- •§ 1. Линейные уравнения и неравенства с двумя неизвестными
- •§ 2. Системы линейных уравнений и неравенств с двумя неизвестными
- •§ 3. Матрицы и определители
- •§ 4. Определители произвольного порядка
- •§ 5. Системы линейных алгебраических уравнений
- •§6. Методы решения системы линейных алгебраических уравнений
- •§7. Векторы и линейные операции над ними
- •§8. Умножение векторов
- •§9. Комплексные числа
- •§ 10. Аналитическая геометрия на плоскости
- •§ 11. Различные уравнения прямой на плоскости.
- •§12. Кривые второго порядка
- •§13. Уравнение плоскости
- •§ 14. Прямая в пространстве.
- •§15. Поверхности второго порядка.
- •§16. Преобразование декартовых координат.
- •§17. Полярная система координат.
- •Расчётно-графическая работа «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
- •Пример выполнения варианта расчетно-графической работы.
§15. Поверхности второго порядка.
Поверхностью второго порядка называют совокупность точек пространства, координаты которых x,y,zудовлетворяют уравнению
Коэффициенты могут принимать любые действительные значения и удовлетворяют условию.
Для определения вида поверхности второго порядка необходимо ее уравнение привести к виду, не содержащему произведений координат. Этого можно достичь соответствующим выбором системы координат.
называют квадратичной формой. Матрицу
,
где , называют матрицей квадратичной формы. Вектор, удовлетворяющий условиюназывают собственным вектором матрицы А,- собственным значением.
Каждая матрица квадратичной формы имеет три взаимно ортогональных собственных вектора. Если единичные векторы собственных векторов матрицы А принять за единичные векторы новой системы координат, то в выражении квадратичной формы коэффициенты при произведениях обратятся в ноль и форма примет вид:
.
Присоединяя к ней линейную часть общего уравнения поверхности второго порядка и выделяя полные квадраты, получим каноническое уравнение поверхности второго порядка.
Пример 24.Привести к каноническому виду уравнение поверхности:
3x2+5y2+3z2– 2xy+ 2xz– 2yz-12x– 10 = 0.
Решение.
Составим матрицу А:
.
Найдем собственные векторы:
Полученная система имеет ненулевые решения, если ее определитель равен нулю, т.е.
Раскрывая определитель, получим:
.
Отсюда находим: .
При получим систему уравнений:
Решив систему, получим первый собственный вектор . Единичный векторсобственного векторабудет:.
При получим
При получим.
Записывая координаты единичных векторов в соответствующие столбцы, получим матрицу преобразования S:
Отсюда получим формулы преобразования координат:
Подставим значения ,ив уравнение поверхности:
или
Перепишем уравнение в виде:
Дополнив выражение в каждой скобке до полного квадрата, получим:
Совершив параллельный перенос осей координат и разделив на 24 обе части уравнения, получим
Это уравнение описывает поверхность, называемую эллипсоидом.
Классификация поверхностей второго порядка.
Применяя преобразование координат, уравнение поверхности второго порядка всегда можно привести к виду:
.
В зависимости от величины и знаков коэффициентов ,,,,,имогут представиться следующие частные случаи уравнений поверхностей второго порядка.
Таблица 1.
1. Эллипсоиды:
трехосный эллипсоид,
мнимый эллипсоид
точка
2. Гиперболоиды:
1)однополостные гиперболоиды
2)двуполостные гиперболоиды
3. Конусы:
4. Параболоиды:
1)эллиптические параболоиды
2)гиперболические параболоиды
5. Цилиндры
1)эллиптические цилиндры
2)гиперболические цилиндры
3)- параболические цилиндры
6. Пары плоскостей:
1)- пары пересекающихся плоскостей
2)- пары параллельных плоскостей
3)- пары совпадающих плоскостей
§16. Преобразование декартовых координат.
Известно, что положение точки М некоторого пространства Vможно однозначно определить, задав координатыx,yиzэтой точки относительно некоторой системы координатOXYZ. Выбор системы координат – произвольный. Очевидно, что в одной системе координатXOYZточка М будет иметь координаты М(x;y;z), а в другой системеX’O’Y’Z’ точка М будет иметь другие координаты М(x’;y’;z’). Естественно возникает задача: зная координаты точки М в одной системе координат, выразить через них координаты той же точки М относительно другой системы.
Задача сводится к нахождению трех функций:
позволяющих однозначно определить координаты точки М относительно одной системы координат, зная их относительно другой системы. Если системы XOYZиX’O’Y’Z’ - прямоугольные декартовы системы координат, то формулы перехода от одной системы координат к другой системе имеют вид:
где точка - начало координат новой системыX’O’Y’Z’;- направляющие косинусы углов, составленных единичными векторами новой и старой систем координат. Если система координат определена на плоскости, то формулы преобразования имеют вид:
.
Если , то есть начало новой системы координат совпадает с началом старой системы, то формулы преобразования имеют вид:
и определяют поворот системы.
Если единичные векторы старой и новой систем коллинеарны, то получим преобразование параллельного переноса:
На плоскости преобразования поворота и параллельного переноса имеют вид:
Общее преобразование можно рассматривать как суперпозицию параллельного переноса и поворота системы координат. Справедливо фундаментальное утверждение: каковы бы ни были две произвольные прямоугольные декартовы системы координат, координаты x,y,zлюбой точки пространства относительно одной системы являются линейными функциями координатx’,y’,z’ той же точки относительно другой системы.