2

Міністерство науки та освіти України Донбаська державна машинобудівна академія

С. О. Бабенко, С. С. Красовський, В. В. Хорошайло

НАРИСНА ГЕОМЕТРІЯ

Навчальний посібник

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України

Краматорськ 2008

УДК 514. 18 ББК 22. 151. 3

Б 12

Рецензенти:

Кухтик Т.В., д-р техн. наук, професор, Донбаський інститут техніки і менеджменту Міжнародного технічного університету;

Пивоваров Л. В., д-р техн. наук, професор, Слов’янський державний університет;

Бойко В. Г., канд. техн. наук, доцент, Краматорський економікогуманітарний інститут.

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України

(лист № 1.4/18-Г-1083 від 14.05.2008)

Бабенко, С. О.

Б 12 Нарисна геометрія : навчальний посібник / С. О. Бабенко, С. С. Красовський, В. В. Хорошайло. – Краматорськ : ДДМА 2008. – 128 с.

ISBN 978-966-379-258-3.

У навчальному посібнику висвітлено основні теми згідно з навчальною програмою з нарисної геометрії при підготовці бакалаврів і додаткові теми для розв’язання різноманітних інженерних задач.

Для покращення засвоєння теоретичного матеріалу і закріплення вміння та навичок із нарисної геометрії наведено практичні приклади.

2

1.1Центральне проекціювання…………………………………….. 6

1.2Паралельне проекціювання. Основні властивості……………. 6

2.4Проекціювання прямого кута………………………………….. 21

2.5Точка на прямій. Сліди прямої…………………………………. 24 3 Площина…………………………………………………………….. 26

3.4Головні лінії площини………………………………………….. 38

3.5Паралельність площин………………………………………….. 42

3.9Перпендикулярність прямої і площини……………………….. 54

3.10Перпендикулярність прямих загального положення……….. 56

3.11Перпендикулярність площин…………………………………. 57 4 Методи перетворення ортогональних проекцій…………………... 60

4.1Метод заміни площин проекцій……………………………….. 60

4.2Обертання навколо проекціювальних осей……………………. 65

4.3Метод плоскопаралельного переміщення…………………….. 66

4.4Метод обертання навколо прямих рівня………………………. 66

4.5Метод обертання навколо сліду площини…………………….. 68

5Гранні поверхні……………………………………………………... 72

5.1Переріз гранних поверхонь площиною……………………….. 78

5.2Побудова точок перетину лінії з поверхнею………………….. 81

5.3Розгортки гранних поверхонь…………………………………. 83

3

7Аксонометричні проекції…………………………………………… 118

7.1Прямокутна ізометрія…………………………………………… 119

7.2Прямокутна диметрія…………………………………………… 122

7.3Косокутна фронтальна симетрія……………………………….. 124 Список додаткової літератури…………………………………………. 127

4

Умовні позначення

А, В, С, D, … 1, 2, 3, 4, … – точки;

а, b, c, d … – прямі та криві лінії; h – горизонталь;

f – фронталь;

р– профільна пряма;

θ,Λ,Σ,Γ,Φ – поверхні (площини);

α, β, γ … – кути;

П1 – горизонтальна площина проекцій; П2 – фронтальна площина проекцій; П3 – профільна площина проекцій;

АФ – точка А належить фігурі Ф;

АФ – точка А не належить фігурі Ф;

Фк ≡Фі – фігури Фк та Фі збігаються; Фк UФі – об’єднання фігур Фк та Фі; Фк IФі – перетин фігур Фк та Фі;

– проходить через …;

– лежить на …;

– логічний наслідок;

||– паралельно;

– перпендикулярно;– плоский або двогранний кут;

x, y, z – осі проекцій. Індекси при x, y, z означають відповідно площини проекцій. Наприклад, вісь x12 означає, що вісь x поділяє поле горизонта-

льних проекцій (індекс 1) і поле фронтальних проекцій (індекс 2). Позначення проекцій фігур таке саме, як і написання відповідного індексу.

5

1 МЕТОД ПРОЕКЦІЮВАННЯ

В основі побудови зображень, які розглядаються в нарисній геометрії та застосовуються в технічному кресленні, лежить метод проекціювання.

Апарат проекціювання включає в себе проекціювальні промені і площину проекцій.

1.1Центральне проекціювання

Якщо всі промені, що проекціюють об’єкт, виходять з однієї точки, званої центром, то таке проекціювання називається центральним

(рис. 1.1).

