§5. Решение транспортной задачи методом потенциалов.

В экономике существует большое число задач, сводимых к моделям транспортных задач (см., например, задачи в разделе I).Условие классической транспортной задачи (ТЗ) дано в §4раздела I,а ее математическая модель -в том же разделе формулами (5)-(8).

Обозначим через P₁,...,P_nпункты производства (или хранения) продукции, а черезM₁,...,M_m-пункты ее потребления. В модели (5)-(8);.

c_ij - стоимость перевозки единицы продукции по маршруту (P_i,M_j);

xij - объем перевозок по маршруту (Pi, Mj);

ai - предложение в пункте Pi;

bj - спрос в пункте Mj

Известными являются следующие данные: (a₁,...,a_m) -вектор предложений,b=(b₁,...,b_n) -вектор спроса,

-матрица транспортных издержек.

Неизвестными являются перевозкиx_ij, т.е. матрица (или план) перевозок

В задаче (5) - (8)требуется найти такой план перевозок X*,чтобы:

1)Элементы этой матрицы удовлетворяли всем ограничениям (6) - (8) (условие допустимости).

2)Элементы этой матрицы соответствовали минимальному значению целевой функции (5)(условие оптимальности).

Такой план называется оптимальным планом перевозок. Метод решения ТЗ называется методом потенциалов.

Если пункты производства P₁,...,P_mтрактовать как филиалы одной фирмы, то в ТЗ лицом принимающим решение (планирующим органом), является эта фирма.

Свойства транспортной задачи.

1.ТЗ имеет оптимальное решение тогда и только тогда, когда

(20)

2.Если план X*является оптимальным, то ему соответствует система изm+nчиселu₁,…,u_mиv₁,…,v_n(называемых потенциалами), удовлетворяющих условию:

ui+vj=cij для всех xij>0, (21)

ui+vj≤cij для всех xij*=0, (22)

3. Если все числа a1,...,am и b1,...,bm - целые и выполнено условие (20), то элементы оптимального плана являются целыми числами.

4. Ранг системы векторов условий ТЗ (т.е. число линейно независимых столбцов матрицы ограничений) равен m+n-1. План перевозок X, содержащий ровно m+n-1 ненулевых перевозок, называется опорным планом (ОП) и играет роль д.б.р. в задаче ЛП. План, содержащий меньше чем m+n-1 ненулевых элементов называется вырожденным.

Пример 8.Решить следующую ТЗ методом потенциалов.

а=(40,30,20),

b=(30,25,15,20),

Решение.Проверим условие (20):

т.е. ТЗ имеет оптимальное решение. Строим рабочую таблицу, которая первоначально содержит только транспортные издержки, спросы и предложения.

Таблица 1.

	M1	M2	M3	M4
P1	4	3 25	6	4 15	40
P2	1 - 30	6	2 + 0	8	30
P3	2 + z	4	5 - 15	7 5	20
	30	25	15	20	ai bj

Затем в этой же таблице строим начальный ОП методом "минимальной стоимости" (об этом и других методах построения начального ОП можно прочитать, например, в [8,9]):

План является вырожденным, так как m+n-1=6, (см. свойство 4),а для X⁰ число ненулевых перевозок равно 5.

Проверим данный план на оптимальность при помощи критерия (21)-(22) Сначала дляx_ij>0в плане X⁰вычислим потенциалы по формуле (21):

u₁+v₂=c₁₂=3

u₁+v₄=c₁₄=4

u₂+v₁=c₂₁=1 (23)

u₃+v₃=c₃₃=5

u₃+v₄=c₃₄=7

В этой системе 7неизвестных и 5уравнений, т.е. ее нельзя решить. Поэтому выбираем самиu₁=0(см. примечание ниже). Тогда из первых двух уравнений найдем:v₂=3,v₄=4;Из последних двух:u₃=3,v₃=2.Далее вычисления прерываются (следствие вырожденности плана Х⁰). В таких случаях вводят фиктивные перевозки, записывая в соответствующие клетки 0,но считая эти перевозки ненулевыми. Существует много способов определения фиктивного маршрута (клетки) так, чтобы система потенциалов определялась однозначно. (см., например, [8], стр. 116).

Для фиктивных перевозок мы выберем клетку (2,3)по следующим соображениям:

а) этот маршрут наиболее дешевый (c₂₃ =2)

б) при добавлении уравнения

u₂+v₃=c₂₃=2

система (23)разрешается однозначно:

u₁=0,u₂=0,u₃=3;

v₁=1, v₂=3, v₃=2, v₄=4;

Теперь проверим выполнение неравенств (22)для нашего плана (для х_ij=0в X⁰):

u₁+v₁-c₁₁=-3<0

u₁+v₃-c₁₃=-4<0

u₂+v₂-c₂₂=-3<0

u₂+v₄-c₂₄=-4<0

u₃+v₁-c₃₁=+2>0 ←

u₃+v₂-c₃₂=+2>0 ←

Видим, что критерий оптимальности не выполнен (последние два неравенства), так что план X⁰неоптимален.

