2.6.3. Квантова теорія електропровідності металів

З класичної теорії відомо, що провідність металів визначається питомою електропровідністю , одержаною засобами класичної фізики з рівняння закону Ома в диференціальній формі

, (2.6.16)

де n ― концентрація електронів провідності; q ― електронний заряд;  ― середній час вільного пробігу між сусідніми зіткненнями електронів; m ― маса електрона.

З величин, які входять у вираз питомої електропровідності  формули (2.6.16) лише  залежить від температури, тобто

(2.6.17)

де ― середня довжина вільного пробігу електронів провідності між двома сусідніми зіткненнями; ― середня швидкість направленого руху носіїв струму, тобто електронів у металі.

Середня швидкість електронного газу в металі від температури не залежить. Певні зміни швидкості електронів можливі при нагріванні до температури Кюрі. Однак це не реально. Тому від температури залежить лише довжина вільного пробігу. При збільшенні амплітуди коливань вузлів кристалічної гратки довжина вільного пробігу зменшується обернено пропорційно до абсолютної температури:

. (2.6.18)

З цих міркувань можна зробити висновок, що питома електропровідність металів знижується з ростом температури обернено пропорційної температурі, тобто

. (2.6.19)

Цей висновок квантової механіки повністю підтверджується експериментом.

2.6.4. Теплоємність електронного газу

Звернемось до розподілу Фермі-Дірака при температурі, більшій за абсолютний нуль. Графік залежності імовірності заповнення електронами квантових станів від енергії показано на рисунку (рис. 2.32)

Рис. 2.32

З рисунка видно, що при нагріванні змінюють свою енергію лише ті електрони, які розміщені на енергетичних рівнях поблизу енергії Фермі. Кількість таких електронів досить невелика.

Частку електронів, які беруть участь у тепловому русі, можна оцінити співвідношенням 2кТ/Е_ф. Теплоємність одного моля електронного газу можна оцінити за допомогою класичного співвідношення

, (2.6.20)

де R – універсальна газова стала.

Але приймаючи до уваги, що лише досить невелика частка електро-нів бере участь у тепловому русі, молярна теплоємність електронного газу буде дорівнювати

, (2.6.21)

З урахуванням того, що для більшості металів , одержимо остаточне значення молярної теплоємності електронного газу в металі

. (2.6.22)

При звичайних температурах електронний газ в металі вносить досить незначний вклад в молярну теплоємність кристалу, яку можна визначити за законом Дюлонга і Пті (С_к=3R).

Порівняємо ці теплоємності

(2.6.23)

Електронна теплоємність почне помітно впливати на загальну теплоємність металу при температурах, близьких до абсолютного нуля, точніше при температурах менших за /50. Тут теплоємність кристалічної ґратки пропорційна Т³ буде меншою за електронну теплоємність, пропорційну Т.