Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Винницкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лит МатКад / Введение в MathCad

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

1			1			1	x +	1
		by integration, yields
x2 + 4 x +

	20		4		atan	4		2
cos(3 x)2		by integration, yields	1	cos(3 x) sin(3 x) +
			6

Второй способ. Ввести неопределенный либо определенный оператор интегрирования, используя соответствующие пиктограммы панели Calculus (рис. 10.2).

⌠	1			∞
		dx	⌠

	x			cos(x d

⌡			⌡	0

Рис. 10.2. Неопределенный и определенный операторы интегрирования

После ввода оператора интегрирования следует ввести подынтегральную функцию и переменную интегрирования, затем выделить все выражение и выбрать команду Symbolically

èç ìåíþ Symbolics/Evaluate.

Пример 10.7. Вычислить неопределенные интегралы с помощью команды Symbolically

⌠										1
		sin(ln(x)) dx					yields			1			x (sin(ln(x)) −									cos(ln(

											2
⌡
⌠			1																					1
⌠
						dx										−	1			2		2		2
						dx										−	1			2		2		2
	2		2		2			yields											(x		+	a )
	2		2	+	2			yields								(a2 x)			(x		+	a )
		x	x	+	a											(a2 x)
⌡
⌠			1
			1		dx			− 1				1							1				1
							yields	− 1				1							1				1

	3 + 5 cos(x)																+						2
	3 + 5 cos(x)						4		ln	tan 2				x	− 2		+	4		ln	tan		2
⌡

Используя определенный оператор интегрирования, сходным образом можно вычислять несобственные интегралы.

Пример 10.8. Вычислить несобственные интегралы с помощью команды Symbolically

⌠

∞

x3 e−

yields

⌡0

⌠

yields

ln(x)

⌡

⌠

∞

yields

+ 4 x +

⌡1

⌠

∞

yields

− b c sgn(b) π + a c sgn(a) π

x2 +

⌡0

Третий способ. Если при выполнении символьных вы- числений указать ключевое слово float, то вместо символьных констант π и e в итоговое выражение будут автоматически подставлены их числовые значения, при этом следует задать количество знаков после запятой. Ключевое слово assume позволяет наложить ограничения на значение параметра.

Пример 10.9. Вычислить интегралы с помощью символьного знака равенства:

⌠	1
	1	dx → ln(csc(x) − cot(x))


	sin (x)
⌡

⌠

−

dx assume, n >

0 →

⌡0

⌠

∞

sin(x)

⌠

∞

sin

(x)

dx float ,

→

1.57079632679490

dx→

2 π

⌡0

⌡ 0

⌠

− 1

dx assume, a <

→

(− 1

⌡

⌠

∞

dx assume, a > 0 →

⌡0

Для численного вычисления определенного интеграла нужно ввести определенный оператор интегрирования и указать числа в качестве пределов интегрирования. Затем ввести подынтегральную функцию и знак =. В результате на экране появится численное значение интеграла.

Пример 10.10. Вычислить площадь фигуры, ограничен-
ной кривыми y =	sin x , y = 1 −	x2 .
Находим точки пересечения данных исходных кривых,
предварительно нарисовав графики функций:
g(x) := 1 − x2	f (x) := sin(x)	x := − 2 , − 1.99 .. 2

− 1.4096

0.6367

f(x)

g(x)

			x
		Рис. 10.3. Графики функций
x :=	− 1	a :=	root(f (x) −	g(x) , x)	a =	− 1.409624
x :=	1	b :=	root(f (x) −	g(x) , x)	b =	0.636733
Площадь криволинейной трапеции равна
S :=	⌠ b	(g(x) −	f (x)) dx	S =	1.670214
S :=		(g(x) −	f (x)) dx	S =	1.670214
	⌡a

Пример 10.11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом (рис. 6.7)

x2	+	y2	= 1.
a2		b2

Параметрическое уравнение эллипса имеет вид: x(t) = a cos t , y(t) = bsin t .

Площадь фигуры, ограниченной эллипсом, равна

x(a , t) :=	a sin(t)	y(b , t) := b cos(t)
dx(a , t) :=	d x(a , t) →	a cos(t)
	dt

⌠ 2 π		y(b , t) dx(a , t) dt →							π b a
		y(b , t) dx(a , t) dt →							π b a
⌡0
Площадь фигуры, вычисленной через двойной интеграл
		⌠		2 π		⌠	1		π b a .
a b								ρ dρ dφ →	π b a .
		⌡0				⌡	0
Пример 10.12. Вычислить площадь фигуры, ограничен-
ной лемнискатой Бернулли ρ (φ ) =										2	cos 2φ .
ρ (φ		)	:=			2		cos(2 φ )	φ	:=	0 , 0.1.. 2 π
									90
							135		2	45
							135		1.5	45
									1.5
						( )			1
				ρ		( )			0.5
				ρ		φ	180		0		0
							180		0		0

