Дифракція світла Основні формули

1. Радіуси зон Френеля:

а) сферичний хвильовий фронт

;

б) плоский хвильовий фронт

,

де k – порядковий номер зони Френеля (k = 1, 2, 3,...);

 – довжина хвилі світла;

a – радіус хвильової поверхні;

b – відстань від вершини хвильової поверхні до екрана.

2. Умова максимумів дифракції на щілині

,

де b – ширина щілини;

 – кут дифракції;

k = 1, 2, 3,... – порядок максимуму або мінімуму дифракції.

3. Умова мінімумів дифракції на щілині

b sin  = k.

4. Умова головних максимумів на дифракційній гратці

d sin  = k ,

де d – стала дифракційної гратки, яка дорівнює ширині однієї прозорої і однієї непрозорої смуг (d = b + a).

5. Кутова дисперсія гратки

,

де k – порядок спектра (k = 1, 2, 3,...);

 – кут дифракції.

5. Роздільна здатність дифракційної гратки:

,

де  – найменший інтервал довжин хвиль, якi за умовою Релея можуть бути розділені;

k – порядок спектра (k = 1, 2, 3,...);

N – число всіх щілин в гратці .

7. Умова максимумів дифракції рентгенівських променів на просторовій гратці (формула Вульфа-Брегга)

2d sin  =  k ,

де d – стала кристалічної структури;

 – кут між напрямком променя і поверхнею кристала;

k – порядок спектра ( k = 1, 2, 3, ...);

 – довжина хвилі.

Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Точкове джерело світла з довжиною хвилі 0,6 мкм розміщене на відстані а = 100 см перед діафрагмою з круглим отвором радіусом _k = 1 мм. Визначити відстань b від хвильової поверхні до точки спостереження, для якої в отворі діафрагми вкладається k = 5 зон Френеля.

Дано:

 = 0,6 мкм

a = 1 м

k = 5

_k = 1 мм

____________

b – ?

Рисунок 13

Розв’язування. Якщо в отворі діафрагми на хвильовій поверхні радіусом а вкладається k зон Френеля, то радіус k-ї зони буде рівний (рис.13):

.

Звідки

.

Підставимо числові значення

= 0,5 м.

Відповідь: b = 0,5 м.

Приклад 2. На щілину шириною b = 0,01 мм перпендикулярно падає промінь світла ( = 577 нм). Під яким кутом  до початкового напрямку будуть спостерігатись максимуми другого і третього порядків?

Дано:

b = 0,01 мм

 = 577 нм

k₁ = 2

k₂ = 3

_

___________

₁ – ? ₂ – ?

Рисунок 14

Розв’язування. Умова максимумів дифракції на одній щілині має вигляд:

де bsin =  – оптична різниця ходу двох крайніх променів, які проходять крізь щілину (рис.14).

Звідки

sin  =  або  = arcsin.

Підставимо числові значення:

a) k = 2, ₂ = arcsin 8,1^о;

б) k = 3, ₃ = arcsin .

Відповідь:  ₂ = 8,1;  ₃ = 11,6.

Приклад 3. Дифракційна гратка містить 200 смуг на 1 мм. На гратку падає перпендикулярно монохроматичне світло з довжиною хвилі 0,6 мкм. Максимуми якого найбільшого порядку дає ця гратка?

Д

ано:

N = 200

l = 1 мм

 = 0,6 мкм

____________

k_max – ?

Рисунок 15

Розв’язування. Головні максимуми дифракції на дифракційній гратці (рис.15) спостерігаються згідно з умовою

d sin  = k ,

де dsin =  – oптична різниця ходу двох суміжних променів;

k – порядок дифракційної смуги;

 – довжина хвилі світла.

Порядок дифракційної смуги з цієї умови дорівнює:

.

Якщо sin  = 1, то k = k_max , тому

.

Сталу дифракційної гратки знайдемо із умови

Тому

.

Підставимо числові значення

.

Відповідь: k_max = 8.

Приклад 4. За допомогою дифракційної гратки з періодом d = 20 мкм необхідно роздільно бачити дублет натрію (₁ = 589,0 нм і ₂ = 589,6 нм) в спектрі другого порядку. При якій найменшій ширині гратки це можливо?

Дано:

d = 20 мкм

₁ = 589,0 нм

₂ = 589,6 нм

k = 2

____________

l – ?

Розв’язування. Роздільна здатність дифракційної гратки визначається формулами:

i R = k N,

де k – порядок спектра;

N – число всіх щілин або смуг в гратці;

 = ₁ – ₂ – найменший інтервал довжин хвиль, які можна бачити роздільно в околі довжин хвиль ₁.

Прирівняємо праві частини цих формул:

kN = .

Число всіх щілин в гратці дорівнює

N = ,

де l – ширина гратки;

d – стала гратки.

Тому

.

Звідки

,

або

.

Підставимо числові значення

м.

Відповідь: l  1 см.