Зауваження.
Імплікацію можна виразити через диз'юнкцію і заперечення:
.
Виключаюче АБО можна виразити через заперечення, диз'юнкцію і кон'юнкцію:
.
Висновок. Операцій заперечення, диз'юнкції і кон'юнкції достатньо, щоб описувати й обробляти логічні висловлювання.
Порядок виконання логічних операцій задається круглими дужками. Але для зменшення числа дужок домовилися вважати, що спочатку виконується операція заперечення («не»), потім кон'юнкція («і»), після кон'юнкції – диз'юнкція («або») і виключаюче або.
За допомогою логічних змінних і символів логічних операцій будь-яке висловлювання можна формалізувати, тобто замінити логічною формулою (логічним вираженням).
Логічна формула – це символічний запис висловлювання, що складається з логічних величин (констант або змінних), об'єднаних логічними операціями (зв'язками).
Логічна функція – це функція логічних змінних, яка може приймати тільки два значення: 0 або 1. У свою чергу, сама логічна змінна (аргумент логічної функції) теж може приймати тільки два значення: 0 або 1.
Приклад
2.8.
–
логічна функція двох змінних A і B.
Значення логічної функції для різних поєднань значень вхідних змінних - або, як це інакше називають, наборів вхідних змінних - звичайно задаються спеціальною таблицею. Така таблиця називається таблицею істинності (табл. 2.1).
Таблиця 2.2. Таблиця істинності основних логічних операцій
|
А |
В |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Спираючись на дані таблиці істинності основних логічних операцій можна складати таблиці істинності для більш складних формул.
Алгоритм побудови таблиць істинності для складних виразів:
1. Визначити кількість рядків:
кількість рядків = 2n + рядок для заголовка;
n - кількість простих висловлювань.
2. Визначити кількість стовпців:
кількість стовпців = кількість змінних + кількість логічних операцій;
визначити кількість змінних (простих виразів);
визначити кількість логічних операцій і послідовність їх виконання.
Приклад
2.9.
Скласти таблицю істинності для формули
І-НЕ, яку можна записати так:
.
Рішення:
Визначити кількість рядків:
На вході два простих висловлювання: А і В, тому n = 2 і кількість рядків = 22 +1 = 5.
2. Визначити кількість стовпців:
Вираз складається з двох простих виразів (A і B) і двох логічних операцій (1 інверсія, 1 кон'юнкція), тобто кількість стовпців таблиці істинності = 4.
3. Заповнити стовпці з урахуванням таблиць істинності логічних операцій (табл. 2.3).
Таблиця
2.3.
Таблиця істинності для логічної операції
|
А |
В |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
Подібним
чином можна скласти таблицю істинності
(табл. 2.4) для формули АБО-НЕ, яку можна
записати так:
.
Таблиця
2.4.
Таблиця істинності для логічної операції
|
А |
В |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
Примітка. І-НЕ називають також «штрих Шеффера» (позначають |) або «антикон'юнкція»; АБО-НЕ називають також «стрілка Пірса» (позначають ↓) або «антидиз'юнкція».
Приклад
2.10.
Скласти таблицю істинності логічного
виразу
.