Розв’язання:

Математична модель транспортної задачі:

F = ∑∑c_ijx_ij,

при умові:

∑x_ij = a_i, i = 1,2,…, m,

∑x_ij = b_j, j = 1,2,…, n,

Вартість перевезення одиниці вантажу з кожного пункту відправлення у відповідні пункти призначення задана матрицею тарифів

	1	2	3	4	5	Запаси
1	1	2	3	4	8	300
2	4	5	6	2	6	200
3	1	1	3	4	5	100
4	3	3	2	2	7	200
5	5	6	7	8	10	300
Потреби	100	100	200	200	300

Перевіримо необхідну і достатню умови розв'язання задачі.

∑a = 300 + 200 + 100 + 200 + 300 = 1100

∑b = 100 + 100 + 200 + 200 + 300 = 900

Занесемо вихідні дані у розподільну таблицю.

	1	2	3	4	5	6	Запаси
1	1	2	3	4	8	0	300
2	4	5	6	2	6	0	200
3	1	1	3	4	5	0	100
4	3	3	2	2	7	0	200
5	5	6	7	8	10	0	300
Потреби	100	100	200	200	300	100

Етап I. Пошук першого опорного плану.

1. Використовуючи метод Фогеля, побудуємо перший опорний план транспортної задачі. Для кожного рядка і стовпця таблиці умов знайдемо різниці між двома мінімальними тарифами, записаними в даному рядку або стовпці, і помістимо їх у відповідному додатковому стовпці або рядку.

	1	2	3	4	5	6	Запаси
1	1	2	3	4	8	0	300
2	4	5	6	2[200]	6	0	200
3	1[100]	1	3	4	5	0	100
4	3	3	2[200]	2	7	0	200
5	5	6[100]	7	8	10	0[200]	300
Потреби	100	100	200	200	300	200

2. Підрахуємо число зайнятих клітин таблиці, їх 8, а має бути m+n-1=10. Отже, опорний план є виродженим.

Для отримання не виродженого плану примусово додаємо нуль [0] в клітку (1; 1); (1, 2).

Етап II. Поліпшення опорного плану.

Перевіримо оптимальність опорного плану. Знайдемо попередні потенціали u_i, v_i. по зайнятих клітинах таблиці, в яких u_i + v_i = c_ij, вважаючи, що u₁ = 0.

	v 1 = 1	v 2 = 2	v 3 = 3	v 4 = 4	v 5 = 8	v 6 = 0
u1 = 0	1[0]	2[0]	3[0]	4[0]	8[300]	0[0]
u2 = -2	4	5	6	2[200]	6	0
u3 = 0	1[100]	1	3	4	5	0
u4 = -1	3	3	2[200]	2	7	0
u5 = 2	5	6[100]	7	8	10	0[200]

Опорний план не є оптимальним, тому що існують оцінки вільних клітин, для яких u_i + v_i > c_ij

Вибираємо максимальну оцінку вільної клітини (3; 1): 4

Для цього в перспективну клітку (3; 1) поставимо знак «+», а в решті вершинах багатокутника чергуються знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	5	6	Запаси
1	1[0]	2[0][-]	3[0]	4[0]	8[300]	0[0][-]	300
2	4	5	6	2[200]	6	0	200
3	1[100]	1	3	4	5	0	100
4	3	3	2[200]	2	7	0	200
5	5	6[100][+]	7	8	10	0[200][+]	300
Потреби	100	100	200	200	300	200

Цикл наведено в таблиці (3,1; 1,1; 1,2; 3,2;).

З вантажів х_ij які стоять в мінусових клітинах, вибираємо найменший, тобто у = min (1, 1) = 0. Додаємо 0 до обсягів вантажів, що стоять в плюсових клітинах і віднімаємо 0 з Х_ij, які стоять в мінусових клітинах. В результаті отримаємо новий опорний план.

	1	2	3	4	5		Запаси
1	1[0]	2[0]	3[0]	4[0]	8[300]	0[0]	300
2	4	5	6	2[200]	6	0	200
3	1[100]	1	3	4	5	0	100
4	3	3	2[200]	2	7	0	200
5	5	6[100]	7	8	10	0[200]	300
Потреби	100	100	200	200	300	200

Перевіримо оптимальність опорного плану. Знайдемо попередні потенціали u_i, v_i. по зайнятих клітинам таблиці, в яких u_i + v_i = c_ij, вважаючи, що u₁ = 0.

