§ 5. Основные требования к математическим моделям и их свойства.

Правильное построение математической модели исследуемой задачи - основное условие успешной разработки проекта. Неверно построенная модель может привести к ошибочным выводам или оказаться неэкономичной в эксплуатации. Правильно разработанная модель может существенно улучшить экономические результаты деятельности фирмы или эффективность функционирования организации. Разработка модели для анализа изучаемого вида деятельности требует творческого подхода. Кроме того, чтобы правильно понять сущность исследуемой проблемы, необходимо собрать и тщательно проанализировать большой объем данных. Практическое значение модель приобретает при условии, что ее изучение имеющимися средствами более доступно, чем изучение самого объекта. Из всего сказанного вытекают следующие требования к модели:

1)адекватность (соответствие модели своему оригиналу),

2)простота (незасоренность второстепенными факторами),

3)объективность (соответствие научных выводов реальным условиям),

4)чувствительность (способность модели реагировать изменению начальных параметров),

5)устойчивость (малому возмущению исходных параметров должно соответствовать малое изменение решения задачи (модели)).

6)универсальность (широта области применения).

В теории оптимизации в настоящее время разработано болбшое число моделей и методов решения различных классов задач (см. §4).Поэтому при составлении математической модели любой задачи возникают проблемы идентификации:

-можно ли использовать известную модель для формализации данной задачи?

-если нет, то в какой мере требуется переработка (подгонка) соответствующей модели ?

Идентификация модели и метода решения задачи показана на следующей схеме:

Идентификация модели

Подходит ли задача к моделям известных классов задач

Удается ли подгонка известной модели?

Составление новой модели

Выбор модели

Идентификация метода решения

Можно ли решить задачу с помощью известных методов?

Удается ли модифицировать известный метод

Разработка нового метода

Выбор метода

Решение задачи

Пример 10(Задача размещения предприятий). С целью расширения сферы деятельности фирма планирует открыть несколько новых филиалов. Пунктiпредставляет собой одно и возможных точек размещения нового филиала с мощностьюS_i, а постоянные затраты связанные с его эксплуатацией, равныF_i ≥ 0 (независимо от фактического объема выпуска). Существует всегоmвозможных пунктов (i=1,2,…,m) размещения, но открывать филиалы во всех этих пунктах нерационально. Для каждого пунктаiизготовления и пунктаjсбыта известны:

c_ij ≥ 0 -совокупные производственные и транспортные затраты,F_ij ≥ 0 -некоторые постоянные затраты (ПустьF_ijне зависит от объема перевозокx_ij > 0,но приx_ij=0F_ijтакже равна нулю).

Требуется выбрать такие пункты размещения новых предприятий, чтобы суммарные затраты были минимальны.

Для построения математической модели этой задачи полезно ориентироваться на модель классической транспортной ,задачи, сформулированной в §4(исходя из схожести условий), которая имеет вид:

(суммарные транспортные расходы) (5)

при ограничениях

(предложение) (6)

(спрос) (7)

x_ij ≥ 0 (объем перевозок) (8)

В нашем примере введем обозначения:

U_ij = min (а_i,b_j).

Тогда вместо целевой функции (5)получаем суммарные расходы в виде:

(9)

Вместо ограничения (6)на мощности поставщиков вводим ограничения на пропускные способности маршрутов:

(10)

Ограничение (7)по спросу потребителей остается без изменения:

(11)

Построение модели еще не закончено. Нужно добиться того, чтобы условие x_ij>0выполнялось только в случае, когдаz_ij=1.Это достигается с помощью линейных ограничений:

x_ij≤ U_ij z_ijпри любыхi,j= 1,...,m(12)

Кроме того,

х_ij ≥ 0,i,j =1,...,m(13)

Теперь мы сможем сказать, что модель (9)-(13) задачи примера 10получена в результате модификация модели (5) - (8)классической транспортной задачи.