32

Лабораторная работа № ксе-03 Изучение статистических закономерностей на механической модели

Цель работы:

1. Ознакомиться со статистическими закономерностями на примере нормального (гауссовского) закона распределения случайной величины.

2. Изучить на механической модели нормальный закон распределения и определить его дисперсию и меру точности.

Теоретическое введение

Закономерности, описывающие природные процессы и явления, подразделяются на динамические и статистические.

Динамические закономерности позволяют, зная состояние объекта (системы) в некоторый момент времени, однозначно и сколь угодно точно определить его состояние в любой предшествующий или последующий момент времени. Пример динамических закономерностей – законы классической механики. Область применения динамических закономерностей – сравнительно простые, например механические, системы. Динамические закономерности не учитывают фактор случайности.

При изучении сложных систем, состоящих из большого числа элементов, и квантовых объектов микромира главную роль играют статистические (вероятностные) закономерности, учитывающие влияние случайностей на состояние объектов изучения и на протекание процессов. В биологических, социальных и экономических системах также господствуют статистические закономерности. Статистические закономерности позволяют находить вероятности того или иного варианта движения (развития) объекта (системы) и находить усредненные характеристики случайных величин, характеризующих объект. Они имеют более общий характер, чем динамические. Математическим аппаратом описания статистических закономерностей являются теория вероятностей и математическая статистика.

Случайной называется величина, будущее значение которой невозможно точно предсказать на основе имеющейся информации о состоянии изучаемого объекта в данный момент. Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Дискретная случайная величина может изменяться только скачкообразно и принимает значения из ряда х₁, х₂, … х_s (количество s значений может быть и бесконечно большим). Например, энергия электрона в атоме может принимать только некоторые, так называемые «разрешенные» значения E₁, E₂, E₃ … (число таких значений бесконечно). Дата рождения человека может принимать одно из 365 значений (если год его рождения – не високосный).

Непрерывной называется случайная величина, могущая принимать любые значения в некоторой области. Примеры непрерывных случайных величин:

– абсолютная величина (модуль) скорости движения частиц газа (может принимать любые неотрицательные значения:);

– проекция скорости частицы газа на осьОХ (может принимать любые положительные и отрицательные значения);

– результаты серии повторных измерений очень многих физических величин (размеров, давления, напряжения и т.д.), если при измерениях имела место случайная погрешность (а она фактически неизбежна);

– длительность работы любого технического изделия до поломки, прочность каждого из серии образцов какого-либо материала, масса буханки хлеба, или кирпича, или трактора или любого другого серийного изделия, то есть – фактически любой параметр серийных изделий;

– очень многие экономические и социологические параметры: объем производства на следующий год, предполагаемый курс акций и валюты, процент голосов, которые будут поданы за кандидата на выборах, и т.д.

Далее рассматриваются только непрерывные случайные величины. Статистические закономерности при изучении непрерывной случайной величины х описываются функцией (законом) распределения f(x) этой величины. С помощью этой функции невозможно предсказать, какое именно значение примет случайная величина, но можно определить вероятность того, что ее значение будет лежать в том или ином интервале, а также среднее значение случайной величины и ряд других характеристик.

Поясним, что подразумевается под функцией распределения. Пусть имеется набор из очень большого числа N значений какой-либо случайной величины. В качестве примера случайной величины будем рассматривать модуль скорости частиц газа. В 1 м³ кислорода О₂ при 300 К и давлении 1 атм = 10⁵ Па содержится 2,42·10²⁵ молекул, каждая из которых имеет свою скорость. То есть в данном случае число N равно числу молекул: N = 2,42·10²⁵. Пусть dN значений этой случайной величины лежат в бесконечно малом интервале шириной dx от х до x+dx. В нашем примере dN – число молекул, у которых модуль скорости лежит в некотором малом интервале скоростей. Возьмем интервал от 400 м/с до 400,1 м/с шириной 0,1 м/с. При указанных условиях в каждом кубометре газа имеется dN = 3,17·10²⁰ молекул О₂, у которых скорости лежат в этом интервале. Вычислим отношение

. (3.1)

Это отношение показывает, какая доля от общего числа значений случайной величины лежит в рассматриваемом интервале, или, другими словами, какова вероятность того, что взятое наугад значение случайной величины лежит в этом интервале. В нашем примере dP = 3,17·10²⁰ : 2,42·10²⁵ = 1,314·10^-5.

