAeB) ↓ (A+eB)) + (e(A eB) (eA B)); з) ((A B) ((C A)eB))e(A (CeB)).

2.Определите логическое значение последнего высказывания, исходя из логических значений всех предыдущих высказываний:

а) λ(A B) = 0, λ(A B) = 1, λ((eA B) A) =? б) λ(A B) = 0, λ(A B) = 0, λ(A B) = 1, λ(A) =? в) λ(A (B A)) = 0, λ(A B) =?

г) λ((A B) A) = 1, λ(A B) = 1, λ(eA eB) =?

3.Для каждого из приведенных ниже высказываний определите, достаточно ли имеющихся сведений, чтобы установить его логическое значение (если достаточно, то укажите это значение; если недостаточно то покажите на примерах, что возможны и одно и другое истинностные значения):

а) e(B A) e(A C), λ(A) = 1;

б) (e(A B) (AeB)) C, λ(A B) = 0;

в) (AeE) ((eAeE) (B D)), λ(A B) = 0; г) (A (BeE)) E, λ(E) = 0.

4.Существуют ли три таких высказывания A, B и C, чтобы одновременно выполнялись для них следующие условия:

а) λ(eA B) = 0, λ(A C) = 0, λ((A B)eC) = 1;

б) (λ(A B) = 0, λ(A C) = 1, λ((C A) (C B)) = 1; в) λ(C B) = 0, λ(eB A) = 0, λ(A C) = 0;

г) λ(AeB) = 0, λ(B (A C)) = 0, λ(eC eB) = 1.

5. Для каких из следующих высказываний их логическое значение не зависит от логического значения высказывания A?

а) A 0;

б) A A;

в) A 0;

13

г) A eA; д) A A; е) A 1.

6.Докажите, что следующие формулы опровержимы, не составляя для них таблиц истинности, а указав какие-нибудь значения входящих в них пропозициональных переменных, при которых эти формулы обращаются в ложные высказывания.

а) (((P Q) (R Q)) (R P )) (P Q);

б) (P ((Q R) R)) ((P (Q R)) (P eR)); в) ((P Q) (R eQ) (P R)) R;

г) (X Y ) ((eX Y ) (XeY )).

7.Для следующих формул выясните, будет ли какая-либо из них логическим следствием другой.

а) P (Q R) Q, (P Q) R; б) P Q, (P R) Q;

в) (P Q) (P R), (P Q) R; г) (P Q) R, (P Q) R.

8.Записать следующие высказывания в виде пропозициональных форм, употребляя пропозициональные буквы для обозначения атомарных высказываний, т.е. таких высказываний, которые уже не построены из каких-либо других высказываний. Построить истинностные таблицы для этих высказываний.

а) необходимое и достаточное условие счастья для шейха состоит в том, чтобы иметь пить вино, любить женщин и услаждать свой слух пением.

б) Фиорелло ходит в кино только в том случае, когда там показывают комедию.

в) Необходимым условием сходимости последовательности s является ограниченность s.

г) взятку платят тогда и тоько тогда, когда товар доставлен. д) Если x положительно, то x2 положительно.

9.Выяснить, являются ли следующие рассуждения логически правильными; для этого представить каждое предложение в виде пропозоциональной формы и проверить, является ли заключение логическим следствием конъюнкции посылок.

а) Если капиталовложения останутся постоянными, то возрастут правительственные расходы или возникнет безработица. Если правительственные расходы не возрастут, то налоги будут снижены. Если налоги будут снижены и капиталовложения останутся постоянными, то безработица не возникнет. Следовательно, правительственные расходы возрастут.

б) Если строить противоатомные убежища, то другие государства будут чувствовать себя в опастности, а наш народ получит ложное представление о своей безопастности. Если другие страны будут чувствовать себя в опастности, то они смогут начать превентивную войну. Если наш народ получит ложное представление о своей безопастности, от он ослабит свои усилия, направленные на сохранение мира. Если же не строить противоатомные убежища, то мы рискуем иметь колоссальные потери в случае войны. Следовательно, либо другие страны могут начать превентивную войну, и наш народ ослабит свои усилия, направленные на сохранение мира, либо мы рискуем иметь коллосальные потери в случае войны.

14

10.Проверить совместность множества утверждений. Для этого представить предложения в виде пропозициональных форм и затем проверить, является ли их конъюнкция противоречием.

Если курс ценных бумаг растет или процентная ставка снижается, то либо падает курс акций, либо налоги не повышаются. Курс акций понижается тогда и только тогда, когда растет курс ценных бумаг и налоги растут. Если процентная ставка снижается, то либо курс акций не понижается, либо курс ценных бумаг не растет. Либо повышаются налоги, либо курс акций понижается и снижается процентная ставка.

