Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Винницкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лит МатКад / Введение в MathCad

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

Обращение к функции odesolve имеет вид:

Y := odesolve(x, b [, step]),

где Y – имя функции, содержащей значения найденного решения, b – конечная точка отрезка, на котором ищется решение задачи, step – необязательный параметр, задающий шаг.

Перед обращением к функции odesolve нужно записать ключевое слово Given, ввести дифференциальное уравнение, начальные либо граничные условия. Для ввода производных можно использовать как оператор дифференцирования, так и знак производной (комбинация клавиш Ctrl + F7). Знак равенства вводится с помощью пиктограммы Boolean либо комбинацией клавиш Ctrl + = . При вводе функции обязательно следует указывать аргумент исходной функции. Для получения численного решения задачи в любой точке отрезка [a, b] нужно задать имя функции Y, указав в скобках численное значе- ние аргумента, и ввести с клавиатуры знак =.

Пример 11.1. Решить задачу Коши для дифференциаль-

íîãî	уравнения первого порядка y′(x) = − 2y(x) − 3sin x,
y(0) =	2 на отрезке [0, 10] и построить график решения.
	Given
	y' (x)		− 2 y(x) − 3 sin(x)	y(0)	3


	y :=	odesolve (x , 10)

Значение решения задачи Коши в некоторых точках отрезка [0;10]:

x :=	1 , 2.5.. 10
x =	y(x) =

1-0.36078

2.5-1.18268

40.51678

5.51.27189

7-0.33604

8.5-1.31939

10 0.14938

101

	4
	3
	2
y(x)	1
	0	2.5	5	7.5	10
	1
	2
			x
		Рис. 11.2. График решения

Пример 11.2. Решить задачу Коши для дифференциального
уравнения	второго			порядка		y′′(x) −	sin xy′(x) +		y(x) =	x ,
										2π
y(0) = 1, y′(0) =		3 на отрезке [0, 10] и построить график решения.
Given
y''(x) − sin(x)		y'(x) +		y(x)	x	0		1	0
y''(x) − sin(x)		y'(x) +		y(x)	2 π	y( )			y'( )
					2 π
y := odesolve(x,			10
y := odesolve(x,			)
	9
	5.5
y(x)	2
	1.5	0		2.5	5	7.5		10
	1.5
	5
					x
			Рис. 11.3. График решения

102

Пример 11.3. Решить задачу Коши для дифференциально-

го уравнения третьего порядка y′(x) − (y′(x))2 = 6y(x)(y′(x))2 , y′(x)

y(2) = 0 , y′(2) = 1 , y′′(2) = 0 на отрезке [2, 3.3] и построить график решения.

Given

y(x)

dx2

y(x) −

y(x)

y(2)

y'(2)

y'' (2)

y :=

odesolve (x , 3.3 , 0.001 )

График функции, являющейся решением поставленной задачи Коши

	20
	5
	2	2.38	2.75	3.13	3.5
y(x)	10
	25
	40
			x
		Рис. 11.4. График решения

103

Значения решения поставленной задачи Коши в некоторых точках отрезка [2, 3.3]:

a := 2.8 , 2.85 .. 3.3

a =		y(a) =

2.8		0.932

2.85		1.907

2.9		1.143

2.95		-1.997

3		1.459

3.05		13.936

3.1		2.076

3.15		-42.867

3.2		4.621

3.25		256.142

3.3		633.416

Пример 11.4. Решить граничную задачу для дифференциального уравнения второго порядка y′(t) + 9y(t) = 4 , y(0) = 0 , y(π / 2) = 1 и построить график решения.

Given

d2	y(t) + 9 y(t)					4

dt2
dt2
0			0				π	1
0			0		y			1
y( )					y		2
y :=				t,	π
		odesolve
		odesolve			2

104

	1.5
	1
y(t)	0.5
	0	0.5	1	1.5	2
	0.5
			t
	Рис. 11.5. График решения

Пример 11.5. Решить граничную задачу для дифферен-

циального

уравнения

второго

порядка

y′(x) − cos(x) y′(x) +

y(x) = sin x / 2 ,

y(0) =

0 ,

y′(π / 2) =

1 è ïîñò-

роить график решения.

Given

y''(x) −

cos(x) y'(x) +

y(x)

sin

)

y :=

odesolve(x, 2 π )

y(x)

Рис. 11.6. График решения

105

Например, если граничные условия имеют непростое представление, то граничную задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка можно либо методом вариации постоянных, либо методом дифференциальной прогонки свести к решению нескольких задач Коши.

Согласно методу вариации постоянных общее решение граничной задачи

y′(x) + h(x)y′(x) +	q(x)y(x) = f (x) , a < x <	b ,	(11.1)
α 0y(a) + α1y′(x) =	A, β0y(b) + β1(x) y′(b) =	B	(11.2)

можно представить в виде

y(x) = Z(x) + C1Z1(x) + C2Z2(x) ,

(11.3)

ãäå C1 , C2 – произвольные постоянные, Z(x), Z1(x), Z2 (x) – решения следующих задач Коши:

Z′(x) +	h(x)Z′(x) +		q(x)Z(x) = f (x) ,		(11.4)
Z(a) =	0,	Z′(a) =	0,
Z1′(x) +	h(x)Z1′(x) + q(x)Z1(x) =			0 ,	(11.5)
Z(a) =	0,	Z′(a) =	1,
Z1′(x) +	h(x)Z1′(x) + q(x)Z1(x) =			0 ,	(11.6)
Z(a) = 1,		Z′(a) =	0.

