Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Винницкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лит МатКад / Введение в MathCad

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Фазовая траектория автономной системы

	2
	1.5
3	1
Y
	0.5
	0	10	20	30	40
			Y 2

Рис. 11.14. Фазовая траектория

Пример 11.13. Построить графики решения и фазовой траектории системы Вольтерра-Лотка

y′(t) =	(a −	by		2	(t))y (t),
1				2		1
y′(t) =	(− c	+	dy			(t))y	2	(t),
2					1		2

ãäå a, b, c, d – положительные числа, с начальными условиями

y1(0)	= 1, y2 (0)		=		2.
Исходные данные
ORIGIN := 1
a := 2	b := 3				c := 1			d := 5
Начальные данные
	1
y :=	2
Решение поставленной задачи
	(a −				by2) y1
D(x, y) := (− c +					dy1) y2
Y :=	rkfixed(y,	0	,	18		,	2000	, D)
		0		18			2000

121

Графики решения

		4
Y		3
	2
Y		2
	3
		1
		0	4.5	9	13.5	18

Y 1

Рис. 11.15. Графики решения

Фазовая траектория системы

Y 3 2

0 0.5 1 1.5 2

Y 2

Рис. 11.16. Фазовая траектория

Известно, что линейная автономная система с невырожденной матрицей


y′(t) = a	y (t)		+	a	12		y		2		(t),
1	11	1			12				2
y′(t) = a	21	y (t)	+	a		22		y		2		(t)
2	21	1				22				2

имеет единственную точку покоя (0, 0).

Характер точки покоя можно установить по собственным значениям матрицы системы:

A =	a	11	a	12
A =		11		12
	a21		a22
	a21		a22		.
					122

Векторное поле автономной системы задает в каждой точке плоскости 0y1y2 направление касательной к фазовой траектории системы, проходящей через эту точку. Точки векторного поля, в которых векторное поле нулевое, называются особыми точками векторного поля. Точки покоя автономной системы являются особыми точками векторного поля.

Пример 11.14. Определить характер точки покоя линейной автономной системы

y′(t) =	y (t)	−	y	2	(t),
1	1			2
y′(t) =	2y (t)		−	y		2	(t)
2	1					2

и изобразить фазовые кривые и векторное поле. Вычисление собственных значений

ORIGIN	:=	1
A :=	1	− 4	eigenvals ( A) =	2.646i
A :=	2	− 1	eigenvals ( A) =	− 2.646i

Собственные значения, комплексные числа и действительная часть равна нулю. Точка покоя устойчива, но не асимптотически устойчива и называется центром [2, 3]

D(x, y) :=		y1 − 4y2
		2y1 − y2

Решение автономной системы для различных начальных

значений	− 1
x :=		X1 :=	rkfixed(x, −	2	,	2	,	200	, D)
	1

x :=	1	X2 :=	rkfixed(x, −	2	,	2	,	200	, D)
	− 2

x :=	− 2	X3 :=	rkfixed(x, −	2	,	2	,	200	, D)
	2

x :=	− 1	X4 :=	rkfixed(x, −	2	,	2	,	200	, D)
	2

123

Фазовые траектории системы

					4
X1	3				2
X2	3
X3 3		6	4	2	0	2	4	6
X4	3				2
					2
					4
			X1 2 , X2 2 , X3 2 , X4 2

Рис. 11.17. Фазовые траектории

Построение векторного поля i := 1 .. 20

y1i := − 2 + 0.2 i	y2j := −	2 + 0.2 j
Y1(i, j) := y1i − 4 y2j	Y2(i, j) :=	2 y1i − y2j

(Y1, Y2)

Рис. 11.18. Векторное поле

124

11.4. Аналитическое решение дифференциальных уравнений

Решение некоторых дифференциальных уравнений можно получить в аналитическом виде.

Уравнение в виде

P(x)dx + Q(y)dy = 0

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Общий интеграл этого уравнения имеет вид

∫P(x)dx + ∫Q(x)dy = C .

Пример 11.15. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

(1 − e2x )y2dy − exdx = 0 .

Общий интеграл дифференциального уравнения

	⌠			⌠	x
	⌠				x
			2		e
F(x, y, C) :=			y dy −			dx − C
F(x, y, C) :=			y dy −		2 x	dx − C
	⌡				1 + e
				⌡
Аналитическое решение уравнения
F(x, y, C) →		1	y3 −	atan(exp(x)) − C
F(x, y, C) →	3		y3 −	atan(exp(x)) − C
	3
Дифференциальное уравнение вида
dy(x) + p(x)y(x)				= q(x)
dx

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Общее решение этого уравнения

y(x) = µ(1x) (∫q(x)µ(x)dx + C),

ãäå (x) = e∫p(x)dx .

125

Пример 11.16. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения вида

dy(x) −	2		y(x) =		2x3 .
dy(x) −			y(x) =		2x3 .
dx	x
Исходные данные
p(x) :=	−	2			q(x) :=		2x3
	−
		x
		x
		⌠
		p(x) dx
µ (x) :=		⌡
µ (x) :=	e
Общее решение ⌠
		1
y(x, C) :=						q(x) µ (x) dx + C
y(x, C) :=				µ (x)		q(x) µ (x) dx + C
				µ (x)	⌡
y(x, C) →			x2 (x2 + C)

Используя преобразование Лапласа, можно найти аналитическое решение задачи Коши.

