6.1 Приклад виконання завдання

Конічна шестерня котиться без ковзання по нерухомому конічному колесу (рис. 6.6). Дано : ОС = 0,4 м; с^-1; с^-2; CD = 0,1 м; ;.

Визначити кутову швидкість і кутове прискорення шестерні А, швидкість та прискорення точки D для заданого положення тіла А.

Розв‘язання: Миттєва вісь обертання тіла А, що виконує сферичний рух, проходить через точку О та точку дотику тіл А і В (рис. 6.7)

Швидкість точки С при обертанні осі навколо осі OZ

(6.1)

Якщо розглядати рух тіла А як обертальний навколо миттєвої осі , то

(6.2)

Виходячи з (6.1) та (6.2), маємо:

Рисунок 6.1

Р

1

А

1

М

2

3

1

M

A

2

3

1

М

А

2

3

1

М

А

2

3

1

A

M

исунок 6.2

Р

2

1

3

М

А

A

3

1

2

M

1

3

2

М

А

исунок 6.3

Рисунок 6.4

Рисунок 6.5

.

Отже:

, (6.3)

.

Кутове прискорення тіла А

,

де - орт осі, що змінює напрямок у просторі.

Отже,

, (6.4)

де (рис.6.7).

Тепер рівняння (6.4) набуває вигляду

(6.5)

де ,

Виходячи з (6.3), знаходимо модуль кутового прискорення тіла А

.

Вектор має напрямок осі, а його модуль

Тепер рівняння (6.4) набуває вигляду

(6.5)

де ,

Виходячи з (6.3), знаходимо модуль кутового прискорення тіла А

.

Вектор має напрямок осі, а його модуль

Рисунок 6.6

Рисунок 6.7

Оскільки вектори тавзаємно перпендикулярні, тоді

,

.

Швидкість точки D знаходимо, враховуючи, що тіло А обертається навколо миттєвої осі .

.

Модуль цієї швидкості

,

де .

Прискорення точки D дорівнює векторній сумі нормального і дотичногоприскорень:

(6.6)

Нормальне прискорення

(6.7)

спрямовано перпендикулярно до миттєвої осі обертання тіла А від точки D до точки М (рис 6.7).

Модуль нормального прискорення

Дотичне прискорення

або , (6.8)

де ,.

Модулі складових дотичного прискорення точки D

,

,

де .

Оскільки напрямки векторів тазбігаються, напрямкиітакож збігаються. Векторрозташований в площині YOZ і спрямований перпендикулярно до OD в ту сторону звідки поворот від векторадо векторавидно проти годинникової стрілки на кут 90⁰ (рис. 6.7).

Прискорення точки D (6.6) знаходимо як векторну суму складових (6.7) та (6.8):

Модуль прискорення точки D

,

,

де

.

К.7 Знаходження швидкості та прискорення точки в складному русі

Умова завдання. На рис.7.1 – 7.5 по варіантах від 1 до 30 показа-но точку М, яка рухається по тілу, що виконує переміщення. Закони руху точки і тіла в залежності від часу задані функціями, які записа-ні біля рисунків, а числові значення коефіцієнтів приведені табли-цею 7.1 по варіантах. Визначити абсолютну швидкість та абсолютне прискорення точ- киМв складному русі для моменту часу, значення якого задано в таблиці 7.1 по варіантах. Для бажаючих більш детально дослідити процес складного руху точки побудувати графіки залежностейV = V(t)– абсолютної швид- кості від часу таa = a(t)– абсолютного прискорення від часу.

Таблиця 7.1

Примітка. Для зручності виконання завдання рівняння руху точ- ки Мі тіла потрібно записати із врахуванням значень коефіцієнтів таблиці 7.1.

Наприклад: для варіанта 15 біля рисунка вказано, що

S = A + k t²,  = B(1-e^-0,5t),

в таблиці 7.1 значення A, В, к задано по варіантах, нап-

риклад, по варіанту 4: A = 10см, В = 4см, к =2. То рівняння руху будуть:S = 10 + 2 t² ,  = 8(1- e^-0,5t).

Рисунок 7.1

Рисунок 7.2

Рисунок 7.3

Рисунок 7.4

Рисунок 7.5