Для определения произвольных постоянных C1 , C2 подставим представление (11.3) в граничные условия (11.2) и получим систему для определения этих величин.

Пример 11.6. Методом вариации постоянных найти ре-

шение граничной		задачи	y′(x) + (x + 1)y′(x) − 2y(x) = 2,
y(0) − y′(0) =	− 1, y(1) =	4 и построить график решения.
Решение задачи Коши (11.4):
Given
Z''(x) +	(x + 1)Z(x) − 2Z(x)			2

106

Z(0)

Z' (0)

Z := odesolve (x , 1)

Z(1) =

1.034

Решение задачи Коши (11.5):

Given

2 Z1 (x)

Z1 (x) +

(x +

1)Z1 (x) −

Z1 (0)

Z1' (0)

Z1 :=

odesolve (x , 1 , 0.01 )

Z1 (1) =

1.085

Решение задачи Коши (11.6):

Given

2 Z2 (x)

Z2 (x) +

(x +

1)Z2 (x) −

Z2 (0)

Z2' (0)

Z2 :=

odesolve (x , 1 , 0.01 )

Z2 (1) =

1.347

Нахождение произвольных постоянных

C1 :=

C2 :=

Given

− C1 +

− 1

Z(1) +

C1Z1(1) +

C2Z2(1)

C := Find(C1 , C2)

C =

1.773

0.773

107

Приближенное решение в некоторых точках:

x := 0 , 0.1 .. 1

x =		Z(x) + C0 Z1(x) + C1 Z2(x)
0		0.773117

0.1		0.964457

0.2		1.184465

0.3		1.433928

0.4		1.713403

0.5		2.023124

0.6		2.362919

0.7		2.732117

0.8		3.129454

0.9		3.552986

1		4

График приближенного решения

	4
	3
Z(x)+ C0Z1(x)+ C1Z2(x)	2
	1
	0	0.25	0.5	0.75	1
			x

Рис. 11.7. График решения

Согласно методу дифференциальной прогонки решение граничной задачи (11.1) - (11.2) при условии α1 ≠ 0 состоит из решения следующих задач Коши:

108

Z1′(x) =	−	Z12 (x) − p(x)Z1(x) −	q(x) , Z1(a) = −	α 0	,	(11.7)
				α1
Z2′(x) =	−	Z2(x)(Z1(x) + p(x)) +	f (x) , Z2(a) =	A	.	(11.8)
Z2′(x) =	−	Z2(x)(Z1(x) + p(x)) +	f (x) , Z2(a) =	α1	.	(11.8)
				α1

Используя найденные функции Z1(x), Z2(x) , находим решение исходной граничной задачи как решение задачи Коши

	y′(x) = Z1(x)y(x) + Z2(x) ,			y(b) =	B − β1Z2(b)
								.	(11.9)
					β	0	+ β Z1(b)	.	(11.9)
						0	1
	Пример 11.7. Методом дифференциальной прогонки най-
ти решение граничной задачи				y′(x) + (x2 + 1)y′(x) −					xy(x) = 2,
y(0) − y′(0) = − 1,			y(1) = 5 .
Решение задачи Коши (11.7):
	Given
	d	Z1 (x)	− Z1 (x) (Z1 (x) + x2 + 1) + x
		Z1 (x)	− Z1 (x) (Z1 (x) + x2 + 1) + x
	dx

Z1 (0) 1

Z1 := odesolve (x , 1)

Решение задачи Коши (11.8):


Given
d	Z2 (x)		− Z2 (x) (Z1 (x) + x2 + 1) + 2
	Z2 (x)		− Z2 (x) (Z1 (x) + x2 + 1) + 2
dx
Z2 (0)		1

Z2 := odesolve (x , 1)

109

Решение задачи Коши (11.9):

Given

d y(x) Z1(x) y(x) + Z2(x) dx

y(1)		5


y :=	odesolve (x , 0)

Приближенное решение в некоторых точках:

x :=	0 , 0.2.. 1
x =		y(x) =

0		2.058853

0.2		2.6538

0.4		3.228457

0.6		3.801894

0.8		4.388953

1		5

Согласно методу конечных разностей граничная задача (11.1) – (11.2) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений вида

= h2F ,

i = 1, . . . , n − 1 ,

ãäå

2h2qi − 4

ki =

2 − hpi

2fi

2 + hpi

+ hpi

2 + hpi

xi = a +

ih ,

qi =

q(xi ) , pi

p(xi ) ,

fi =

f (xi ) , h =

(b − a) / n .

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лит МатКад

#
17.05.20151.23 Mб45Введение в MathCad.pdf
#
17.05.20151.9 Mб40КМВТMathCad.pdf