1. Доказать, что аксиома А₁ не зависит от аксиом А₁-А₆.

2. В аксиоматике 1) Г. Вейля, 2) Д.Гильберта, 3) А.В. Погорелова дайте определение следующих понятий: угла, развернутого угла, прямого угла.

3. Доказать теорему косинусов и синусов в системе аксиом Вейля.

4. Пользуясь аксиомами I, II и III групп Гильберта докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника равны.

5. Отрезки АВ и СD называют равными и пишут АВ=СD, если для любой билинейной формы (см. аксиому 3 ∑_W) . Пусть АВ – некоторый отрезок, h^/ -произвольный луч, исходящий из точки А^/. Докажите в системе аксиом Вейля, что на луче h^/ существует единственная точка В^/ такая, что АВ=А^/В^/.

Вариант 6.

1. Доказать, что аксиома А₂ не зависит от аксиом А₁, А₄-А₆.

2. В аксиоматике 1) Г. Вейля, 2) Д.Гильберта, 3) А.В. Погорелова дайте определение следующего понятия: биссектрисы угла.

3. Доказать теорему синусов в системе аксиом Вейля.

4. Докажите на основе аксиом I-III групп системы аксиом Гильберта: если в треугольниках АВС и А^/B^/C^/ AB=A^/B^/, AC=A^/C^/, ےA=ےA^/, то ∆АВС=∆A^/B^/C^/ (первый признак равенства треугольников)

5. Решите задачу сначала в системе аксиом АтанасянаЛ.С., затем в системе аксиом Погорелова А.В.

Точка В лежит между точками А и С, точка В₁ лежит между А₁ и С₁, АВ=А₁В₁, ВС=В₁С₁. Докажите, что АС=А₁С₁.

Вариант 7.

1. Доказать, что аксиома А₃ не зависит от аксиом А₁-А₂, А₄-А₆.

2. В аксиоматике 1) Г. Вейля, 2) Д.Гильберта, 3) А.В. Погорелова дайте определение следующего понятия: равенства фигур.

3. Доказать теорему о двух перпендикулярах в системе аксиом Вейля.

4. Используя аксиомы I, II и III групп системы аксиом Гильберта докажите, что каждый отрезок можно разделить пополам и притом единственным образом.

5. Докажите в системе аксиом Вейля, что если две точки прямой принадлежат плоскости, то две точки прямой принадлежат этой плоскости.

Вариант 8.

1. Доказать, что аксиома А₄ не зависит от аксиом А₁-А₃, А₅-А₆.

2. В аксиоматике 1) Г. Вейля, 2) Д.Гильберта, 3) А.В. Погорелова дайте определение следующих понятий: окружности, круга.

3. Доказать теорему о трех перпендикулярах в системе аксиом Вейля.

4. На основе аксиом I-IV групп аксиом Гильберта докажите, что прямая, лежащая в одной плоскости с окружностью и проходящая через внутреннюю точку Р окружности, пересекает окружность в двух точках.

5. Докажите в системе аксиом Вейля, что если две прямые лежат в одной плоскости и их направляющие подпространства не совпадают, то эти прямые пересекаются.

Вариант 9.

1. Доказать, что аксиома А₅ не зависит от аксиом А₁-А₄, А₆.

2. В аксиоматике 1) Г. Вейля, 2) Д.Гильберта, 3) А.В. Погорелова дайте определение следующего понятия: расстояние между двумя точками.

3. Доказать теорему косинусов и синусов в системе аксиом Вейля.

4. Решите задачу сначала в системе аксиом АтанасянаЛ.С., затем в системе аксиом Погорелова а.В.

Прямая а не проходит через данные три точки А,В,С и пересекает отрезок АВ. Докажите, что прямая а пересекает один из отрезков АС или ВС и не имеет общих точек с другим отрезком (предложение Паша)

5. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Докажите в системе аксиом Вейля, что две различные прямые параллельны тогда и только тогда, когда они имеют общее направляющее подпространства.

Вариант 10.