- •С. Г. Авдєєв, т. І. Бабюк
- •Частина 2
- •Частина 2 гармонічні коливання і хвилі Основні формули
- •Приклади розв’язування задач
- •Механічні хвилі
- •2. Рівняння сферичної хвилі
- •3. Зв’язок довжини хвилі з періодом коливань і частотою:
- •4. Швидкість поширення хвиль (фазова швидкість хвильового руху):
- •Приклади розв’язування задач
- •Електромагнітні коливання і хвилі Основні формули
- •Приклади роз’язування задач
- •Інтерференція світла Основні формули
- •Приклади розв’язування задач
- •Дифракція світла Основні формули
- •Приклади розв’язування задач
- •Поляризація світла Основні формули
- •Приклади розв’язування задач
- •Дисперсія світла Основні формули
- •Приклади роз’язування задач
- •6 Квантова природа випромінювання Теплове випромінювання
- •Приклади розв’язування задач
- •Фотоефект Основні формули
- •Приклади розв’язування задач
- •Тиск світла Основні формули
- •Приклади розв’язування задач
- •Ефект комптона Основні формули
- •Приклади розв’язування задач
- •Додаток а Деякі відомості з математики
- •2. Формули диференціального й інтегрального числень
- •3. Формули для наближених обчислень
- •Довідкові дані
- •Сергій Григорович Авдєєв
Механічні хвилі
Основні формули
1. Рівняння плоскої хвилі
,
де Ux,t – зміщення точок пружного середовища від положення рівноваги на відстані x від джерела;
А – амплітудне зміщення цих точок;
–хвильове число;
– довжина хвилі;
– циклічна частота коливань.
2. Рівняння сферичної хвилі
,
де r – радіус-вектор пружного середовища.
3. Зв’язок довжини хвилі з періодом коливань і частотою:
де υ – швидкість поширення хвиль в пружному середовищі;
Т – період коливань;
– частота коливань.
4. Швидкість поширення хвиль (фазова швидкість хвильового руху):
а) поздовжня хвиля в твердому середовищі:
де Е – модуль Юнга;
– густина твердого середовища.
б) поперечна хвиля в твердому середовищі:
,
де G – модуль зсуву;
– густина твердого середовища.
в) повздовжня хвиля в рідкому середовищі:
,
де K – модуль об’ємної пружності рідини;
– густина рідини.
г) поздовжня хвиля в газоподібному середовищі:
,
5. Енергія пружних хвиль:
а) кінетична енергія
,
де m = Sx – маса виділеного елементу пружного середовища;
–швидкість хвильового руху точок середовища;
б) потенціальна енергія
в) повна енергія хвиль
г) середні значення повної енергії і густини енергії за час в один період
6. Потік енергії пружних хвиль
R = ,
де – середнє значення повної енергії хвиль.
7. Вектор потоку енергії пружних хвиль
,
де – середня густина енергії пружних хвиль;
–вектор швидкості поширення хвиль в пружному середовищі.
8. Ефект Допплера для звукових хвиль
,
де – частота звуку яка сприймається приймачем;
– частота звуку джерела;
с – швидкість поширення звукових хвиль в пружному середовищі;
υ – швидкість руху приймача звуку;
u – швидкість руху джерела звуку (нижній знак – джерело і приймач розходяться; верхній знак – джерело і приймач сходяться).
9. Інтерференція когерентних хвиль:
а) максимуми інтерференції спостерігаються, коли
= 2 2n ,
де х2 - х1 – різниця ходу двох хвиль;
– різниця фаз хвиль;
– довжина хвилі;
n = 0, 1, 2, 3, ... – порядок max.
Або
x = (x2 - x1) = n ;
б) мінімуми інтерференції спостерігаються, коли:
= 2 .
або
x = (x2 - x1) =(2n + 1)/2.
10. Рівняння стоячої хвилі
ux,t =
де ux,t – зміщення точок середовища від положення рівноваги на відстані х від джерела коливань;
А – амплітуда зміщення;
k = – хвильове число;
– циклічна частота коливань;
–амплітуда стоячої хвилі.
а) координати вузлів стоячої хвилі
kx = (2n + 1)/2 або x = (2n + 1)/4 ,
де n = 0, 1, 2, 3, ...;
х – координати вузлів стоячої хвилі.
б) координати пучностей стоячої хвилі
kx = n або x = n ,
де n = 0, 1, 2, 3, ... .
Приклади розв’язування задач
Приклад 1. Плоска звукова хвиля має період Т = 3 мс, амплітуду А = 0,2 мм і довжину хвилі = 1,2 м. Для точок середовища, які знаходяться на відстані х = 2 м, визначити: а) зміщення ux,t в момент часу t = 7 мс; б) швидкість і прискорення для того ж моменту часу. Початкову фазу коливань прийняти рівною нулю.
Дано:
Т = 3 мс
А = 0,2 мм
= 1,2 м
х = 2 м
t = 7 мс
_______________
ux,t –? x,t – ? x,t – ?
Розв’язування. Рівняння плоскої хвилі має вигляд:
ux,t = A cos (t - kx), (1)
де = 2/Т – циклічна частота коливань;
k = 2/ – хвильове число.
Знайдемо швидкість і прискорення поширення хвиль у пружньому середовищі як відповідні похідні за часом від (1):
; (2)
. (3)
а) зміщення точок середовища на відстані х = 2 м і в момент часу t = 7 мс, дорівнює
б) швидкість цих точок
=
= – 0,2 10-3.2093 sin =– 0,031 м/с.
в) прискорення руху точок середовища
=
=– 0,2.10-3.20932 соs=–873,3 м/с2.
Відповідь: ux,t = 0,12 мм; =– 0,031 м/с; = – 873,3 м/с2 .
