книга по ДМ2
.pdf
7.Нехай у графi G з n вершинами i m ребрами є p вершин степеня t, а всi iншi вершини мають степiнь t + 1. Довести, що p = (t + 1)n ¡ 2m.
8.Чи iснує граф з n вершинами, усi вершини якого є кiнцевими, якщо
a)n = 10;
b)n = 11;
c)n = 2k;
d)n = 2k + 1.
9.Побудувати кубiчний граф, що має
a)6 вершин;
b)4 вершини;
c)8 вершин;
10.Визначити, чи серед пар графiв, зображених на малюнках є iзоморфнi.
b)
c)
d)
131
e)
f)
g)
h)
i)
j)
132
k)
l)
m)
n)
o)
11.Довести, що iзоморфiзм є вiдношенням еквiвалентностi на множинi всiх графiв.
12.Побудувати чотири попарно неiзоморфнi самодоповнювальнi (тобто такi, що iзоморфнi своєму доповненню) графи з вiсьмома вершинами.
13.Перевiрити, чи будуть iзоморфними графи G1 i G2, що заданi матрицями сумiжностi A1 i A2 вiдповiдно.
133
|
|
0 1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 1 |
|
|
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 1 |
|
|
|
|||
|
|
B |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
C |
|
|
B |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
C |
|
|
|
|
|
B |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
C |
|
|
B |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
C |
|
|
|
a) A1 |
= |
B |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
C |
A2 |
= |
B |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
C |
|
|
|
|
B |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
C |
B |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
C, |
|
|
|
|||||
|
|
B |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
C |
|
|
B |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
C |
|
|
|
|
|
|
B |
C |
|
|
B |
C |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
@ |
0 1 |
|
|
|
|
A |
0 1 |
|
|||
|
|
0 1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|||||||
|
|
B |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
C |
|
|
B |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
C |
|
|
b) A1 |
= |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
A2 = |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
: |
||||||
B |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
C |
B |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
C |
||||||
|
|
B |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
C |
|
|
B |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
C |
|
|
|
|
B |
C |
|
|
B |
C |
|
|||||||||||||||
|
|
B |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
C |
|
|
B |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
C |
|
|
|
|
B |
C |
|
|
B |
C |
|
|||||||||||||||
|
|
B |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
C |
|
|
B |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
C |
|
|
|
|
B |
C |
|
|
B |
C |
|
|||||||||||||||
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
14.Зобразити всi попарно неiзоморфнi графи з n вершинами, якщо
a)n = 2;
b)n = 3;
c)n = 4;
d)n = 5.
15.Знайти в графi K5 цикли довжини
a)3;
b)4;
c)6;
d)9;
e)10.
Якi з цих циклiв є простими?
16.Довести, що зв’язний граф є простим циклом тодi i тiльки тодi, коли степiнь кожної вершини дорiвнює двом.
17.Скiльки ребер мiстить
a)простий ланцюг iз k вершин;
b)простий цикл iз k вершин;
c)найкоротший простий цикл?
18.Зобразити кубiчний граф з 2n вершинами (n ¸ 3), який не має трикутни-
кiв.
134
19.Довести, що граф є дводольним тодi i тiльки тодi, коли всi його цикли мають парну довжину.
20.Довести, що для довiльного графа G або вiн сам, або його доповнення G є зв’язним графом.
21.Скiльки iснує попарно неiзоморфних графiв, якi мають
a)6 вершин, 7 ребер i 2 компоненти зв’язностi;
b)8 вершин, 6 ребер i 2 компоненти зв’язностi;
c)8 вершин, 6 ребер i 3 компоненти зв’язностi?
22.Побудувати три попарно неiзоморфнi графи з вiсьмома вершинами, якi мають ейлеровi цикли.
23.Перевiрити, чи будуть графи з прикладу 13 ейлеровими, напiвейлеровими, гамiльтоновими, напiвгамiльтоновими.