S

П1

A, B, C, D – об’єкти проекціювання;

S – центр проекцій; П1 – площина проекцій;

A1, B1, C1, D1 – проекції точок на площині П1

Рисунок 1.1

Проекціями заданих точок A, B, C, D є точки перетину проекціювальних променів, що проходять через відповідні точки, з площиною проекцій.

Центральне проекціювання застосовується для наочного зображення предметів, але для технічного креслення не застосовується.

1.2 Паралельне проекціювання. Основні властивості

Якщо центр проекцій помістити у нескінченність, то всі проекціювальні промені стають паралельними, таке проекціювання називається пара-

лельним (рис. 1.2).

6

Якщо на відрізку прямої задати точку, що лежить між даними точками, то довжини відрізків проекцій будуть пропорційними до заданих

(рис. 1.5).

AB : BC = A1B1 : B1C1

Рисунок 1.5

Плоска фігура, яка паралельна площині проекцій, проекціюється на цю площину в натуральному вигляді. Недоліком проекціювання об’єктів на одну площину є необоротність креслення, за однією проекцією не можна визначити ні форму об’єкта, ні його положення в просторі.

1.3 Проекціювання на дві площини проекцій

Для отримання оборотного креслення будують комплексне креслення об’єкта не менше як на дві площини проекцій.

Метод побудови комплексного креслення на дві взаємно перпендикулярні площини проекцій узагальнив і обґрунтував Гаспар Монж.

За цим методом площини П1 і П2 взаємно перпендикулярні, а центри проекціювання віддалені в нескінченність у напрямі, перпендикулярному площинам проекцій. Сукупність кількох зв’язаних між собою проекцій фі-

гури (мінімум двох) називають системою прямокутних (ортогональних) проекцій.

Точку А в просторі ортогонально проекціюють на обидві площини проекцій:

AA1 П1 ; АА1 I П1 = А1 ;

AA2 П2 ; АА2 I П2 = А2 .

Проекціювальні промені АА1 і АА2 взаємно перпендикулярні і створюють в просторі проекціювальну площину А1АхА2, перпендикулярну обом площинам проекцій. Ця площина перетинає площини проекцій по лініях, які проходять через проекції точки А (рис. 1.6).

Щоб отримати плоске креслення, сумістимо горизонтальну площину проекцій П1 з фронтальною площиною П2 обертанням навколо осі П2/П1 (рис. 1.7). Тоді обидві проекції точки виявляються на одній лінії, перпендикулярній осі П2/П1. Пряма, що з`єднує горизонтальну А1 і фронтальну А2 проекції точки, називається вертикальною лінією зв`язку.

8

П2

Y

A2

A

X

Рисунок 1.6

П2

A2

A1

П1

Рисунок 1.7

Дві пов`язані між собою ортогональні проекції точки однозначно визначають її положення відносно площин проекцій.

9

Якщо визначити положення точки А відносно цих площин (рис. 1.6) її висотою АА1 = z і глибиною АА2 = у, то ці величини на комплексному кресленні існують як відрізки вертикальної лінії зв`язку (рис. 1.8). Ця обставина дозволяє легко реконструювати креслення, тобто визначити за кресленням положення точки відносно площин проекцій.

A2

Z

X

X

Y

A1

Рисунок 1.8

1.4Проекціювання на три взаємно перпендикулярні площини проекцій

Узалежності від складності фігури може виникнути необхідність

упобудові ще одного зображення предмета на третій профільній площині

проекції П3. Цю площину розташовують праворуч від спостерігача перпендикулярно одночасно горизонтальній П1 і фронтальній П2 площинам проекцій (рис. 1.9).

Лінія перетину площин П2 і П3 – нова вісь П2/П3, яка розташовується на плоскому кресленні (рис. 1.10) паралельно вертикальній лінії зв`язку

А1А2. Третя проекція точки А3 – профільна, виявляється пов`язаною з фронтальною проекцією А2 новою лінією зв`язку – горизонтальною. Причому А2А3 А2А1 і А2А3 П2/П3. Оскільки глибина точки АА2 проекціюється без спотворень і на площину П1 і на площину П3 (рис. 1.9), то ця обставина дозволяє побудувати профільну проекцію точки за її горизонтальною і фронтальною проекціями (рис. 1.10).

10