	v 1 = 1	v 2 = 2	v 3 = 3	v 4 = 4	v 5 = 8	v 6 = 0
u1 = 0	1[0]	2[0]	3[0]	4[0]	8[300]	0[0]
u2 = -2	4	5	6	2[200]	6	0
u3 = 0	1[100]	1	3	4	5	0
u4 = -1	3	3	2[200]	2	7	0
u5 = 2	5	6[100]	7	8	10	0[200]

Опорний план не є оптимальним, тому що існують оцінки вільних клітин, для яких u_i + v_i > c_ij

Вибираємо максимальну оцінку вільної клітини . Для цього в перспективну клітку поставимо знак «+», а в решті вершинах багатокутника чергуються знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	5	6	Запаси
1	1[0]	2[0][-]	3[0]	4[0]	8[300]	0[0][+]	300
2	4	5	6	2[200]	6	0	200
3	1[100]	1	3	4	5	0	100
4	3	3	2[200]	2	7	0	200
5	5	6[100][+]	7	8	10	0[200][-]	300
Потреби	100	100	200	200	300	200

З вантажів х_ij що стоять в мінусових клітинах, вибираємо найменше, тобто у = min =0. Додаємо 0 до обсягів вантажів, що стоять в плюсових клітинах і віднімаємо 0 з Х_ij, що стоять в мінусових клітинах. В результаті отримаємо новий опорний план.

	1	2	3	4	5	6	Запаси
1	1[0]	2	3[0]	4[0]	8[300]	0	300
2	4	5	6	2[200]	6	0	200
3	1[100]	1	3	4	5	0	100
4	3	3	2[200]	2	7	0	200
5	5	6[100]	7	8	10	0[200]	300
Потреби	100	100	200	200	300	200

Перевіримо оптимальність опорного плану. Знайдемо попередні потенціали u_i, v_i. по зайнятих клітинам таблиці, в яких u_i + v_i = c_ij, вважаючи, що u₁ = 0.

	v 1 = 1	v 2 = 2	v 3 = 3	v 4 = 4	v 5 = 8	v 6 = 0
u1 = 0	1[0]	2	3[0]	4[0]	8	0[0]
u2 = -2	4	5	6	2[200]	6	0
u3 = 0	1[100]	1	3	4	5	0
u4 = -1	3	3	2[200]	2	7	0
u5 = 2	5	6[100]	7	8	10	0[200]

Опорний план не є оптимальним, тому що існують оцінки вільних клітин, для яких u_i + v_i > c_ij

Вибираємо максимальну оцінку вільної клітини. Для цього в перспективну клітку поставимо знак «+», а в решті вершинах багатокутника чергуються знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	5	6	Запаси
1	1[0]	2[0][-]	3[0]	4[0]	8[300]	0[0][-]	300
2	4	5	6	2[200]	6	0	200
3	1[100]	1	3	4	5	0	100
4	3	3	2[200]	2	7	0	200
5	5	6[100][+]	7	8	10	0[200][+]	300
Потреби	100	100	200	200	300	200

З вантажів х_ij що стоять в мінусових клітинах, вибираємо найменше, тобто у = min (1, 2) = 0. Додаємо 0 до обсягів вантажів, що стоять в плюсових клітинах і віднімаємо 0 з Х_ij, що стоять в мінусових клітинах. В результаті отримаємо новий опорний план.

	1	2	3	4	5	6	Запаси
1	1[0]	2[0]	3[0]	4[0]	8[300]	0[0]	300
2	4	5	6	2[200]	6	0	200
3	1[100]	1	3	4	5	0	100
4	3	3	2[200]	2	7	0	200
5	5	6[100]	7	8	10	0[200]	300
Потреби	100	100	200	200	300	200

Перевіримо оптимальність опорного плану. Знайдемо попередні потенціали u_i, v_i. по зайнятих клітинам таблиці, в яких u_i + v_i = c_ij, вважаючи, що u₁ = 0.

	v 1 = 1	v 2 = 2	v 3 = 3	v 4 = 4	v 5 = 8	v 6 = 0
u1 = 0	1[0]	2	3[0]	4[0]	8	0[0]
u2 = -2	4	5	6	2[200]	6	0
u3 = 0	1[100]	1	3	4	5	0
u4 = -1	3	3	2[200]	2	7	0
u5 = 2	5	6[100]	7	8	10	0[200]

Опорний план є оптимальним, так як всі оцінки вільних клітин задовольняють умові u_i + v_i <= c_ij.

Мінімальні витрати складуть:

F(x) = 1*100 + 2*200 + 2*20 + 2*200 + 6*100 + 0*200 =800