2.5.2. Носії струму в кристалах. Квазічастинки. Ефективна маса носіїв струму в кристалі

В енергетичній зоні кристала завжди є вакантні місця для електронів у валентній зоні й деяка кількість електронів у зоні провідності. Електрони у зоні провідності при відсутності зовнішнього електричного поля рухаються хаотично. Густина струму провідності в кристалі підпорядковується класичному співвідношенню

(2.5.1)

де n – концентрація електронів провідності; q – елементарний заряд; – середня дрейфова швидкість електронів.

Питома електропровідність кристала із закону Ома в диферентціаль-ній формі дорівнює

(2.5.2)

де – називається рухливістю електронів.

З урахуванням останнього електропровідність кристала буде дорів-нювати

. (2.5.3)

Динаміка руху електронів в кристалі під дією зовнішніх електричних полів досить складна. Проявляються хвильові властивості електронів.

У валентній зоні завжди є певна концентрація вакансій, тобто дірок. Одночасно в валентній зоні є також квазічастинки, які називаються екситонами.

Екситони – це електрично нейтральні збудження, які складаються із зв’язаних між собою дірок і електронів. Такі квазічастинки можуть існувати лише у валентній зоні і поряд з дірками беруть участь в проходженні струму через кристал. Екситони бувають двох типів. Екситон, в якому електрон і дірка перебувають на значних відстанях, рівних десяткам і сотням міжвузлових відстаней, називаються екситонами Ваньє. Екситони, для яких електрон і дірка перебувають у межах одного вузла кристалічної гратки, називаються екситонами Френкеля.

При проходженні струму через кристал у загальному випадку слід враховувати всі складові носіїв струму, тому

, (2.5.4)

де U_- і U₊ – рухливості електронів провідності в зоні провідності і дірок у валентній зоні.

Екситони не можуть бути введені в енергетичну схему електропровідності, оскільки зонна модель описує лише одноелектронні стани. Екситони Френкеля виникають у кристалах з досить великою сталою кристалічної гратки і малою діелектричною проникністю. Це, перш за все, іонні кристали, та кристали з інертних газів.

Екситони утворюються в тих випадках, коли енергетичне збудження відбувається з недостатніми енергіями, порівняно з шириною забороненої зони в кристалі.

Екситони відносяться до бозонів, тобто мають цілочисельний спін.

Ефективна маса електрона в зоні провідності збігається з масою ві-льних електронів. Ефективна маса дірок у валентній зоні трохи більша ма-си вільних електронів.

Рухливості дірок і екситонів у валентній зоні менші за рухливість електронів провідності у зоні провідності.

2.5.3. Густина квантових станів у енергетичній зоні

Густина квантових станів кристалічної речовини має враховувати характер носіїв у зоні провідності і валентній зоні. Електрони провідності і дірки мають однаковий спін, рівний і різні ефективні маси m_e і m_p.

Скористаємось одержаною формулою густини станів в енергетичній зоні в області енергій від Е до Е+dЕ

, (2.5.5)

де s – спін частинки; p – імпульс частинки; dV – об’єм кристала;

– зміна імпульсу за енергіями в енергетичній зоні з енергіями від Е до Е+dЕ.

Густина квантових станів електронів провідності нижньої частинки зони провідності буде дорівнювати

. (2.5.6)

Густина квантових станів верхньої частини валентної зони

. (2.5.7)

Співвідношення (2.5.6) і (2.5.7) описують розподіли квантових станів в тих частинах зони провідності і валентної зони, для яких відомі точні значення залежності імпульсу носіїв струму від їх кінетичної енергії. Цю умову задовольняє нижня частина зони провідності і верхня частина валентної зони.

Лекція 6. Електронний газ у металі

2.6.1. Розподіл електронів у металі за енергіями. Енергія Фермі.

2.6.2. Розрахунок енергії Фермі. Середнє значення енергії елек-тронного газу в металі. Температура виродження.

2.6.3. Квантова теорія електропровідності металів.

2.6.4. Теплоємність електронного газу.

2.6.1. Розподіл електронів у металі за енергіями. Енергія Фермі

Електричні, теплові, оптичні та ряд інших властивостей металів визначаються станом в них вільних електронів. Тому основним завданням квантової теорії є вивчення закономірностей розподілу вільних електронів у металі за енергіями. Оскільки електрони мають напівцілий спін , то вони відносяться до ферміонів і описуються квантовою статистикою Фермі-Дірака. З густиною квантових станів в енергетичній зоні ми уже ознайомилися в попередніх лекціях. На черзі квантовий розподіл Фермі-Дірака, який визначає імовірність заповнення квантових рівнів енергетичної зони електронами в умовах термодинамічної рівноваги.

Квантовий розподіл Фермі-Дірака має вигляд

, (2.6.1)

де f(Е) – імовірність заповнення електронами квантових рівнів енергетичної зони в області енергій Е; Е_ф- енергія Фермі; к – стала Больцмана; Т – абсолютна температура.

Для вияснення фізичної суті енергії Фермі слід проаналізувати вираз (2.6.1) при різних температурах.

При наближенні температури кристала до абсолютного нуля мож-ливі два випадки.

При T0:

а) Е>Е_ф , f(E) 0;

б) Е_ф>Е , f(E) 1.

Тобто квантові рівні електронів, розміщені вище енергії Фермі є пов-ністю вільними, а квантові рівні електронів нижче енергії Фермі, повністю заповнені електронами. Графічна ітерпретація цього аналізу показана на рис. 2.30.

З рисунка видно, що енергія Фермі – це найбільша енергія електронів у металі при абсолютному нулі температур. Вище цієї енергії немає жодного заповненого квантового рівня. Імовірність виявити електрон з енергією Е>Е_ф при цій температурі дорівнює нулю.

Рис. 2.30

Проте рівні з енергіями Е<Е_ф при Т=0 заповнені з імовірністю, рівною одиниці.

Розглянемо випадки, коли температура кристалу вища за абсолютний нуль.

При Т>0

а) Е=Е_ф, f(E)=1/2;

б) Е<E_ф, f(E)>1/2; в) Е>Е_ф, f(E)<1/2.

Графічна інтерпретація цього аналізу показана на рис.2.31.

Рис. 2.31

На рис. 2.31 показано, що при довільній температурі, вищій за абсолютний нуль, в енергетичній зоні вільних електронів невелика частина їх буде мати енергії Е>Е_ф , в той час як на рівнях з енергіями Е<E_ф появляться вакансії, тобто не заповнені квантові стани.

Температурний інтервал зміни енергії електронів біля енергії Фермі досить малий і не перевищує кількох відсотків. Це означає, що квантові рівні в металі, енергія яких менша за Е - кТ – заповнені повністю, а квантові рівні з енергіями більшими за Е + кТ є повністю вільними.