А4. Критерий «среднее-разброс» основан на применении следующих формул:

M[ y(xi )] = ∑n pj y(xi , z j ) ,

j=1

При этом первый показатель (среднее) подлежит максимизации, а второй (разброс) – минимизации.

Результаты вычисления значений обоих показателей приведены

втабл. Очевидно, что в данном случае альтернатива x4 (тираж 5 тыс. экз.) может быть исключена из рассмотрения как доминируемая

по Парето (по сравнению с x3 она обеспечивает более низкое среднее значение прибыли при большем разбросе значений).

Таким образом, выбор по рассматриваемому критерию должен

производится среди альтернатив x1, x2 и x3, и его результат, вообще говоря, зависит от отношения ЛПР к риску. Так, ЛПР, не склонное

криску, может предпочесть альтернативу x1 (тираж 2 тыс. экз.), обеспечивающую наименьший разброс. Для ЛПР, склонного к риску, бо-

лее предпочтительной будет альтернатива x3 (тираж 4 тыс. экз.), поскольку ей соответствует наибольшая средняя прибыль. Вместе с тем,

вконтексте рассматриваемой задачи наиболее разумным (с точки зрения критерия «среднее – разброс») представляется выбор альтернативы x2 (тираж 3 тыс. экз.), которая обеспечивает высокое (близкое

кмаксимальному) среднее значение прибыли при малом (близком

кминимальному) разбросе.

Б1. Для установления типов отношения к риску построим графики заданных функций полезности на диапазоне возможных значений прибыли (возьмем немного расширенный интервал [0, 50]). Как видно из рис., функция u1 на всем диапазоне является строго выпуклой вверх, а u2 – строго выпуклой вниз. Таким образом, в условиях рассматриваемой ситуации функция u1 соответствует ЛПР, не склонному к риску, а функция u2 – ЛПР, склонному к риску.

2.Построение решающих правил для задач в условиях «полной» неопределенности

Пусть в условиях предыдущей задачи вероятности спроса оценить не удалось.

Выбрать наиболее предпочтительную альтернативу, используя:

−критерий Вальда;

−критерий Гурвица (выбрав значение коэффициента γ);

−принцип недостаточного обоснования;

−комбинацию критерия Гурвица и принципа недостаточного обоснования;

−критерий Сэвиджа;

−критерий Хоменюка.

Решение.

1. Для каждой альтернативы xi вычислим значения критерия Вальда по формуле:

Результаты вычислений приведены в табл. Наиболее предпочтительной по данному критерию является альтернатива x1 (тираж 2 тыс. экз.), обеспечивающая лучшую оценку при неблагоприятном исходе.

Для применения этой формулы необходимо предварительно выбрать значение показателя γ (коэффициента оптимизма-пессимизма).

В соответствии с таблицей решений, имеем:

Рассмотрим две гипотетические альтернативы: x →[6 45], xγ →yγ

(т.е. при реализации первой альтернативы возможно получение прибыли в сумме 6 тыс. д.е. либо 45 тыс. д.е., а реализация второй альтернативы приводит к получению определенной прибыли yγ наверняка). Пусть ЛПР считает, что альтернативы равноценны при yγ = 30 тыс. д.е. Отсюда

у ЛПР оптимистического взгляда на поведение внешней среды, когда при оценке альтернатив больший приоритет отдается благоприятному исходу.

Вычисленные значения критерия Гурвица для γ = 0,385 приведены в табл. Наилучшей по данному критерию является альтернатива x4 (тираж 5 тыс. экз.).

Теперь рассмотрим ситуацию, когда коэффициент γ соответствует преобладанию пессимистического взгляда на поведение внешней среды – пусть, например, ЛПР установило yγ = 15 тыс. д.е., что соответствует γ = 0,77. В этом случае наибольший приоритет получает альтернатива x2, обеспечивающая более высокую прибыль при неблагоприятном для нее объеме спроса.

3. Критерий Бернулли-Лапласа, используемый в рамках принципа недостаточного обоснования имеет вид:

WL (xi ) = 1 ∑4 y(xi , z j ) . 4 j=1

Наиболее предпочтительной является альтернатива x3.

4. Для применения комбинации критерия Гурвица и принципа недостаточного обоснования необходимо разделить множество исходов на два подмножества, содержащие исходы, благоприятные и неблагоприятные с точки зрения ЛПР.

Как правило, такое разделение выполняется на основе значения yγ, которое ЛПР выбирает при определении коэффициента γ. Таким образом, с учетом п. 2, получаем:

для γ = 0,385:

−множество благоприятных исходов R ={y y ≥30};

−множество неблагоприятных исходов Q ={y y <30};

для γ = 0,77:

−множество благоприятных исходов R ={y y ≥15};

−множество неблагоприятных исходов Q ={y y <15}.

