Вишка. Клочко

Приклад 2. Знайти роботу, яку виконує сила F = 2і – 3j + 6k при переміщенні точки її прикладання з точки А (1; 2; –2) в точку В (4; 2; 2) вздовж прямої.

→

Розв’язування. Оскільки вектором переміщення є вектор s = АВ , то визначимо спочатку його координати: s = (3; 0; 4). Тоді шукана робота А визначиться за формулою А = F·s, будемо мати:

А = 2·3 + (–3)·0 + (–6)·4 = 6 –24 = –18. Отже, А = –18 умовних одиниць роботи.

Відповідь: –18.

Користуючись властивостями скалярного добутку і формулами (2.28) і (2.29), як наслідки випливають такі твердження:

Наслідок 2. Для того, щоб два вектори а = (Х1; У1; Z1) і b = (Х2; У2; Z2) були перпендикулярними, необхідно і достатньо, щоб виконувалась

рівність

2.12 Векторний добуток векторів

Нехай задано два вектори а і b. Введемо поняття добутку цих векторів, який буде вектором.

Означення. Векторним добутком двох векторів а і b називається вектор с, який задовольняє такі три умови:

− модуль вектора с дорівнює добутку модулів векторів а і b на синус кута між ними; тобто

| с | = | а |·| b |·sinφ,

де φ – кут між векторами а і b;

−вектор с перпендикулярний до кожного із векторів а і b;

−вектор с напрямлений так, що коли дивитись з його кінця, то поворот від вектора а до вектора b по найкоротшому шляху повинен здійснюватися проти руху годинникової стрілки, якщо всі вектори привести до спільної точки прикладання.

В цьому випадку кажуть, що трійка векторів а, b і с є правою трійкою. Векторний добуток векторів а і b позначається символом а×b або

[а, b].

Отже, виходячи з означення, маємо

40

векторах а і b як на сторонах, кут між якими дорівнює φ, визначається так:

Відзначимо ще властивості векторного добутку векторів.

10 . Векторний добуток колінеарних векторів дорівнює нулю. Це очевидно, бо якщо а || b, то φ = 0 або φ = π, тоді sinφ = 0.

20 . При перестановці множників векторний добуток змінює знак на

Це так званий антипереставний закон векторного добутку. Випливає цей закон безпосередньо з означення векторного добутку.

30 . Скалярний множник можна виносити за знак векторного

Рівності (2.37) і (2.39) очевидні на підставі першої і другої властивостей. Переконаємось, що і× j = k. Дійсно, k і і k j (за умовою); |і×j|=|i|·|j|sinπ 2 =1, до того ж площа квадрата, побудованого на векторах і і

j як на сторонах, дорівнює одиниці; якщо дивитись з кінця вектора k, то найкоротший поворот від вектора і до вектора j спостерігається проти руху годинникової стрілки. Решта співвідношень (2.38) доводиться аналогічно. Рівності (2.38) формально створюються з правої трійки векторів i, j, k за так званою циклічною перестановкою.

2.13 Вираження векторного добутку векторів через їх декартові координати

Нехай два вектори задані своїми декартовими координатами

а=Х1i+У1j+Z1k, b=Х2i+У2j+Z2k.

Тоді на підставі властивостей векторного добутку і рівностей (2.35) – (2.39) будемо мати:

а×b=(Х1i+У1j+Z1k)×(Х2i+У2j+Z2k)=Х1Х2(i×i)+Х1У2(i×j)+Х1Z2(i×k)+У1Х2(j×i)+ + У1У2(j×j) +У1Z2(j×k) +Z1Х2(k×i) + Z1У2(k×j) +Z1Z2(k×k) = 0 + Х1У2k– Х1Z2j –

–У1Х2k+0+У1Z2i + Z1Х2j –Z1У2i+0 = (У1Z2+Z1У2) –(Х1Z2–Z1Х2)j + (Х1У2–У1Х2)k.

41

З метою спростити для запам’ятовування цей громіздкий вираз його згортають на підставі теореми про розкладання у вигляді символічного визначника третього порядку, а саме:

Цю формулу зручно використовувати для знаходження векторного добутку векторів.

Приклад 3. Знайти векторний добуток векторів а = (–2; 1; 3) і b = (3; –2; 4).

42

Відповідь: 14.

Приклад 6. Сила F=3і+2j–4k прикладена до точки М(2;1;2). Знайти її момент відносно точки А(3;2;–1).

