Дисперсія світла Основні формули

Дисперсією світла називається залежність показника заломлення n речовин від частоти  або довжини хвилі світла .

1. Фазова швидкість:

, а також υ = ,

де  – циклічна частота коливань;

k – хвильове число;

с – швидкість світла у вакуумі;

n – абсолютний показник заломлення середовища.

2. Групова швидкість:

,

де u – групова швидкість;

υ – фазова швидкість;

k – хвильове число;

–похідна залежності фазової швидкості від величини хвильового числа.

Похідну перепишемо

= .

Похідну знайдемо із виразу для хвильового числа

; d = – або.

Тому

= – .

З урахуванням виразу для співвідношення для залежності групової швидкості від фазової набуде вигляду

.

3. Фазова швидкість для світлових хвиль

,

де с – швидкість світла в вакуумі;

n – абсолютний показник заломлення середовища.

4. Зв’язок групової швидкості з фазовою для світлових хвиль

u = υ  ,

де = D – дисперсія речовини.

5. Показник заломлення середовища з макроскопічної електромагнітної теорії Максвелла:

n = ,

де  – відносна діелектрична проникність;

 – відносна магнітна проникність середовища.

6. Закон Бугера для поглинання світла в речовині

I = I₀  e^-x,

де I і I₀ – інтенсивності плоскої монохроматичної хвилі на вході і виході шару поглинаючої речовини;

 – коефіцієнт поглинання;

х – товщина шару поглинання.

Приклади роз’язування задач

Приклад 1. Показник заломлення n сірководню для світла різної довжини хвилі  подається в таблиці.

, нм	n
509	1,647
534	1,640
574	1,630

Визначити фазову і групову швидкості світла в околі довжини хвилі 534 нм.

Дано: ₁ = 509 нм; n₁ = 1,647;

₂ = 534 нм; n₂ = 1,640;

₃ = 574 нм; n₃ = 1,630;

Знайти: υ, u.

Розв`язування. Фазова швидкість світла з довжиною хвилі  = 534 нм дорівнює

υ = м/с.

Групова швидкість u пов’язана з фазовою швидкістю υ в середовищі з показником заломлення n співвідношенням:

u = υ  .

Похідну можна визначити, якщо відома функціяn() або за тангенсом кута нахилу дотичної до графіку функції n() при відомій довжині хвилі . Маючи три точки залежності n від , похідну визначимо наближено через середнє значення співвідношень

i .

Або

= – –2,8  10⁵ м^-1 ;

= –= –2,5  10⁵ м^-1.

Звідки

= – 2,65  10⁵ м^-1.

Знак (–) показує, що з ростом довжини хвилі показник заломлення зменшується, а фазова швидкість зростає. Це область нормальної дисперсії.

Групова швидкість буде дорівнювати

= 1,6710⁸ м/с.

Відповідь: υ = 1,8310⁸ м/c; u = 1,6710⁸ м/с.

Приклад 2. При проходженні плоскої монохроматичної хвилі відстані l₁ = 10 мм інтенсивність її зменшується на 1 %, а при проходженні відстані l₂ = 4,6 м – на 99 %. Визначити коефіцієнт поглинання середовища для даної довжини хвилі.

Дано:

l₁ = 10 мм;

l₂ = 4,6 м;

___________

 – ?

Розв`язування. Поглинання монохроматичного світла описується законом Бугера, згідно з яким

I₁ = I₀  i I₂ = I₀  .

Після нескладних математичних перетворень одержуємо :

звідки  = ,

; звідки  = .

Підставимо числові значення

 = =1,0 м^-1 i  = =1,0 м^-1 .

Відповідь:  = 1,0 м^-1.