Для каждой альтернативы исходы в пределах этих множеств считаем равновероятными. Комбинированный критерий имеет вид:

где rk(xi), qj(xi) – исходы альтернативы xi, принадлежащие соответственно множествам R и Q; p(xi), s(xi) – число таких исходов. При этом, если для альтернативы xi одно из значений p(xi), s(xi) нулевое (все ее исходы относятся только к одному из подмножеств), то для оценки данной альтернативы используется критерий Бернулли-Лапласа (оценивается «средний» исход).

Как и в случае использования критерия Гурвица, при γ = 0,385 выбирается альтернатива x4, а при γ = 0,77 – альтернатива x2. Вместе с тем, различие между оценками альтернатив по комбинированному критерию является более существенным, чем по критерию Гурвица, за счет ориентации не на крайние, а на средние значения исходов.

5. Значения критерия Сэвиджа вычисляются по формуле:

где

r(xi , z j ) = (max y(ti , z j )) − y(xi , z j ).

i=1,…,4

Значения величин r(xi , z j ) образуют матрицу сожалений, на основе которой вычисляются значения критерия.

Наилучшей является альтернатива x3, обеспечивающая наименьший «недовыигрыш» в самой неблагоприятной ситуации.

6. Значения критерия Хоменюка вычисляются по формуле

WK (xi ) = ∑4 p€(z j ) y(xi , z j ) ,

j=1

где p€(z j ) – оценка вероятности состояния внешней среды zj, пропор-

циональная суммарному сожалению, вызываемому наступлением данного состояния:

j=1 i=1

Оптимальной по данному критерию является альтернатива x4, обеспечивающая высокие оценки в состояниях с наибольшими суммарными сожалениями.

Контрольные вопросы и задания

1.В чем проявляется неопределенность внешней среды в задачах принятия решений? В чем различие между природной и поведенческой неопределенностью?

2.Привести общую математическую модель однокритериальной ЗПР в условиях природной неопределенности.

3.Какие ЗПР называют задачами в условиях стохастического риска, а какие – задачами в условиях полной неопределенности?

4.Какую интерпретацию имеют исходы в рамках модели ЗПР в условиях стохастического риска? Дать определение лотереи.

5.Перечислить основные виды решающих правил, основанных на вероятностных моделях.

6.Дать определение критерия вероятностной гарантии. Что характеризует данный критерий?

7.Как проявляется неустойчивость критерия вероятностной гарантии относительно изменения граничного значения оценки исхода? Какой еще критерий обладает подобной особенностью?

8.Дать определение критерия наибольшего вероятностно-гаранти- рованного результата. Что характеризует данный критерий?

9.Дать определение критерия среднего результата. Какие ограничения имеют место при использовании данного критерия?

10.Дать определение критерия «среднее – разброс». В чем его основные отличия от критерия среднего результата?

11.Дать определение детерминированного эквивалента лотереи.

12.Дать определение функции полезности.

13.Каким образом устанавливаются предпочтения на множестве альтернатив с использованием критерия ожидаемой полезности?

14.Дать определения склонности, несклонности и безразличия к стохастическому риску в терминах лотерей и детерминированных эквивалентов.

15.Каким образом по форме графика функции полезности установить тип отношения ЛПР к риску?

16.Какая методика может использоваться для построения функции полезности при небольшом числе исходов?

17.Какую методику следует использовать для построения функции полезности при большом числе исходов? (охарактеризовать основные этапы построения)

18.По какому принципу выполняется аппроксимация функции полезности методом пяти точек на участке с неизменным типом отношения к риску?

19.Перечислить основные виды решающих правил для ЗПР в условиях полной неопределенности внешней среды. В чем заключается общая идея их построения?

20.Дать определение критерия Вальда. Каким особенностям системы предпочтений ЛПР он соответствует?

21.Дать определение критерия Гурвица. Каким особенностям системы предпочтений ЛПР он соответствует?

22.В чем заключается эвристический метод вычисления коэффициента оптимизма-пессимизма для критерия Гурвица?

23.В чем заключается принцип недостаточного обоснования? Дать определение критерия Бернулли-Лапласа.

24.Каким образом можно комбинировать критерий Гурвица и принцип недостаточного обоснования? Привести соответствующее решающее правило.

25.Дать определение критерия Сэвиджа. Каким особенностям системы предпочтений ЛПР он соответствует?

26.Дать определение критерия Хоменюка. Каким особенностям системы предпочтений ЛПР он соответствует?