1. 5.2 Правило сложения дисперсий

Если изучаемая совокупность состоит из нескольких частей, то для каждой из них можно рассчитать среднее значение признака и дисперсию. Кроме этого можно рассчитать дисперсию, измеряющую вариацию признака между выделенными частями совокупности.

Таким образом, с помощью разных видов дисперсии можно более глубоко изучить вариацию признака в совокупности. Различают следующие виды дисперсий: общая дисперсия, межгрупповая и внутригрупповая.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей статистической совокупности под влиянием всех факторов, вызывающих эту вариацию. Она рассчитывается по формуле:

(5.11)

Межгрупповая дисперсия характеризует изменение признака обусловленное факторами, положенными в основу группировки. Таким образом, межгрупповая дисперсия есть дисперсия локальных средних. Ее расчет проводится по формуле:

(5.12)

где - локальная средняя (среднее значение признака) в каждой группе,

m – количество групп (частей) в совокупности.

Внутригрупповая дисперсияхарактеризует случайную вариацию, т.е. колебания признака, возникающие под воздействием неучтенных факторов и независящую от вариации признака – фактора, положенного в основу группировки. Внутригрупповая дисперсия рассчитывается для каждой однородной группы:

(5.13)

На основании внутригрупповой дисперсии рассчитывается средняя из внутригрупповых дисперсий (остаточная)

(5.14)

Перечисленные виды дисперсий связаны между собой следующим отношением:

(5.15)

Указанное соотношение называется правилом сложения дисперсий. Очевидно, что, чем больше величина межгрупповой дисперсии, тем более качественно проведена группировка, тем сильнее факторный признак влияет на общую вариацию. Кроме этого, пользуясь указанным правилом, можно по двум известным дисперсиям рассчитать неизвестную третью дисперсию.

5.3 Понятие нормального распределения

Нормальное распределение выражается формулой:

Р_х=e^- (5.16)

где Р_х- плотность вероятности в распределении случайной величины или относительная плотность распределения применительно к вариационному ряду;

х – варианты;

- их средняя арифметическая;

- среднее квадратическое отклонение;

е и - математические постоянные.

Нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами: и, т.е. нормальные распределения отличаются друг от друга положением на оси Х центра распределения и разбросом вариантов около этого центра (рис.5.1)=;_2>1

Рисунок 5.1 – Кривая нормального распределения

Нормальное распределение возникает тогда, когда признак можно рассматривать как сумму значительного числа слагаемых, в известной мере независимых друг от друга.

Нередко возникают распределения, хотя и не отвечающие строго нормальному, но имеющие с ним сходные черты. Такое сходство обусловлено тем, что крайние значения вариантов, близкие к Х_minи Х_max, встречаются реже, чем средние.