0. 5.4 Исследование формы распределения элементов совокупности

Выяснение общего характера распределения предполагает не только оценку степени его однородности, но и исследование формы распределения, т.е. оценку симметричности и эксцесса.

Из математической статистики известно, что при увеличении объема статистической совокупности (N → ) и одновременного уменьшении интервала группировки ( х_i→ 0) полигон либо гистограмма распределения все более и более приближается к некоторой плавной кривой, являющейся для указанных графиков пределом. Эта кривая называется эмпирической кривой распределения и представляет собой графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот, функционально связанного с изменением вариант.

В статистике различают следующие виды кривых распределения:

- одновершинные кривые;

- многовершинные кривые.

Однородные совокупности описываются одновершинными распределениями. Многовершинность распределения свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности или о некачественном выполнении группировки.

Одновершинные кривые распределения делятся на симметричные, умеренно асимметричные и крайне асимметричные.

Распределение называется симметричным, если частоты любых 2-х вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. В таких распределениях x = Mo = Me .

Для характеристики асимметрии используют коэффициенты асимметрии.

Наиболее часто используются следующие из них:

• Коэффициент асимметрии Пирсона (5.17)

В одновершинных распределениях величина этого показателя изменяется от -1 до +1, в симметричных распределениях As=0.

При As>0 наблюдается правосторонняя асимметрия. В распределениях с правосторонней асимметрией Mo ≤ Me ≤ x .

При As<0 – асимметрия отрицательная левосторонняя, Mo>Me> x .

Чем ближе по модулю As к 1, тем асимметрия существеннее:

- если |As|<0,25, то асимметрия считается незначительной;

- если 0.5 <|As|<0.25 то асимметрия считается умеренной;

- если |As|>0,5 – асимметрия значительна.

Коэффициент асимметрии Пирсона характеризует асимметрию только в центральной части распределения, поэтому более распространенным и более точным является коэффициент асимметрии, рассчитанный на основе центрального момента 3-его порядка:

(5.18)

- центральный момент третьего порядка;

- среднее квадратическое отклонение в третьей степени.

Центральным моментом в статистике называется среднее отклонение индивидуальных значений признака от его среднеарифметической величины.

Центральный момент k-ого порядка рассчитывается как:

-для несгруппированных данных (5.19)

- для сгруппированных данных (5.20)

Соответственно формулы для определения центрального момента третьего порядка имеют следующий вид:

- для несгруппированных данных (5.21)

- для сгруппированных данных (5.22)

Для оценки существенности рассчитанного вторым способом коэффициента асимметрии определяется его средняя квадратическая ошибка:

(5.23)

Если асимметрия является существенной.

Для одновершинных распределений рассчитывается еще один показатель оценки его формы – эксцесс. Эксцесс является показателем островершинности распределения. Он рассчитывается для симметричных распределений на основе центрального момента 4-ого порядка

где - центральный момент 4-го порядка.

- для несгруппированных данных (5.24)

- для сгруппированных данных (5.25)

При симметричных распределениях Ех=0, если Ех>0, то распределение относится к островершинным, если Ех<0 – к плосковершинным.

Рассчитаем показатели асимметрии и эксцесса для ряда распределения рабочих по стажу работы. Ранее для данного ряда были получены следующие характеристики: x = 12 лет, Мо=12,9 лет, =6,3 года.

Коэффициент асимметрии Пирсона получается равным:

, что говорит о наличии незначительной левосторонней асимметрии в центральной части распределения.

Коэффициент асимметрии, рассчитанный через центральный момент 3-его порядка:

Это означает, что в целом по всему ряду наблюдается правосторонняя асимметрия.

Расчет центрального момента 3- его порядка приведен во вспомогательной таблице 5.2.

Таблица 5.2 - Расчет центральных моментов 3- его и 4-ого порядка

№	xi	ni
1	2	6	-10	-1000	-6000	10000	60000
2	6	8	-6	-261	-1728	1296	10368
3	10	11	-2	-8	-88	16	176
4	14	13	2	8	104	16	208
5	18	6	6	216	1296	1296	7776
6	22	4	10	1000	4000	10000	40000
7	26	2	14	2744	5488	38416	76832
Итого	14	50	-	-	3072	-	195360

Показатель эксцесса:

, что свидетельствует о том, что распределение плосковершинное.

Упражнения и задачи

Задача 5.1

По данным ряда распределения прядильного оборудования хлопчатобумажного комбината по времени эксплуатации (табл. 5.3) определите показатели вариации:

Таблица 5.3 – Исходные данные

Возрастная группа оборудования, лет	Количество единиц оборудования, n
До 4	10
4-8	25
8-12	45
12 и больше	20
Всего	100

Задача 5.2

По данным распределения работников предприятия по стажу (табл. 5.4) определите показатели вариации (размах вариации, линейное, квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации):

Таблица 5.4 – Исходные данные

Стаж работы, лет	До 1	1-2	2-3	3-5	5-7	7-9	Более 9
Количество работников	4	6	5	17	18	15	11

Задача 5.3

Средняя величина трудоемкости изделия равна 20 чел./час., а коэффициент вариации 25%. Определите дисперсию.

Задача 5.4

Имеются данные (табл. 5.5) о времени обработки деталей рабочими двух бригад.

Таблица 5.5 – Исходные данные

Бригады	Время обработки деталей, мин
I-я бригада	74	86	112	116	132	134	155	183	-	-
II-я бригада	108	113	114	121	122	126	130	132	135	139

1. Определите показатели центральной тенденции (среднюю величину и медиану).

2. Определите показатели вариации.

Задача 5.5

Сравните вариацию урожайности зерновых культур и картофеля в хозяйствах региона на основе следующих данных (табл. 5.6).

Таблица 5.6 – Исходные данные

№ хозяйства	Урожайность, ц/га		Посевная площадь, га
	Зерновых Y	Картофеля X	Зерновых Y	Картофеля Х
1	15	170	20	10
2	20	90	30	20
3	13	130	10	50
4	17	150	90	40
5	25	120	50	30
6	14	80	20	25
7	16	60	32	20
8	27	160	48	45
9	33	140	25	70
10	30	100	30	35
Итого			355	345

Задача 5.6

В трех партиях продукции, представленных на контроль качества, было обнаружено:

а) первая партия – 1000 изделий, из них 800годных, 200 бракованных;

б) вторая партия – 800 изделий, из них 720 годных, 80 бракованных;

в) третья партия – 900 изделия, из них годных 855, бракованны 45 единиц продукции.

Определить в целом для всех партий следующие показатели:

а) средний процент годной продукции и средний процент брака;

б) дисперсию, среднее квадратичное отклонение и коэффициент вариации годной продукции.

Контрольные вопросы

1. В чем суть вариации и необходимости ее определения при статистическом изучении?

2. Виды основных показателей вариации.

3. Абсолютные показатели вариации и их экономическое толкование.

4. Относительные показатели вариации и их экономическое толкование.

5. Что такое размах вариации и в чем его особенности как показателя вариации?

6. В чем состоят особенности расчета показателей вариации по сгруппированным данным?

7. Какое аналитическое значение имеет коэффициент вариации?

8. Что представляет собой дисперсия альтернативного признака?

9. В чем заключается правило сложения дисперсий и суть составляющих общей дисперсии?

10. Как определяется внутригрупповая дисперсия?

11. Что характеризует межгрупповая дисперсия, формула ее расчета?

Тема №6

Выборочное статистическое наблюдение