Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Винницкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лит МатКад / Введение в MathCad

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

9. Вычисление пределов, сумм, произведений

В MathCAD имеются специальные операторы для вычисления пределов, конечных и бесконечных сумм, произведений. Пиктограммы этих операторов расположены в панели Calculus.

9.1. Символьное вычисление пределов

Символьное вычисление пределов можно выполнять двумя способами.

Первый способ. Ввести оператор предела, используя панель Calculus. Затем задать предел для переменной и выражение, предел которого нужно вычислить (рис. 9.1).

lim	lim+	lim − (x +


x
x
→	x→ 1	x→ ∞

Рис. 9.1. Оператор предела

После этого нужно выделить все выражение и выполнить команду Symplify из меню Symbolics либо команду Symbolically

из меню Symbolics/Evaluate. В результате на экране появится искомое значение предела или сообщение об ошибке.

Пример 9.1. Вычислить предел выражения

	3 27	+ x −	3 27 −		x
	lim
	lim	x + 2	3		,
→			3	x	,
→				x
x	0			4

используя команду Symplify и Symbolically. Результат вычисления по команде Symplify

		3 27 +			x − 3 27 −					x	simplifies to	2
	lim
x	lim			x +		2	3	4				27
x		0					3	4				27
→								x
Результат вычисления по команде Symbolically
		3	27	+	x −		3	27	−	x	yields	2	3 27
	lim			+	x −				−	x		2
x	lim
x		0		x +		2	3	4				81
→				x +		2		x			81
											81

Из приведенных примеров видно, что результатом вы- числения по команде Symplify является рациональное число, а по команде Symbolically – нет.

Пример 9.2. Вычисление левосторонних и правосторонних пределов с помощью команды Symplify:

lim xx				simplifies to	1
x→	0	+
lim			1	simplifies to
					0
			1
x→	0 +		1

			1 + e x
			1 + e x

				1			1	π
lim			atan			simplifies to
lim			atan	1 −	x	simplifies to	2
x→	1	−		1 −	x		2
x→	1

Пример 9.3. Вычисление пределов на бесконечности

lim			acos(			x2 +	x − x)	simplifies to		1	π
lim			acos(			x2 +	x − x)	simplifies to		3	π
x	∞									3
→	∞
lim		−	(	1	+	x +	x2 −	1 − x + x2)	simplifies to
x→	∞	−

Второй способ. Для вычисления пределов можно использовать знак символьного равенства → .

Пример 9.4. Вычисление пределов с помощью символь-

ного равенства
lim		(x − ln(cosh(x)))			→ ln( )
→	∞				2
x
lim		sin(x) −	sin(a)	→	cos(a)
lim		x −		→	cos(a)
x	a	x −	a
→

lim

ax −

→

aa ln(a) − aa

x −

→

x y

lim

→

exp( )

x→ ∞

y→

Пример 9.5. Найти наклонную асимптоту функции

y =

− 3x

− 2

и нарисовать ее график.

x + 1

Создание пользовательской функции

−

x −

f (x) :=

x +

Вычисление коэффициентов наклонной прямой

lim

f (x)

→

lim

(f (x) −

→

− 4

∞

x→ ∞

→

nl(x):= x - 4 – это наклонная асимптот

−

f(x)

axes

nl(x)

− 20

2.5

− 5

axes X

Рис. 9.2. График функции y =

−

3x − 2

x + 1

9.2. Вычисление сумм и произведений

Оператор суммы (произведения) можно ввести, используя панель Calculus. Затем задать пределы изменения индекса, в соответствующих ячейках над и под символом суммы (произведения), а после знака суммы (произведения) ввести выражение,

задающее отдельное слагаемое либо множитель (рис. 9.3.).

10	n	∑	∏ k	∏	n
∑						1
n =	1	n	k	k = 1		k(k + 1)

Рис. 9.3. Операторы суммы и произведения

Приведенные выше операторы могут выполнять как численные, так и символьные вычисления. Для численного вы- числения суммы (произведения) следует ввести знак =, и после введенного выражения появится численный результат.

Пример 9.6. Вычисление конечных сумм и произведений

(

−

)

∑

− 0.141566

( k

)

(

2k +

)

k = 1

∑

0.171514

(

4k −

) 2 n

n = 1 k = 1

x :=

k :=

0 .. 50

(− 1)

x 4

∑

0.205507

(2 k)!

100

∏

−

sec

= 0.868859

k = 3

2k2

	Пример 9.7. Вычислить сумму S =					10	ai +
	Пример 9.7. Вычислить сумму S =					∑	ai +	bi	, где коэффи-
						i= 1
циенты вычисляются по формулам:
ai =		i / 2,	åñëè i −	четное,		2i,	åñëè	i	− четное,
ai =		i ,	åñëè i −	нечетное,	bi =	3i , åñëè i −			нечетное.
		i ,	åñëè i −	нечетное,		3i , åñëè i −			нечетное.