Пример 11.17. С помощью преобразования Лапласа найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

dy(t) +			y(t) =	sin t	,	y(0) = 0.
	dt
Находим прямое преобразование Лапласа
	d	y(t) +	y(t) −	sin(t)
		y(t) +	y(t) −	sin(t)
	dt
has Laplace transform
slaplace(y(t) , t, s) −					y(	) + laplace(y(t) , t, s) −	1
slaplace(y(t) , t, s) −					y(	) + laplace(y(t) , t, s) −	(s2 + 1)
						0

Введем обозначение L = laplace(y(t),t,s), примем во внимание начальное условие и решим полученное уравнение относительно L.

126

В результате получим

s L + L −	1		has solution(s)	( 2	)	1
	2
	s +	1		s +	1	(s +	)

							1

Применим к полученному выражению обратное преобразование Лапласа и получим аналитическое решение исходной задачи

has inverse Laplace transform

exp(− t)

−

cos(t) +

sin(t)

(s2 + 1) (s + 1)

Пример 11.18. Найти аналитическое решение задачи Коши

d2y(t) +

4 dy(t) +

4y(t) = t2e− 2t , y(0)

= 0,

y′(0) = 0 .

dt2

Выполняем прямое преобразование Лапласа

y(t) + 4

y(t) + 4 y(t) − t2 e− 2 t

dt2

has Laplace transform

s(slaplace(y(t) , t, s) − y(0)) −

t ← 0

+ 4s laplace(y(t) , t , s) − 4y(0) +

4laplace(y(t) , t , s)

y(t)

Введем обозначение L = laplace(y(t),t,s), примем во внимание начальное условие и решим полученное уравнение относительно L. В результате получим

s (s L) +	4 s L +	4 L −	2			has solution(s)				2
								2)	3	2	+ 4 s + 4)
					3				3	2
			(s +	)			(s +			(s
				2

Получение аналитического решения исходной задачи

			2		has inverse Laplace transform	1	t4 exp(− 2 t)
(s +	2)		(s +	4 s + 4)	has inverse Laplace transform		t4 exp(− 2 t)
		3	2			12

127

12. Программирование в MathCAD

MathCAD располагает возможностью для создания программных блоков (модулей). Средства программирования расположены в панеле Programming (рис. 12.1).

Рис. 12.1. Панель Programming

Программный модуль есть ни что иное, как функция пользователя с именем и параметрами, выделенными в тексте жирной вертикальной чертой. В модуле можно присваивать значения локальным переменным, создавать условные переходы, циклы.

Оператор Add Line создает программный блок. Оператор ← – оператор локального присвоения. Локаль-

ная переменная определена только внутри блока и при выходе из блока теряет свое значение.

Оператор if	– условный оператор, который создает кон-
струкцию вида		if	. Если условие выполняется, то

возвращается значение выражения слева. Совместно с оператором if можно использовать оператор иного выбора

otherwise. Оператор					if совместно с оператором otherwise
образует конструкцию
	Åñëè				....... Òî		....... Иначе.
Пример 12.1. Построить график функции
	1 −	x	2	,	åñëè	õ	≤ 1,
y(x) =
	x2	−					>1.
			1,		åñëè	õ

Конструирование пользовательской функции, используя операторы if и otherwise

128

y(x) :=	1 −	x2	if	x ≤	1
	x2 −	1	otherwise
График функции
				4
				3
	y(x)			2
				1
		2	1	0	1	2

Рис. 12.1. График функции

Оператор for – оператор цикла с заданным числом повторений. Конструкция оператора for

for

Первый операнд – переменная цикла, и ее значения определяются во втором операнде первой строки. Третий операнд (вторая строка) – тело цикла.

Пример 12.2. Найти среднее арифметическое значение функции

y(x) =	cos x,	åñëè	0 ≤	x ≤ π / 4,
	sin x,	åñëè	x	> π / 4

в точках xi = 0,2i , i = 1, 2, . . . , 10 . Пользовательская функция

					π
					π
f (x) :=	cos(x)	if (x ≥	0)	x ≤
f (x) :=	cos(x)	if (x ≥	0)	x ≤
					4
	sin(x)	otherwise
			129

Вычисление среднего арифметического

SumA(n) :=	S ←			0
		for		k 1	.. n
			S ←	S +	f (0.2k)
		S

		n
SumA(10) =	0.90855

Оператор while – оператор циклов, действующий до тех пор, пока выполняется некоторое условие. Условие проверяет-

ся перед началом каждого цикла. Конструкция оператора while

while

Первый операнд – условие. Второй – тело цикла.

Пример 12.3. Вычислить квадратный корень из числа А с точностью 0.00001, используя итерационную формулу

xn− 1

2xn− 1 .

KvK(a) :=

x0 ←

R ← 1

> 0.00001

while

x1 ←

2 x0

R ←

x1 −

x0 ←

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лит МатКад

#
17.05.20151.23 Mб45Введение в MathCad.pdf
#
17.05.20151.9 Mб40КМВТMathCad.pdf