Лит МатКад / Введение в MathCad

Полученная система решается методом прогонки. Снача- ла выполняется прямой метод прогонки. Находим коэффици-

åíòû Ci , Di по формулам

Обратный ход метода прогонки – нахождение приближенного решения граничной задачи в точках xi , i = n, . . . , 0 по формулам

Пример 11.8. Методом прогонки решить граничную задачу

111

112

11.2. Решение задачи Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Для численного решения задачи Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ):

y1(a) = y10 , y2 (a) = y20 , . . . , yn (a) = yn0 ,

имеется встроенная функция rkfixed, использующая метод Рунге-Кутта.

Если решение задачи Коши для системы ОДУ является гладкой функцией, то для численного решения этой задачи лучше использовать встроенную функцию Bulstoer, использующую метод BulirschStoer (Булирша-Штера).

Если известно, что решение задачи Коши для системы (11.10) достаточно гладкое, то лучше использовать встроенную функцию Rdadapt. В отличие от функции, которая ищет приближенное решение с постоянным шагом, функция Rkadapt вычисляет приближенные решения на более мелкой сетке на тех участках отрезка, где значения функции меняются быстро, и на более крупной – на тех участках отрезка, где функция меняется медленно. Это позволяет повысить точность вычислений и сократить время вычислений.

Для приближенного решения жестких систем ОДУ используются встроенные функции Stiffr, Stffb.

Если необходимо найти приближенное решение задачи Коши только в конечной точке отрезка, то используются встроенные функции bulstoer, rkadapt, stiffb, stiffr.

Обращения к вышеперечисленным встроенным функциям: · rkfixed(y, а, в, npoints, D) – решение задачи Коши на от-

резке методом Рунге-Кутта с постоянным шагом;

113

·Bulstoer(y, а, в, npoints, D) – решение задачи Коши на отрезке методом Bulirsch-Stoer;

·Rkadapt(y, а, в, npoints, D) – решение задачи Коши на отрезке методом Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага;

·Stiffr(y, a, b, acc, D, J) – решение задачи Коши для жестких систем ОДУ на отрезке с использованием алгоритма Rosenbrock;

·Stiffb(y, a, b, acc, D, J) – решение задачи Коши для жестких систем ОДУ на отрезке с использованием алгоритма Bulirsch-Stoer;

·rkadapt(y, а, в, acc, D, kmax, save) – решение задачи Коши

âзаданной точке методом Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага;

·bulstoer(y, а, в, acc, D, kmax, save) – решение задачи Коши

âзаданной точке методом Булирша-Штера;

·stiffr(y, а, в, acc, D, J, kmax, save) – решение задачи Коши для жестких систем ОДУ в заданной точке с использованием алгоритма Rosenbrock;

·stiffb(y, а, в, acc, D, J, kmax, save) – решение задач для жестких систем в заданной точке с использованием алгоритма Булирша-Штера.

Смысл параметров для всех функций одинаков и определяется математической постановкой задачи:

·y – вектор начальных условий размерности n, где n – число уравнений в системе (11.10);

·a, b – начальная и конечная точки отрезка интегрирования системы;

·npoints – число точек, не считая начальной точки, в которых ищется приближенное решение. Этот аргумент определяет число строк (npoints+1) в возвращаемой матрице;

·D – èìÿ вектор-функции D(x,y) правых частей системы (11.10);

·J – èìÿ матрицы-функции J(x,y) размерности n * (n+1),

âпервом столбце которой хранятся выражения частных производных по x правых частей системы, а в остальных n столбцах содержится матрица Якоби правых частей;

114

·acc – параметр, контролирующий погрешность решения при автоматическом выборе шага интегрирования (если погрешность решения больше acc, то шаг сетки уменьшается; шаг уменьшается до тех пор, пока его значение не станет меньше save );

·kmax – максимальное число узлов сетки, в которых может быть вычислено решение задачи на отрезке;

·save – наименьшее допустимое значение шага неравномерной сетки.

Результат работы функций – матрица, содержащая n+1 столбцов; ее первый столбец содержит координаты узлов сетки, второй – вычисленные приближенные значения решения y1(x) в узлах сетки, (k+1)-й столбец – значения решения yk (x)

âузлах сетки.

Пример 11.9. Решить методом Рунге-Кутта задачу Коши для нормальной системы ОДУ

115

Решение поставленной задачи

Y := rkfixed(y , 0 , 4 , 40 , D)

Численные значения (первый столбец – значения х, вто-

116

Пример 11.10. Решить методом Bulirsch-Stoer задачу Коши для системы ОДУ вида

на отрезке [ 0; 0,8 ]. Построить графики функций.

117

Рис. 11.11. Графики решения

118

11.3.Автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной, если независимая переменная явно не входит в правую часть системы.

Рассмотрим автономную систему второго порядка

называется интегральной кривой в трехмерном пространстве

0y1y2t .

Проекция интегральной кривой (11.12) на плоскость (фазовая плоскость) 0y1y2 называется фазовой кривой, или фазо-

вой траекторией системы.

Пример 11.12. Построить графики решения, интегральную кривую и фазовую траекторию автономной системы

с начальными условиями y1(0) = 1, y2 (0) = 0 на отрезке [0,18] . Начальные условия

ORIGIN:= 1

119

Рис. 11.12. Графики решения

Интегральная кривая в пространстве 0y1y2t

( Y 2 , Y 3 , Y 1 )

Рис. 11.13. Интегральная кривая

120