2.6.1. Розподіл електронів у металі за енергіями. Енергія Фермі.

2.6.2. Розрахунок енергії Фермі. Середнє значення енергії елек-тронного газу в металі. Температура виродження.

2.6.3. Квантова теорія електропровідності металів.

2.6.4. Теплоємність електронного газу.

2.6.1. Розподіл електронів у металі за енергіями. Енергія Фермі

Електричні, теплові, оптичні та ряд інших властивостей металів визначаються станом в них вільних електронів. Тому основним завданням квантової теорії є вивчення закономірностей розподілу вільних електронів у металі за енергіями. Оскільки електрони мають напівцілий спін , то вони відносяться до ферміонів і описуються квантовою статистикою Фермі-Дірака. З густиною квантових станів в енергетичній зоні ми уже ознайомилися в попередніх лекціях. На черзі квантовий розподіл Фермі-Дірака, який визначає імовірність заповнення квантових рівнів енергетичної зони електронами в умовах термодинамічної рівноваги.

Квантовий розподіл Фермі-Дірака має вигляд

, (2.6.1)

де f(Е) – імовірність заповнення електронами квантових рівнів енергетичної зони в області енергій Е; Е_ф- енергія Фермі; к – стала Больцмана; Т – абсолютна температура.

Для вияснення фізичної суті енергії Фермі слід проаналізувати вираз (2.6.1)при різних температурах.

При наближенні температури кристала до абсолютного нуля мож-ливі два випадки.

При T0:

а) Е>Е_ф,f(E) 0;

б) Е_ф>Е, f(E) 1.

Тобто квантові рівні електронів, розміщені вище енергії Фермі є пов-ністю вільними, а квантові рівні електронів нижче енергії Фермі, повністю заповнені електронами. Графічна ітерпретація цього аналізу показана на рис. 2.30.

З рисунка видно, що енергія Фермі – це найбільша енергія електронів у металі при абсолютному нулі температур. Вище цієї енергії немає жодного заповненого квантового рівня. Імовірність виявити електрон з енергією Е>Е_фпри цій температурі дорівнює нулю.

Рис. 2.30

Проте рівні з енергіями Е<Е_фпри Т=0 заповнені з імовірністю, рівною одиниці.

Розглянемо випадки, коли температура кристалу вища за абсолютний нуль.

При Т>0

а) Е=Е_ф,f(E)=1/2;

б) Е<E_ф, f(E)>1/2; в) Е>Е_ф, f(E)<1/2.

Графічна інтерпретація цього аналізу показана на рис.2.31.

Рис. 2.31

На рис. 2.31 показано, що при довільній температурі, вищій за абсолютний нуль, в енергетичній зоні вільних електронів невелика частина їх буде мати енергії Е>Е_ф , в той час як на рівнях з енергіями Е<E_фпоявляться вакансії, тобто не заповнені квантові стани.

Температурний інтервал зміни енергії електронів біля енергії Фермі досить малий і не перевищує кількох відсотків. Це означає, що квантові рівні в металі, енергія яких менша за Е - кТ – заповнені повністю, а квантові рівні з енергіями більшими за Е + кТ є повністю вільними.

2.6.2. Розрахунок енергії Фермі. Середнє значення енергії елек-тронного газу в металі. Температура виродження.

Щоб розрахувати максимальну енергію електронів у металі, тобто енергію Фермі, а також середнє значення енергії вільних електронів в енергетичній зоні металу, можна використати формулу (2.1.7).

Для знаходження загального числа всіх електронів в енергетичній зоні металу в праву частину цієї формули слід підставити вирази густини квантових станів і імовірності заповнення цих станів електронами та проінтегрувати цей вираз за значеннями енергій від 0 до Е_ф

(2.6.2)

де g(E) ― густина квантових станів в енергетичній зоні;f(E) – імовірність заповнення цих станів електронами (розподіл Фермі-Дірака);dE– енергетичний інтервал.

При абсолютному нулі температур f(E)=1, тому:

. (2.6.3)

Густина квантових станів для електронів провідності в металі дорівнює

. (2.6.4)

Підставивши (2.6.4) в (2.6.3) одержимо:

. (2.6.5)

Концентрація електронів провідності в енергетичній зоні буде дорівнювати

. (2.6.6)

Концентрацію електронів провідності легко розрахувати засобами молекулярної фізики, тобто

, (2.6.7)

де Na― число Авогадро;― густина металу;― молярна маса металу.

Для прикладу знайдемо концентрацію вільних електронів провідності в міді

. (2.6.8)

Підставляючи (2.6.7) в (2.6.6) легко розрахувати енергію Фермі для міді

Аналогічні розрахунки показують, що різні метали мають відповідно різні значення енергії Фермі. Так енергія Фермі калію 2,14 еВ, енергія Фермі срібла 5,5 еВ, енергія Фермі алюмінію 11,9 еВ, тощо.

Середнє значення енергії електронів провідності в металі можна розрахувати діленням сумарної енергії всіх електронів в енергетичній зоні на їх число в цій зоні, тобто

. (2.6.9)

Сумарну енергію всіх електронів у енергетичній зоні металу можна розрахувати засобами теорії імовірності, тобто

, (2.6.10)

де g(E) ― густина квантових станів у виділеній частині енергетичної зони в області енергій Е; f(E) ―імовірність заповнення цих станів електронами.

При абсолютному нулі температур (Т=0) f(E)=1, тому

. (2.6.11)

Середнє значення енергії електронів знайдемо, поділивши (2.6.11) на (2.6.5), тобто

. (2.6.12)

Таким чином середня енергія електронів провідності в міді при Т=0 не перевищує 4,2еВ.

Електронний газ в металі принципово відрізняється від класичного ідеального газу. Основна відмінність полягає у незалежності енергії електронів від температури. Цю властивість електронного газу називають виродженням. Температура, при якій електронний газ перестає бути квантовим, тобто виродженим, називається температурою Фермі.

Температуру виродження електронного газу знайдемо із співвідношення

кT_Ф = Е_Ф, (2.6.13)

Звідки

(2.6.14)

Розрахунок температури Фермі для міді

. (2.6.15)

Таким чином електронний газ в міді залишається виродженим, тобто квантовим, аж до температури 81000К. Для алюмінію така температура сягає 138000К. Вище температури Кюрі електронний газ втрачає квантові властивосі, тобто стає класичним.