Вопросы к экзамену по геометрии для студентов 4 курса озо фмф специальность «Математика»

(9 семестр)

1. Геометрия до Евклида. «Начала» Евклида.

2. Критика системы Евклида.

3. Пятый постулат Евклида.

4. Н.И.Лобачевский и его геометрия

5. Система аксиом Гильберта. Обзор следствий из аксиом групп I – II

6. Система аксиом Гильберта. Обзор следствий из аксиом групп I-V

7. Аксиомы Лобачевского. Параллельные прямые по Лобачевскому

8. Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского

9. Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского

10. Окружность, эквидистанта и орицикл

11. Понятие о математической структуре

12. Интерпретации системы аксиом. Изоморфизм структур

13. Непротиворечивость, независимость и полнота системы аксиом

14. Доказательство логической непротиворечивости геометрии Лобачевского

15. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства

16. Луч, угол, отрезок

17. Равенство отрезков и углов. Длина отрезка

18. Аксиоматика А.В Погорелова школьного курса геометрии

19. Гиперболическое пространство

20. Модель Кэли – Клейна плоскости Лобачевского

21. О свойствах параллельных и расходящихся прямых на плоскости Лобачевского

22. Понятие о сферической геометрии

23. Понятие о эллептической геометрии Римана

Контрольная работа по геометрии для студентов 4 курса озо фмф специальность «Математика»

(9 семестр)

Вариант 1.

1. Примем в качестве основных понятий только два «точка» и «прямая». Имея в виду построение планиметрии, скажем, что множество w всех точек есть «плоскость».

Примем аксиомы:

А₁. Каждая прямая есть множество точек (т.е. подмножество множества w).

А₂. Для любых двух отличных друг от друга точек существует одна и только одна содержащая их прямая.

А₃. Каждой прямой принадлежат по меньшей мере две точки.

А₄. Существует по меньшей мере три точки, не принадлежащие одной прямой.

А₅. Для любой прямой p и любой точки А существует содержащая точку А прямая, параллельная прямой p.

А₆. Для любой прямой p и любой точки А существует не более одной прямой, содержащей точку А, параллельной прямой p.

Построим модель плоскости w₁={A,B,C,D}, где буквами будем обозначать «точки» плоскости, а «прямыми» будем называть двубуквенные множества {A,B}, {A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D}, {C,D}. Принадлежность понимается в теоретико-множественном смысле.

Проверьте на модели w₁ непротиворечивость аксиом А₁-А₆.

2. В аксиоматике 1) Г. Вейля, 2) Д.Гильберта, 3) А.В. Погорелова дайте определение следующих понятий: отрезка, концов отрезка, внутренних точек отрезка.

3. Доказать теорему косинусов и синусов в системе аксиом Вейля.

4. На основании I группы аксиом Гильберта докажите, что если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

5. Решите задачу сначала в системе аксиом АтанасянаЛ.С., затем в системе аксиом Погорелова А.В.

Точка В лежит между точками А и С, точка В₁ лежит между А₁ и С₁, АВ=А₁В₁, ВС=В₁С₁. Докажите, что АС=А₁С₁.

Вариант 2.

1. Построим модель плоскости w₂={A,B,C,D}, где буквами будем обозначать «точки» плоскости, а «прямыми» будем называть двубуквенные множества {A,B}, {A,C}. Принадлежность понимается в теоретико-множественном смысле.

Какие из аксиом А₁-А₆ выполнены на модели w₂.

2. В аксиоматике 1) Г. Вейля, 2) Д.Гильберта, 3) А.В. Погорелова дайте определение следующих понятий: луча, открытого луча, начала луча.

3. Доказать теорему синусов в системе аксиом Вейля.

4. Используя только аксиомы принадлежности системы аксиом Гильберта докажите, что на каждой плоскости существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

5. Докажите в системе аксиом Вейля, что если две точки прямой принадлежат плоскости, то две точки прямой принадлежат этой плоскости.

Вариант 3.

1. Построим модель плоскости w₃={A,B,C}, где буквами будем обозначать «точки» плоскости, а «прямыми» будем называть двубуквенные множества {A,B}, {A,C}, {B,C}. Принадлежность понимается в теоретико-множественном смысле.

Какие из аксиом А₁-А₆ выполнены на модели w₃.

2. В аксиоматике 1) Г. Вейля, 2) Д.Гильберта, 3) А.В. Погорелова дайте определение следующих понятий: полуплоскости, открытой полуплоскости, граничной прямой.

3. Доказать теорему о двух перпендикулярах в системе аксиом Вейля.

4. Исходя только из аксиом I и II групп системы аксиом Гильберта, докажите, что между любыми двумя точками А и В существует по крайней мере еще одна точка.

5. Докажите в системе аксиом Вейля, что если две прямые лежат в одной плоскости и их направляющие подпространства не совпадают, то эти прямые пересекаются.

Вариант 4

1. Построим модель плоскости w₄={A,B,C,D,E}, где буквами будем обозначать «точки» плоскости, а «прямыми» будем называть двубуквенные множества {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D},{C,E},{D,E}. Принадлежность понимается в теоретико-множественном смысле.

Какие из аксиом А₁-А₆ выполнены на модели w₄.

2. В аксиоматике 1) Г. Вейля, 2) Д.Гильберта, 3) А.В. Погорелова дайте определение следующих понятий: треугольника, сторон и вершин треугольника.

3. Доказать теорему о трех перпендикулярах в системе аксиом Вейля.

4. Используя аксиомы I и II групп системы аксиом Гильберта, докажите, что всякая прямая а, лежащая в плоскости α, разделяет множество точек плоскости, не лежащих на а, на два непустых подмножества так, сто если точки А и В принадлежат одному подмножеству, то отрезок АВ не имеет общих точек с а, если разным – то АВ имеет общую точку с прямой а.

5. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Докажите в системе аксиом Вейля, что две различные прямые параллельны тогда и только тогда, когда они имеют общее направляющее подпространства.

Вариант 5.