Вычисление коэффициентов i := 1 .. 10

mod(i, 2)

if(mod(i, 2)

0 ,

, i

0 , 2 i

Вычисление суммы

S := ∑ ai +

S =

39.9712051

Для символьного вычисления суммы (произведения) верхний индекс нужно задать неопределенной переменной либо ∞ . Затем выделить все выражение и выбрать команду Symplify

или Factor из меню Symbolics либо команду Symbolically из меню Symbolics/Evaluate. В результате появится искомое зна- чение суммы (произведения) или сообщение об ошибке. Для символьного вычисления можно также использовать знак символьного равенства → .

			n
	Пример 9.8. Вычислить сумму ∑ i2 и произведение
			i= 1
n	1−	1
∏			, используя команды Symplify, Factor, Symbolically.
∏		k2	, используя команды Symplify, Factor, Symbolically.
k= 1		k2

n
∑		i2								simplifies to					1	n3 +					1	n2 +		1	n
∑		i2								simplifies to				3		n3 +						n2 +		6	n
i =	1													3						2				6
i =	1
n
∑		i2				by factoring, yields									1	n (n +						1) (2 n +				1)
∑		i2				by factoring, yields								6		n (n +						1) (2 n +				1)
i =	1													6
i =	1
n
∑		i2						yields				1	(n +	1)3 −				1	(n +			1)2 +			1		n +		1

												3																	6
i =	1											3					2							6					6
i =	1
n									1
∏									1											n) (n +
																	(2							1)
								k2									(2							1)
				1	−						simplifies to						1
				1	−						simplifies to
k =	2
n																											Γ (n +
∏			1 −			1					by factoring, yields											1	Γ (n)				Γ (n +
∏			1 −																				Γ (n)
k =	2					k			2													2				Γ (n +			1
									2													2

n								1
∏				1	−			1									1						Γ (n +			2)
											yields
											yields
k =	2						k2										2 Γ			(n)			Γ (n +			1)		2
k =	2																						Γ (n +			1)

Пример 9.9. Вычисление некоторых сумм и произведений

∞

∑ 1 simplifies to 2 i = 0 2i

∑		1			→	1	π 2
∑				2	→		π 2
( k	1.. ∞ )	(2 k −	1)	2		8
		(2 k −	1)

∞

ln(2)

l =

k =

(4l −

1)2k

∑

simplifies to

∞

k3 −

∏

by factoring, yields

k =

∞

∏

1 −

→

k = 1

(2k +

lim

∑

2k −

→

n→

∞

k =

lim

∏

1 +

→

exp

n→

∞

k =

10. Вычисление производных, интегралов. Задачи на экстремум

10.1. Вычисление производных

Символьное вычисление производных можно выполнять тремя способами.

Первый способ. Ввести выражение и отметить курсором переменную, по которой производится дифференцирование. Затем выполнить команду Differentiateиз меню Symbolics/Variable. Предварительно нужно установить в Symbolics/Evaluation Style опцию Horizontally и отметить окошко Show Comments для вывода результата и комментарий в одной строке.

Пример 10.1. Вычислить производную с помощью команды Differentiate:

sin(ax + b)2 by differentiation, yields 2 sin(ax + b) cos(ax

x		1							2
	by differentiation, yields					+			x
a2 − x2				1			(a2 − x2

		(a2 − x2) 2
ln(sin(2x))	by differentiation, yields		2		cos(			2	x)

					sin(2 x)

Второй способ. Ввести оператор дифференцирования, используя панель Calculus (рис.10.1). В нижней ячейке указать переменную, по которой производится дифференцирование, затем ввести дифференцируемое выражение. Выделить его и

выбрать команду Symbolically из меню Symbolics/Evaluate.

d	d2
		f (x)
dx	dx2

Рис. 10.1. Операторы дифференцирования

Пример 10.2. Вычислить производную с помощью команды Symbolically


	d	sin(ln(x))			yields		cos(ln(x))
							x

	dx
	d2		(a x3 +	b x + c)	yields		6 a x
			(a x3 +	b x + c)	yields		6 a x
	dx2
	d	(x2 y +		sin(x y))	yields		2 x y + cos(x y) y
		(x2 y +		sin(x y))	yields		2 x y + cos(x y) y
	dx
Третий способ. Ввести оператор дифференцирования,
затем символьный знак равенства →						(вводится с использо-

ванием соответствующей пиктограммы на панели Symbolic
либо комбинацией клавиш Ctrl + →	) и щелкнуть левой кноп-

кой мыши в любом свободном месте документа. На экране появится результат вычисления. Преимущество этого способа вычисления производных заключается в автоматическом обновлении результата при изменении исходного выражения.

Пример 10.3. Вычислить производную с помощью символьного знака равенства.

f (x, y) := x2 y + y2 x

f (x, y) →

2 x y + y2

f (x, y) →

x2 + 2 x y

d (1 − x)k

(1 − x)k

→

− (

−

x) (1 + x)

(1 + x) (

dx (1 + x)

(1 −

cos(n x) sin(x)n →

− sin(n x) n sin(x)n + cos(n x) sin(x)n n

Пример10.4. Показать,чтофункция u(x, y) =

ex (x cosy − ysin y)

удовлетворяет уравнению Лапласа

∂ 2u(x, y)

∂

2u(x, y)

= 0 .

∂ x2

∂ y2

u(x, y) :=

ex (x cos(y) − y sin(y))

f(x, y) :=

u(x, y) →

exp(x) (x cos(y) − y sin(y)) +

2 exp(x)

dx2

g(x, y) :=

u(x, y) →

exp(x)

(

cos(y) −

cos(y) +

− x

y s

dy2

f(x, y) +

g(x, y) simplify→ 0 .

Для вычисления значения производной в точке (численное дифференцирование) поступают следующим образом: нужно присвоить переменной численное значение, ввести оператор дифференцирования с соответствующей переменной и дифференцируемым выражением и знак =. В результате появится численный результат.

Пример 10.5. Вычислить значение производной в точке

x := 2		d	cos(x2 + x + 1) = − 3.284933.

		dx
	10.2. Вычисление интегралов

Выполнить символьное интегрирование, как и дифференцирование, можно тремя способами.

Первый способ. Ввести интегрируемое выражение и указать переменную, относительно которой производится интегрирование, затем выполнить команду Integrate из Symbolics/

Variable.

Пример 10.6. Вычислить интегралы с помощью команды

Integrate

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лит МатКад

#
17.05.20151.23 Mб45Введение в MathCad.pdf
#
17.05.20151.9 Mб40КМВТMathCad.pdf