Логічні закони і правила перетворення логічних виразів
Якщо дві формули А і В одночасно, тобто при однакових наборах значень вхідних до них змінних, приймають однакові значення, то вони називаються рівносильними.
В алгебрі логіки є ряд законів, що дозволяють отримувати рівносильні перетворення логічних виразів.
-
Закон подвійного заперечення:
;
2. Переміщувальний (комутативний) закон:
для
логічного додавання:
;
для
логічного множення:
;
3. Сполучний (асоціативний) закон:
для
логічного додавання:
;
для
логічного множення:
;
4. Розподільчий (дистрибутивний) закон:
для
логічного додавання:
;
для
логічного множення:
;
5. Закони де Моргана:
для
логічного додавання:
;
для
логічного множення:
;
6. Закон ідемпотентності:
для
логічного додавання:
;
для
логічного множення:
;
7. Закони виключення констант:
для
логічного додавання:
;
для
логічного множення:
;
8.
Закон суперечності:
;
9.
Закон виключення третього:
;
10. Закон поглинання:
для
логічного додавання:
;
для
логічного множення:
;
11.
Правило виключення імплікації:
;
12.
Правило виключення еквіваленції:
.
Справедливість цих законів можна довести склавши таблицю істинності виразів в правій і лівій частині і порівнявши відповідні значення.
Ґрунтуючись на законах, можна виконувати спрощення складних логічних виразів. Такий процес заміни складної логічної функції більш простою, але рівносильною їй, називається мінімізацією функції.
Приклад
2.12.
Спростити логічний вираз
.
Рішення:
Відповідно до закону де Моргана:
.
Згідно сполучному закону:
.
Згідно закону суперечності і закону ідемпотентності:
.
Відповідно до закону виключення 0:
Остаточно
отримуємо
.
Завдання для самостійної роботи
Завдання 2.1. Побудувати логічну схему функції F (A, B).
|
№ варіанта |
F(A,B) |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
Завдання 2.2. Спростити логічний вираз D.
|
№ варіанта |
D |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
Завдання 2.3. Визначити, чи є два висловлювання еквівалентними.
|
№ варіанта |
|
|
1 |
А & (¬А v B) A v В |
|
2 |
¬(X v ¬Y) v ¬Y & Z ¬X & (Y ∨ Z) |
|
3 |
A & (B v C) (A v В) & (A v С) |
|
4 |
¬(¬A & B v A & (B v ¬C)) ¬B & (¬A v C) |
|
5 |
¬ (A & B) & ¬C ¬A v B v ¬C |
Завдання 2.4. Визначити істинність або хибність висловлювань.
|
№ варіанта |
|
|
1 |
(X>4) v ¬(X>1) v (X>4) при X=1 |
|
2 |
X>1 & (¬(X<5) v (X<3)) при X=2 |
|
3 |
¬((X>3) v (X<3)) v (X<1) при X=3 |
|
4 |
(X>4) v ¬(X>1) v (X>4) при X=4 |
|
5 |
(¬(X<5) v (X<3)) & (¬(X<2) v (X<1)) при X=1 |