Приклад 2. Рівняння плоскої біжучої хвилі має вигляд
ux,t = 6,0 10-2 cos (1800t – 5,3x) мм. (1)
Знайти: а) відношення амплітуди зміщення частинок середовища до довжини хвилі; б) амплітуду швидкості частинок середовища і її відношення до швидкості поширення хвиль; в) амплітуду відносної деформації середовища і її зв’язок з амплітудою швидкості частинок.
Розв’язування. Рівняння плоскої біжучої хвилі в загальному вигляді запишемо так:
ux,t = A cos . (2)
а) порівнюючи співвідношення (1) і (2), знайдемо відношення амплітуди зміщення частинок середовища до довжини хвилі. Крім того амплітуда, період коливань і довжина хвилі дорівнюють:
А = 6,0 10-5 м; 2/Т = 1800 с-1,
звідки
Т = 2/1800 = 3,49 10-3 с.
Оскільки 2/ = 5,3 м-1, то = 2/5,3 = 1,18 м.
Тому
= 5,08 10-5.
б) швидкість частинок середовища знайдемо, взявши похідну за часом від рівняння (1)
= – 6,0 10-5 1800 sin (1800t – 5,3x) м/с,
де ()max = 6,0 10-5 1800 = 0,11 м/с – амплітуда швидкості частинок.
Швидкість поширення хвиль у пружному середовищі
= 339 м/с.
Відношення амплітуди швидкості частинок середовища до швидкості поширення хвиль
в) для знаходження зв’язку амплітуди відносної деформації частинок і амплітуди швидкості частинок знайдемо відповідні похідні від рівності (2):
; (3)
; (4)
Поділимо рівняння (4) на (3)
= υ
або
де – амплітуда швидкості;
–амплітуда відносної деформації;
υ – швидкість поширення хвиль.
Відповідь: А/ = 5,08 10-5 ; =0,11 м/с;
= 3,19 10-4; .
Приклад 3. Труба має довжину 85 см. Вважаючи швидкість звуку 340 м/с, визначити число власних коливань стовпа повітря в трубі, частоти яких менше 0 =1250 Гц. Розглянути два випадки: а) труба закрита з одного кінця; б) труба відкрита з обох кінців.
Дано:
l = 0,85 м
υ = 340 м/с
0 = 1250 Гц
____________
1 – ? 2 – ? ...
Розв’язування. В трубі як в першому, так і в другому випадку створюється стояча хвиля. Слід мати на увазі, що біля відкритого кінця труби завжди буде пучність, а біля закритого кінця труби завжди буде вузол, як це показано на рис.7.
Рисунок 7
а) у випадку закритої з одного кінця труби на її довжині вкладається непарне число /4, тобто
l = (2k +1) /4,
де k = 0, 1, 2, ...;
– довжина хвилі, яка пов’язана з частотою коливань = υ/.
Тому
l = (2k + 1) , звідки = .
Знайдемо ці частоти
k = 0; 1 ==100 Гц.
k = 1; 2 = =300 Гц.
k = 2; 3 = = 500 Гц.
k = 3; 4 = = 700 Гц.
k = 4; 5 = = 900 Гц.
k = 5; 6 = = 1100 Гц.
Наступна частота буде більша за 6;
б) у випадку відкритої з обох кінців труби, для збереження умови пучностей біля відкритого кінця, треба, щоб в її довжині вкладалось ціле число півхвиль, тобто
l = k , деk = 1, 2, 3, ....
З урахуванням того, що = , маємо
l = k , звідки = .
Знайдемо ці частоти
k = 1; 1 = =200 Гц. k = 2 ; 2 = =400 Гц.
k = 3; 3 = =600 Гц. k = 4 ; 4 = =800 Гц.
k = 5; 5 = = 1000 Гц. k = 6 ; 6 = = 1200 Гц.
Приклад 4. На шосе рухаються назустріч дві автомашини з швидкостями u1 = 30 м/c і u2 = 20 м/с. Перша з них подає звуковий сигнал частотою 1 = 600 Гц. Визначити частоту, яка буде сприйматись водієм другої автомашини в двох випадках: а) до зустрічі; б) після зустрічі. Швидкість звуку в повітрі c = 340 м/с.
Дано:
u1 = 30 м/с
u2 = 20 м/с
0 = 600 Гц
c = 340 м/с
____________
–? – ?
Розв’язування. Зміна частоти коливань при русі джерела звуку і приймача в цих випадках визначається за допомогою формули ефекту Допплера:
а) до зустрічі
600 = 696 Гц;
б) після зустрічі
600 = 519 Гц.
Відповідь: = 696 Гц; = 519 Гц.
Приклад 5. Визначити потужність точкового ізотропного джерела звуку, якщо на відстані r = 25 м від нього інтенсивність звуку R дорівнює 20 мВт/м2. Яка середня густина енергії на цій відстані ?
Дано:
r = 25 м
R = 20 мВт/м2
_____________
N – ? – ?
Розв’язування. Відомо, що інтенсивність або густина потоку енергії визначається за формулою
R =,
де W – повна енергія, яка випромінюється точковим джерелом звуку у всіх напрямках;
S – площа поверхні, через яку здійснюється перенесення енергії;
t – час випромінювання.
Тоді потужність точкового джерела випромінювання буде дорівнювати
N = абоN = R S.
Підставимо числові значення
N = 20 10-3 4 3,14 625 = 157 Вт.
Середня об’ємна густина енергії на цій відстані визначається з формули
R = звідки=,
де – швидкість звуку в повітрі, яка для норальних умов дорівнює340 м/с.
Тому
5,88 10-5 Дж/м3.
Відповідь: 157 Вт; 5,8510-5 Дж/м3.