Розв’язування. З механіки відомо, що момент сили F, прикладеної до

Відповідь: – 2і + 5j +k.

2.14 Мішаний добуток векторів

Нехай задано три вектори а, b і с. Послідовне множення трьох векторів можна здійснювати різними способами.

1. Можна два перших вектори помножити скалярно, а потім знайдене число а·b помножити на третій вектор с, в результаті чого дістанемо вектор, а цей випадок розглянутий раніше.

2. Можна два перших вектори помножити векторно і знайдений вектор а ×b помножити скалярно на третій вектор с. В результаті дістанемо число, яке називається мішаним добутком трьох векторів.

Означення. Мішаним добутком трьох векторів а, b і с називається число, що дорівнює векторному добутку

символом (а × b) × с.

Мішаному добутку трьох векторів а, b і с можна дати таке геометричне тлумачення. Зведемо ці вектори до спільної точки А і побудуємо на них як на ребрах паралелепіпед (рис. 2.13), вважаючи ці

43

вектори некомпланарними. Оскільки а × b – це вектор, то позначимо його буквою d. Цей вектор перпендикулярний до площини грані АВСD. Тоді

мішаний добуток (а×b)с=d·с=|d|прdc. Але |d|=|а×b|=Sпар, а прdc=h, де h – висота паралелепіпеда. Оскільки добуток Sh=Vп-да, тоді із

(а×b)·с=d·с=|d|прdc=Sh випливає, що (а×b)·с=V у випадку, коли кут φ–

За допомогою формули (2.42) можна обчислити об’єм паралелепіпеда.

Отже, модуль мішаного добутку трьох некомпланарних векторів чисельно дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах як на ребрах.

З цього твердження випливає така властивість мішаного добутку трьох векторів.

Три ненульові вектори а, b і с компланарні тоді і тільки тоді, коли їх мішаний добуток дорівнює нулю.

Необхідність. Якщо вектори а, b і с компланарні, то вектор d = а × b, який є перпендикулярний до площини, яка утворюється векторами а і b, буде перпендикулярний і до вектора с, а тому скалярний добуток d·с = 0, тобто (а × b)·с = 0, що і треба було довести.

Достатність. Нехай мішаний добуток трьох ненульових векторів а, b і с дорівнює нулю, тобто (а × b)·с = 0, тоді на підставі формули (2.42) будемо мати, що об’єм паралелепіпеда, побудованого на цих векторах як на ребрах, дорівнюватиме нулю, що можливо тоді, коли ці вектори лежать в одній площині, тобто є компланарними.

2.15 Вираження мішаного добутку векторів через їх декартові координати

Нехай вектори а, b і с задані своїми декартовими координатами

а= Х1i + У1j + Z1k, b = Х2i + У2j + Z2k і с = Х3i + У3j + Z3k. Оскільки на підставі формули (2.40) маємо, що

а×b=(У1Z2–Z1У2)i–(Х1Z2–Z1Х2)j+(Х1У2–У1Х2)k, то

(а × b)·с = (У1Z2 – Z1У2)Х3 – (Х1Z2 – Z1Х2)У3 + (Х1У2 – У1Х2)Z3. Останній вираз можна згорнути у визначник третього порядку, користуючись

теоремою розкладання визначника (за елементами третього рядка), а саме:

Наслідок. Для того щоб три вектори а, b і с були компланарними, необхідно і достатньо, щоб для їх декартових координат виконувалась рівність

44

2 2 2

Отже, Vпар-да = |– 18| = 18, а Vпір = 3 (ум. од. об’єму).

Відповідь: 3.

45

3 ЕЛЕМЕНТИ АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

3.1 Про метод координат і поняття про рівняння лінії на площині

Як відомо зі шкільного курсу, якщо вибрана декартова система координат на площині, то найпростішому геометричному об’єкту точці М ставиться у відповідність упорядкована пара чисел х і у, які називаються координатами точки М, перша із них називається абсцисою точки, а друга

– ординатою точки, і записують символічно М (х, у). І навпаки, кожній упорядкованій парі чисел (х, у), які є декартовими координатами точки, відповідає цілком певна точка М на координатній площині.

Всякому вектору а на площині відносно декартового базису на площині відповідає упорядкована пара чисел Х і У, що називаються координатами вектора а, і записують так: а=(Х,У).

Перейдемо тепер до розгляду ліній на площині. Що таке лінія?

Лінією на площині називається множина всіх точок площини, що мають деяку певну геометричну властивість, характерну лише для цих точок. Цієї властивості не мають ті точки, що не лежать на цій лінії.