Если вероятность dP разделить на ширину интервала dx, то мы получим плотность вероятности случайной величины, которая и называется функцией (законом) распределения случайной величины. С учетом формулы (3.1) получаем

. (3.2)

В нашем примере f(400) = 1,314·10^-4 (м/с)^–1.

Чтобы лучше понять смысл функции распределения положим dx = 1, то есть рассмотрим единичный интервал значений случайной величины от x до x + 1. При этом формула (3.2) упрощается и принимает вид

. (3.3)

Следовательно, функция распределения показывает, какая доля от общего числа значений случайной величины лежит в единичном интервале от x до x + 1. Иными словами, функция распределения показывает, какова вероятность того, что взятое наугад значение случайной величины попадет в единичный интервал от x до x + 1.

Если известен вид функции распределения, то из формулы (3.2) следует, что вероятность нахождения случайной величины в бесконечно малом интервале от x до x + 1 такова

. (3.4)

Интегрируя формулу (3.4), получаем формулу для расчета вероятности нахождения случайной величины на интервале (a, b)

. (3.5)

Вероятность того, что случайная величина принимает хотя бы какое-то значение на интервале от до, очевидно, равна единице

. (3.6)

Важнейшие характеристики случайной величины – ее математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание есть среднее значение случайной величины при . Для обозначения таких средних используют угловые скобки. Для непрерывной случайной величины

. (3.7)

Кроме среднего значения, важно также знать, насколько сильно значения рассматриваемой величины отклоняются от ее среднего значения или, иначе говоря, насколько широк разброс значений случайной величины. Среднее значение отклонения от среднего (среднее значение разности ) для этого не подходит, поскольку оно равно нулю. Действительно,

.

Поэтому рассматривают среднее значение не самого отклонения от среднего, а среднее значение квадрата отклонения. Это и есть дисперсия случайной величины, которая обозначается через :

. (3.8)

Квадратный корень из дисперсии называютсредним квадратичным отклонением или стандартом случайной величины.

Во многих случаях для описания случайных величин справедлив так называемый закон нормального распределения (распределения Гаусса). Это распределение имеет место, если случайная величина зависит от большого числа факторов, могущих вносить с равной вероятностью положительные и отрицательные отклонения. Примером может служить распределение случайных ошибок при измерении любой физической величины или распределение проекций на координатную ось скоростей движения частиц газа. Можно показать, что закон нормального распределения (закон Гаусса) имеет вид

, (3.9)

где х – произвольное значение случайной величины;

–среднее значение (математическое ожидание) случайной величины;

–дисперсия.

На рисунке 3.1 показаны графики распределения Гаусса при различных значениях и.

Нормальное распределение характеризуется также мерой точности . Прих = функция распределения максимальна

.

Величина, обратная мере точностиh, равна такому отклонению x от , при которомf(x) меньше f_max в раза (рисунок 3.1).

Максимум гауссовского распределения (рисунок 3.1) достигается при значении х, равном математическому ожиданию . Кривая, описывающая нормальное распределение (кривая Гаусса), имеет колоколообразный вид, она симметрична относительно вертикали. Площадь под кривой на всем бесконечном промежуткеравна интегралу. Подставляя сюда функцию (3.9), можно убедиться, что эта площадь равна единице. Это согласуется с формулой (3.6).

Разобьем площадь под кривой Гаусса (рисунок 3.2) вертикальными прямыми на отдельные участки. Сначала рассмотрим участок, соответствующий промежутку (заштрихован на рисунке 3.2). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой Гаусса и вертикальными прямыми, равна величине интеграла, то есть в соответствии с формулой (3.5) равна вероятности того, что случайная величинах попадает в промежуток от до. Расчет показывает, что эта вероятность равна 0,683. Можно показать, что вероятность попадания в промежуток отдоравна 0,954, а в промежуток отдоравна 0,997.

Таким образом, значения непрерывной случайной величины, подчиняющейся нормальному распределению, попадают в интервалс вероятностью 0,997. Такая вероятность практически равна единице. Поэтому можно полагать, что фактически все значения рассматриваемой случайной величины находятся в пределах промежутка, простирающегося на 3σ вправо и на 3σ влево от. Это и есть«правило трех сигм».