11.Применяя равносильные преобразования, доказать следующие соотношения:

а) AeA B A B;

б) A (A B) A;

в) (A B) (AeB) A; г) A (eA B) A B.

12. Применяя равносильные преобразования, доказать тождественную истинность формул:

а) A (A B);

б) A (B (A B)); в) ((A B)eB) eA;

г) (A C) (B C) ((A B) C).

13.Применяя равносильные преобразования упростить: а) ee(A B) (A B) A;

б) e((A B) (B eA));

в) (A C) (AeC) (B C) (eA B C).

14.Следующие формулы преобразовать так, чтобы они содержали только связки " "и "e ":

а) A (B C);

б) e(A B) (eA eB);

в) (A B) (eA C).

15. Следующие формулы преобразовать так, чтобы они содержали только связки " "и "e ":

а) (AeC) (B A); б) (A B) (B C);

в) e(A B C) eC A.

16.Преобразовать следующие формулы так, чтобы знак отрицания был отнесен только к переменным высказывания:

а) e(eA B);

б) e(A BeC) e(A B C); в) e(A B (eA eC)).

17.Следующие формулы преобразовать так, чтобы они содержали только связку "| ".

a) A B (BeC); б) e(AeB) (B A).

18.Следующие формулы преобразовать так, чтобы они содержали только связку "↓ ".

а) (A B) (B C); б) (A eB)e(AeB).

15

19. Упростите данную систему истинных высказываний, т.е. найдите логически эквивалентную ей систему, состоящую из меньшего числа не более сложных высказываний:

а) P (Q R), W (S T ), R (QeP ), (W T ) eS;

б) eA (B C), B e(A C), C (AeB), A (B C), (A C) B,

(eAeB) C;

в) P Q, Q eP, R P ;

г) A B, C B, (B C) A.

20.Используя равносильные преобразования, привести к дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ):

а) x (y z);

б) (x y z) (x y); в) x y;

г) (x y) (y z) (z x).

21.Используя равносильные преобразования, привести к конъюнктивной нормальной форме (КНФ):

а) x y z;

б) x y z x y z; в) x y x y;

г) x y x z.

22.Привести к совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ): а) (x y) x;

б) x (y z);

в) (x y) (y z) (z x); г) (x y) (y z) (z v).

23.Привести к совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ): а) (x y) x y;

б) x y (x y); в) x y (x z); г) x y z v.

Задания для домашней работы.

1.Составить таблицы истинности для следующих пропозициональных форм.

Является ли данная форма тавтологией или противоречием? а) (A e(B + C)) (A (B C));

б) ((A B) ((C (eAeB)) eC)) (A B); в) (A (B C)) ((A + B) (B + C)).

г) (A B) ((A C) (B C));

д) ((A + B) C) (A (B C)); е) ((A (B C)) ((A B) C);

ж) (((AeB) C) ((A C) + B)) (A (B C)).

2. Определите логическое значение последнего высказывания, исходя из логических значений всех предыдущих высказываний:

а) λ(A B) = 1, λ(A B) = 1, λ(eB A) =?

б) λ(A B) = 0, λ(A B) = 0, λ(A B) = 1, λ(B) =?

в) λ(A B) = 0, λ(A B) = 1, λ(A B) = 1, λ(B A) =? г) λ(A B) = 1, λ((A B) (eA eB)) =?

16

3. Для следующих высказываний определите, достаточно ли приведенных сведений, чтобы установить его логическое значение (если достаточно, то укажите это значение; если недостаточно то покажите на примерах, что возможны

иодно и другое истинностные значения): а) (A B) (A C), λ(A) = 0;

б) (A B) (A C), λ(A) = 0; в) A (B C), λ(B) = 1;

г) (A B) ((eA C) (B C)), λ(A B) = 1.

4.Существуют ли три таких высказывания A, B и C, чтобы одновременно выполнялись для них следующие условия:

а) λ(AeB) = 1, λ(B C) = 1, λ(e(B A) C) = 0;

б) (λ(A B) = 0, λ(B C) = 1, λ((C A) (C B)) = 1; в) λ(A C) = 1, λ(A B) = 0, λ(C (A B)) = 1;

г) λ(A C) = 1, λ(C eB) = 0, λ(A B) = 1.

5. Для каких из следующих высказываний их логическое значение не зависит от логического значения высказывания A?

а) A 1; б) AeA; в) 0 A; г) A 1; д) eA A;

е) A eA.

6.Докажите, что следующие формулы опровержимы, не составляя для них таблиц истинности, а указав какие-нибудь значения входящих в них пропозициональных переменных, при которых эти формулы обращаются в ложные высказывания.

а) (X Y ) (X Z) (Y Z) (U V ) (U W ) (V W ) (eXeU); б) ((eP P ) P ) e((eQ eP ) ((eQ P ) Q));

в) ((Q eP ) P ) (P (P eQ));

г) ((P eQ) (Q R) (ReS)) (S Q).