24.Перевiрити, чи будуть такi графи ейлеровими, напiвейлеровими, гамiльтоновими, напiвгамiльтоновими:
a)
b)
25.На малюнку зображено схеми музеїв. Вершинами графiв позначено зали музеїв, а ребрами переходи мiж залами. З якого залу потрiбно розпочати маршрут екскурсiї i в якому закiнчити для того, щоб вiдвiдувачi побували в кожнiй зала i пройшли по кожному переходу один раз. Визначити один з таких маршрутiв.
135
a)
b)
26.Побудувати граф iз вiсьмома вершинами, який не має ейлерового циклу, але має ейлерiв ланцюг.
27.Довести, що в повному графi Kn, n ¸ 3, iснує гамiльтонiв цикл. Якщо пронумерувати вершини цього графа, то скiльки рiзних гамiльтонових циклiв має Kn? Скiльки ейлерових?
28.Навести приклад графа, що є ейлеровим i не є гамiльтоновим, а також приклад гамiльтонового графа, що не є ейлеровим.
29.Охарактеризувати графи, що є одночасно ейлеровими i гамiльтоновими.
30.Побудувати всi попарно неiзоморфнi зв’язнi графи без циклiв з п’ятьма вершинами.
31.Побудувати всi попарно неiзоморфнi зв’язнi графи без циклiв з шiстьма вершинами.
32.Побудувати всi попарно неiзоморфнi дерева з трьома, чотирма i п’ятьма вершинами.
33.Побудувати всi попарно неiзоморфнi дерева, що мають
a) 6 ребер i 3 кiнцевi вершини;
136
b)6 ребер i 4 кiнцевi вершини;
c)8 вершин та 3 вершини степеня 3?
34.Довести, що будь-яке дерево має принаймнi 2 кiнцевi вершини.
35.Довести, що дерево має тiльки двi кiнцевi вершини тодi i тiльки тодi, коли воно є простим ланцюгом.
36.Описати всi дерева, доповнення яких також є деревами.
37.Побудувати кiстяковi дерева для графiв з прикладу 13. Обчислити циклiчний ранг графiв.
38.Довести, що в деревi кожне ребро є мостом.
39.Про групу з 50 студентiв вiдомо, що серед довiльної четвiрки студентiв завжди знайдеться один студент, знайомий з трьома iншими. Довести, що тодi обов’язково знайдеться студент, знайомий з кожним з групи.
137
Рекомендована лiтература
[1]Ф.А. Новиков Дискретная математика (для программистов). СПб: Питер, 2000. 304с.
[2]М.Й. Ядренко. Дискретна математика. Навчально-методичний посiбник, Київ: Вид.-полiграф. цент "Експрес", 2003р. 244с.
[3]Р. Грэтхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. Москва, Мир, 1998.
[4]А.Я. Оленко, М.Й. Ядренко. Дискретна математика. Навчальнометодичний посiбник, Видавництво НаУКМА-1996.
[5]Н.Я. Виленкин. Индукция. Комбинаторика. Москва: Просвещение, 1976.
[6]Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, П.А. Виленкин. Комбинаторика. Москва: ФИМА, МЦНМО, 2006. 400с.
[7]Р. Уилсон Введение в теорию графов М.Мир 1977. 7. Р. Столл Множества, логика, аксиоматические теории, "Просвещение"Москва, 1963.
[8]В.I. Андрiйчук, М.Я. Комарницький, Ю.Б. Iщук. Вступ до дискретної математики. Львiв: Видавничий центр ЛНУ iменi Iвана Франка, 2003.– 254с.
[9]Ю.В. Капiтонова, С.Л. Кривий,О.А. Летичевський,Г.М. Луцикий, М.К. Песурiн. Основи дискретної математики. Київ: "Наукова думка 2002.
[10]М. Холл Комбинаторика, Москва, Мир, 1970.
138