							225			315
									270
									φ
						Рис. 10.4. График лемнискаты Бернулли
Площадь равна:
		⌠		π
		⌠	4			(ρ (φ )) 2 dφ →
4	1								4
4									4
2		⌡0
Пример 10.13. Вычислить двойные интегралы.
⌠ 2 ⌠			4				1
					(x2 + y2) dx dy =
									0.069772
⌡1		⌡3

⌠	a	⌠	a2− x2						2
				2		2		2		3
			a		−	x	−	y dy dx →		π a
									3
⌡−		a ⌡−	a2− x2

⌠

(

− 1

−

p +

dy dx →

2 p

h −

⌡0

− 1	b a	(− 24 h p + a2 + b2)		b a h −	1	b	a3	1
24	b a	p	expands to	b a h −	24	b	p −	24
			expands to

10.3. Задачи на экстремум

Для нахождения значений x, y, z, при которых функция f(x, y, z) достигает максимум либо минимум, можно использовать решающий блок Given-Find, только Find(x,y,z) заменить на Maximize(f,x,y,z) либо Minimize(f,x,y,z). Внутри блока могут быть заданы ограничения в виде равенств или неравенств. Перед вызовом решающего блока нужно задать начальные значения переменных.

Пример	10.14.	Найти максимум функции
f (x) = − x3 + x2 +	2 + ln x .
Пользовательская функция
f(x) := − x3 +	x2 + 2 +	2 ln(x)
График функции

5
2.5
f(x)	2	3
1	2	3
2.5
5

Рис. 10.5. График функции

x := 1.5
Given
xmax := Maximize(f , x)
xmax =	1.161		f (xmax) =	2.082
Пример 10.15.			Найти минимум функции		f (x) =	1	+		x2
Пример 10.15.			Найти минимум функции		f (x) =	1		+	x
						1		+	x
ïðè x >0 .
Пользовательская функция
f(x) :=	1 +	x2
f(x) :=	1 +	x
	1 +	x
x := 1
Given
x ≥ 0
xmin := Minimize(f , x)
xmin =	0.414		f (xmin) =	0.828427

Пример 10.16. Найти максимум функции f (x) =

ïðè

x [− 5, −

1] .

g(x) :=

x +

x :=

−

Given

x ≥

−

x ≤ − 1

xmax := Maximize(g, x)

xmax =

−

g(xmax) = −

Пример 10.17. Найти максимум и минимум функции

f (x, y) =

4(x −

y) −

x2 − y2 при ограничениях вида x +

2y ≤

4 ,

x −

2y ≤

4 ,

x ≥

0 .

Пользовательская функция

f(x,y) := 4 (x − y) − x2 − y2

Начальные условия

x :=

y := 1

Нахождение максимума

Given

x + 2 y ≤

x − 2 y ≤ 4

x ≥

a :=

Maximize(f , x, y)

a0 =

1.6

a1 = − 1.2

f (a0 , a1)

= 7.2

Нахождение минимума

Given

x + 2 y ≤

x − 2 y ≤

x ≥

a :=

Minimize(f , x , y)

a0 = 0

a1 = 2

f(a0 , a1) = − 12 .

Пример 10.18. Найти максимум функции f (x, y) =

3x +

ïðè

ограничениях

âèäà

x + 2y ≥ 5 , − x +

7y ≤

70 ,

2.5x +

y ≤

30 ,

x ≥

0 , y ≥

(задача линейного программиро-

вания).

Пользовательская функция

f(x,y) := 3 x + 2 y.

Область ограничения на плоскости

7.568

11.081

5−

0.5t

10+

30− 2.5 t

−

Рис. 10.6. Область ограничения

Нахождение максимума

x :=

y :=

Given

x + 2 y ≥ 5

− x + 7 y ≤ 70

2.5 x +

y ≤

x ≥

y ≥

xym :=

Maximize(f , x, y)

f (xym0 , xym1)

xym0

7.568

xym1

11.081

= 4

11. Решение дифференциальных уравнений

MathCAD содержит встроенные функции для численного решения задачи Коши и граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений. Эти функции расположены в библиотеке встроенных функций Differential Equation Solving.

11.1.Решение задачи Коши и граничной задачи

ñпомощью odesolve

Для численного решения задачи Коши для дифференциального уравнения, линейного относительно старшей производной:

a(x)y(n) (x) + F(x, y′(x), y′′(x), . . . , y(n− 1) (x)) = G(x) ,

y(a) = f	0	,	y′(a)	= f , . . . , y(n− 1)	(a) =	f	n− 1
	0			1			n− 1

и простой граничной задачи

y(p) (a) = fp ,

y(m) (m) = fm , 0 ≤ p, m ≤ n − 1,

в MathCAD имеется встроенная функция odesolve, которая решает поставленную задачу методом Рунге - Кутта с фиксированным шагом. Для численного решения поставленной зада- чи методом Рунге - Кутта с автоматическим выбором шага нужно щелкнуть правой кнопкой мыши по имени функции и в всплывающем меню выбрать команду Adaptive (рис. 11.1).

Рис. 11.1. Выбор команды Adaptive

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лит МатКад

#
17.05.20151.23 Mб45Введение в MathCad.pdf
#
17.05.20151.9 Mб40КМВТMathCad.pdf