7.Для следующих формул выясните, будет ли какая-либо из них логическим следствием другой.

а) (P R) Q, (P Q) R;

б) (P Q) (Q R), P (Q R); в) (P Q) R), (P Q) R;

г) (P Q) R, P (Q R).

8.Записать следующие высказывания в виде пропозициональных форм, употребляя пропозициональные буквы для обозначения атомарных высказываний, т.е. таких высказываний, которые уже не построены из каких-либо других высказываний. Построить истинностные таблицы для этих высказываний.

а) Если мистер Джонс счастлив, то миссис Джонс несчастлива, и если мистер Джонс несчастлив, то миссис Джонс счастлива.

б) Или Сэм пойдет на вечеринку, и Макс не пойдет на нее, или Сэм не пойдет на вечеринку, и Макс отлично проведет время.

в) Для того, чтобы x было нечетным, достаточно, чтобы x было простым. г) "Гиганты "выиграют приз, если "Хитрецы "сегодня не выиграют.

9.Выяснить, являются ли следующие рассуждения логически правильными; для этого представить каждое предложение в виде пропозициональной

17

формы и проверить, является ли заключение логическим следствием конъюнкции посылок.

а) Если Джонс коммунист, то Джонс атеист. Джонс атеист. Следовательно, Джонс коммунист.

б) Если Джонс не встречал этой ночью Смита, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет. Если Смит не был убийцей, то Джонс не встречал Смита этой ночью, и убийство имело место после полуночи. Если убийство имело место, после полуночи, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет. Следовательно, Смит был убийцей.

10.Проверить совместность множества утверждений. Для этого представить предложения в виде пропозициональных форм и затем проверить, является ли их конъюнкция противоречием. Если вечер скучен, то или Алиса начинает плакать, или Анатоль рассказывает смешные истории. Если Сильвестр приходит на вечер, то или вечер скучен, или Алиса начинает плакать. Если Анатоль рассказывает смешные истории, то Алиса не начинает плакать. Сильвестр приходит на вечер тогда и только тогда, когда Анатоль не рассказывает смешные истории. Если Алиса начинает плакать, то Анатоль рассказывает смешные истории.

11.Применяя равносильные преобразования, проверить следующие соотношения:

а) A BeA Be(A B) (A B);

б) A (B C) B (A C);

в) A (B C) (A C) (B C);

г) (eA A B A CeA BeA C) (A B C).

12. Применяя равносильные преобразования, доказать тождественную истинность формул:

а) (A B)eA B;

б) (A (B C)) (A B C);

в) (A B) (B C) (A C);

г) (A C) ((B C) ((A B) C)).

13.Применяя равносильные преобразования упростить: а) (e(eA B) A B) B;

б) e(A B (A B)); в) (A eB)e(A B).

14.Следующие формулы преобразовать так, чтобы они содержали только связки " "и "e ":

а) A B C; б) A (A B);

в) AeB (eB A).

15.Следующие формулы преобразовать так, чтобы они содержали только связки " "и "e ":

а) eA (C (BeC));

б) (A B) (A C);

в) AeB (C B A).

16. Преобразовать следующие формулы так, чтобы знак отрицания был отнесен только к переменным высказывания:

а) e(A B C); б) e(A (B C);

18

в) e((A B) (B C)).

17.Следующие формулы преобразовать так, чтобы они содержали только связку "| ".

a) e(A eB A);

б) A B C e(BeA).

18.Следующие формулы преобразовать так, чтобы они содержали только связку "↓ ".

а) e(A (B C)); б) (AeB) (B A).

19.Упростите данную систему истинных высказываний, т.е. найдите логически эквивалентную ей систему, состоящую из меньшего числа не более сложных высказываний:

а) W (M S), R T, eQ T, M (S W ), P (T R); б) P Q, P Q, Q P ;

в) A C, B C, (B C) A; г) A B, B C, C (A B).

20.Используя равносильные преобразования, привести к дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ):

а) x y (x y);

б) (x y) (y z) (x z);

в) (x y) (x (y z)).

21.Используя равносильные преобразования, привести к конъюнктивной нормальной форме (КНФ):

а) x y y z z; б) x y z v; в) x y z.

22.Привести к совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ): а) (x y) x;

б) (x y) (y z) (x z); в) (x y) (y z) (z x).

23.Привести к совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ): а) x y z;

б) (x y) (y z) (z x); в) x y z (x y) z.

6.Булевы функции.

Задания для работы на занятии.

1.Каково число булевых функций от n аргументов, принимающих на про-

тивоположенных наборах одинаковые значения? (Противоположенными называются два двоичных набора вида (a1, a2, ..., an) и (ea1, ea2, ..., ean)).