Розглянемо деяку лінію (L) на координатній площині. Якщо рухатись вздовж лінії, то координати точок цієї лінії

будуть змінюватись. Але змінюючись,

координати точок лінії не повинні бути

довільними, змінні координати повинні бути

зв’язаними деяким співвідношенням, яке

задовольняють координати будь-якої точки, що лежить на цій лінії, і не задовольняють координати точок площини, що не лежать

на цій лінії (L). Щоб підкреслити довільність точки М на лінії, її називають біжучою або змінною точкою, а її змінні координати х і у називають біжучими координатами точки лінії, а рівняння цієї лінії в загальному вигляді записують так: F (x, y) = 0.

Означення. Рівнянням лінії (L) на координатній площині хОу називається рівність F(x, y)=0, яку задовольняють координати будь-якої точки, що лежить на цій лінії, і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на цій лінії.

Отже, всяка лінія на площині описується рівнянням з двома змінними, що називаються біжучими координатами точки. І навпаки, кожне рівняння з двома змінними, коротко кажучи, визначає деяку лінію на площині. Останнє твердження вимагає пояснення. Так, рівняння х2+у2=0 визначає лише одну точку О (0;0), бо його задовольняють лише значення х=0 і у=0. А рівняння х2+у2= –4 не визначає ніякої лінії і ніякої точки, бо ця рівність не виконуватиметься ні при жодних значеннях змінних х і у.

46

3.2.2 Канонічне рівняння прямої

Положення прямої повністю визначається, якщо на ній задати точку M0(x0,, y0) і вектор s = (m; n), який паралельний прямій.

Вектор s, паралельний даній прямій, називається напрямним вектором прямої.

Складемо рівняння цієї прямої. Для цього виберемо довільно біжучу

Це рівняння (3.4) називається канонічним рівнянням прямої.

3.2.3 Рівняння прямої, що проходить через дану точку в даному напрямі

Положення прямої цілком буде визначено, якщо на ній задати деяку точку M0(x0;y0) і кутовий коефіцієнт цієї прямої k=tgϕ . Складемо рівняння цієї прямої. Скористаємося таким прийомом. Оскільки кутовий коефіцієнт прямої k задано, тобто напрям прямої визначено кутом ϕ нахилу прямої до додатного напряму осі Ох, то її рівняння будемо шукати у вигляді y=kx+b. Треба визначити число b або виключити його. Оскільки пряма проходить через задану точку M0(x0;y0), то її координати повинні задовольнити це рівняння, тобто матимемо справедливу рівність y0=kx0+b.

у–у0=k(х–х0) визначає рівняння пучка прямих, що проходять через задану точку (x0;y0).

Положення прямої можна визначити, задавши на ній деяку точку M0(x0;y0) і деякий вектор N=(A;B), який перпендикулярний до цієї прямої.

48

Вектор N, перпендикулярний до прямої, називається нормальним

вектором прямої.

Складемо рівняння цієї прямої. Для цього виберемо біжучу точку М(х;у) прямої і розглянемо вектор M0M = (х–х0; у–у0). Оскільки вектори M0M і N перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює нулю,

тобто M0M ×N = 0 або А(х–х0)+В(у–у0) = 0. (3.6)

Рівняння (3.6) теж називають рівнянням прямої, що проходить через задану точку (х0;у0). Числа А і В є координатами нормального вектора прямої.

Якщо в рівнянні (3.6) розкрити дужки Ах–Ах0+Ву–Ву0=0 і через С

3.2.4 Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

Положення прямої повністю визначається заданням на ній двох точок. Нехай на прямій задано дві точки М1(х1; у1) і М2(х2; у2). Виберемо біжучу

точку М(х; у) і розглянемо вектори M1M = (x − x1; y − y1) і

M1M2 = (x2 − x1; y2 − y1).

Рівняння (3.8) є шуканим рівнянням прямої.

Приклад 1. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки

М1(–3; 1) і М2(2; 3).

Розв’язування. На прямій виберемо біжучу точку М (х; у) і

3.2.5 Загальне рівняння прямої

Звернемо увагу на те, що всі виведені рівняння прямої (3.1) – (3.8) є рівняннями першого степеня з двома змінними.

Справедливе і обернене твердження.

Теорема. Всяке рівняння першого степеня з двома змінними Ах+Ву+С=0, де А,В і С – задані числа, визначає на площині деяку пряму,

49