Надо построить новый план перевозок. Идея состоит в изменении объема перевозок по некоторым из маршрутов. Для определения этих маршрутов строим цикл -последовательность ненулевых клеток таблицы (маршрутов), в которой соседними являются две и только две ненулевые клетки одного столбика или одной строки, а последняя клетка последовательности находится либо в том же столбике, либо в той же строке, что и начальная клетка последовательности. "Вершины" цикла (т.е. клетки, вошедшие в цикл) и показывают те маршруты, по которым нужно изменить объемы перевозок. Остается определить начальную клетку цикла -клетку с наихудшей (положительной) оценкой в системе (24).

В данном случае можно взять как клетку (3,1)так и (3,2).Возьмем клетку(3,1)и напишем в эту клетку пока неизвестное числоz(в таблицу 1).Начиная с этой клетки, строим цикл (см. таблицу 1): (3,1) → (3,3) → (2,3) → (2,1).Впишем в начальную клетку знак "+"и далее последовательно ''-'', "+" по вершинам цикла, как это показано в таблице 1.Значениеz(объем новых перевозок по маршруту(3,1))определяется из условия: z=min{},где -объем перевозок по маршрутам, отмеченным знаком "-".Итакz=min{15,30}=15.Эту величину 15 отнимаем из объема перевозок, отмеченных знаком“-“, и прибавляем к объемам перевозок, отмеченных знаком "+" (балансируем). Результаты записываем в новую таблицу, перенося туда остальные перевозки без изменения:

Таблица 2.

	M1	M2	M3	M4
P1	4	3 25	6	4 + 15	40
P2	1 15	6	2 15	8	30
P3	2 15	4 + z	5	7 - 5	- 20
	30	25	15	20	ai bj

Получим новый ОП:

Видно, что он невырожденный, следовательно при проверке на оптимальность плана X⁰⁰система (21)разрешится однозначно (не нужно будет вводить фиктивные перевозки).

Самостоятельно проверьте, что ОП X⁰⁰неоптимален, и что на третьей итерации получается оптимальный опорный план (выполнены все неравенства (22)):

Вычислите суммарные стоимости перевозок по X⁰, X⁰⁰, X⁰⁰⁰по формуле (5)и убедитесь в оптимальности плана перевозок X⁰⁰⁰.

Как видно из решенного примера, алгоритм метода потенциалов следующий:

1)Занести данные задачи (транспортные издержки, спросы и предложения) в специальную рабочую таблицу;

2)Вычислить начальный ОП;

3)Проверить ОП на оптимальность;

3.1)Найти значения потенциалов для данного ОП по формуле (21);если ОП вырожденный, то ввести фиктивные перевозки;

3.2)Проверить выполнение неравенств (22):если они все выполнены, то данный ОП оптимален -вычисления прекратить; если нет, то перейти к пункту 4;

4)Построить новый ОП;

4.1)Построить цикл;

4.2)Изменить по вершинам цикла объемы перевозок;

4.3)Заполнить новую рабочую таблицу и перейти к пункту 3.

Примечания к методу потенциалов.

1.Систему потенциалов однозначно можно вычислить только для невырожденного ОП, при этом одному из потенциалов нужно придать произвольное значение (обычноu₁=0,т.к. в системе ограничений закрытой ТЗ имеется одно линейно зависимое ограничение).

2.В случае вырожденного ОП нужно ввести фиктивные перевозки с таким расчетом, чтобы из системы (21)однозначно вычислить все потенциалы.

3.Цикл всегда существует и единственен для каждой свободной клетки таблицы (для невырожденного ОП).

4.Если для какой-то свободной клетки(x_ij= 0)оптимального ОП в соотношении (22)достигается строгое равенство, то это говорит о неединственности оптимального ОП.

В зависимости от содержательной трактовки чисел с_ijтранспортная задача может быть поставлена на минимизацию суммарного расстояния или времени Пробега транспорта или на минимизацию расхода горючего, более общей является открытая модель ТЗ (когда не требуется выполнения равенства (20))и сетевая постановка ТЗ (когда один и тот же пункт выступает в роди производителя и потребителя),. Открытые ТЗ решаются путем сведения к замкнутой ТЗ (вводятся фиктивные потребители или производители), а для решения сетевых ТЗ существуют специальные методы (например, метод динамического программирования).