2. На скольких наборах значений аргументов принимают значение 1 следующие булевы функции:

а) x1x2...xn + x1;

б) x1x2 + x3x4...xn + 1;

в) 1 + x1 + x1x2 + x1x2x3 + ... + x1x2...xn; г) (x1x2...xk) (xk+1xk+2...xn).

3.Докажите, что имеется 22n различных полиномов Жегалкина от n переменных.

4.Найти канонические многочлены Жегалкина следующих функций:

19

а) (A B) (B C); б) eA (BeCeB C);

в) A (B C) (eA B AeB) (C + 1);

г) (10101100) столбец значений функции f в ее таблице.

5. Найти все фиктивные переменные следующих булевых функций: а) A B AeB;

б) AeB A;

в) (A B) ((B C) (A C)); г) (A B) A.

6.Для следующих булевых функций найдите двойственные функции. Представьте их в СДНФ.

а) e(Z (X Y )) X (Y + Z); б) eX Y e(Z X);

в) (X (Z Y )) (X (Z eY )); г) eXeY Y ZeY eZ.

7.Докажите, что функция четности pn(x1, ..., xn) = x1 + ... + xn является самодвойственной тогда и только тогда, когда n нечетно.

8.Какие из следующих функций самодвойственны?

а) (A B) A C;

б) A B + A C + B C; в) (0001001001100111);

г) (A|eA) ↓ B.

9.Сколько существует самодвойственных булевых функций от n аргумен-

тов?

10.Подсчитайте число самодвойственных булевых функций от n аргументов, существенно зависящих от всех своих аргументов.

11.Для произвольной булевой функции от n аргументов f(x1, ..., xn) опреде-

лим функцию от n+1 аргумента g(x0, x1, ..., xn) =ex0f(x1, ..., xn) x0ef(x1, ..., xn). Докажите, что множество всех таких функций g для всевозможных булевых функций f от n аргументов есть множество всех самодвойственных булевых функций от n + 1 аргументов.

12.Какие из следующих функций монотонны? а) A (B C);

б) (00110111);

в) A B (A + C); г) xyz xz yz.

13.Найдите все монотонные булевы функции от двух аргументов.

14.Функция большинства (или мажоритарная функция) от n аргументов

это такая булева функция, которая принимает значение 1 на таких и только таких наборах (a1, ..., an) значений аргументов, в которых большинство аргументов принимают значение 1. Докажите, что функция большинства монотонна.

15.Выясните, при каких n следующие функции монотонны.

а) (x1 x2 ... xn) (x1 x2 ... xn);

б) (x1 x2 ... xn−2exn−1exn) (x1 x2 ... xn); в) (x1 x2 ... xn−1exn) (x1 x2 ... xn).

20

16.Докажите, что среди всех булевых функций от n аргументов число функций, сохраняющих 0, равно числу функций, сохраняющих 1. Найдите это число.

17.Подсчитайте число линейных булевых функций от n аргументов.

18.Какие из следующих функций линейны?

а) (A B) (B C); б) AeB A;

в) (00010010);

г) xyez ((ex y z) xyz)exeyz.

19.Доказать полноту следующих систем функций сведением к заведомо полным системам:

а) {z (y + xz)};

б) {A B; e(A + B + C)}.

20.С помощью теоремы Поста проверить на полноту следующие системы функций:

а) {A B; A ; 0; 1};

б) {AeB; eA A B; 1};

в) {1; 0; A (B C)eA (B + C)};

г) {A B A C B C; 0; 1}; д) {xy xz yz; x y; x + y}.

Задания для домашней работы.

1.Каково число булевых функций от n аргументов, принимающих на соседних наборах противоположенные значения? (Соседними называются два таких двоичных набора одинаковой длины, которые отличаются друг от друга значениями лишь в одном месте).

2.На скольких наборах значений аргументов принимают значение 1 следующие булевы функции:

в) (x1x2...xk) + (xk+1xk+2...xn);

г) (x1 x2 ... xk) + (xk+1 xk+2 ... xn).

3.Выпишите все полиномы Жегалкина от двух переменных. Сколько имеется различных таких полиномов? Для каждой булевой функции от двух аргументов найдите представляющий её полином Жегалкина.

4.Найти канонические многочлены Жегалкина следующих функций:

а) (A B) C;

б) (A C) (B + C);

в) A C (A + C) BeAeC;

г) (11000100) столбец значений функции f в ее таблице.

5. Найти все фиктивные переменные следующих булевых функций: а) AeB B;

б) (A (B C)) ((A B) (A C)); в) (A B) (eA eB).

6. Для следующих булевых функций найдите двойственные функции. Представьте их в СДНФ.

а) XY Z + XY + XZ + X; б) (Z eX) (X Y );

в) eXeY ZeX Y eZ XeY eZ XeY Z X Y Z;