Метод.указ Мех.материалов и ОК

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Брянский государственный технический универси-

тет»

МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ

И

ОСНОВЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ

Брянск 2013

ПРЕДИСЛОВИЕ

Программой курса «Механика материалов и основы конструирования» (ММ и ОК) предусмотрено изучение важнейших разделов дисциплин «Сопротивление материалов» и «Детали машин и основы конструирования», являющихся фундаментом общепрофессиональной подготовки студентов.

Порядок выполнения заданий по курсу ММ и ОК построен на принципе органического единства традиционных дисциплин подготовки бакалавров к проектно-конструкторской профессиональной деятельности. Их выполнение способствует обобщению, углублению и закреплению знаний, полученных при изучении курса, для последующего применения их при комплексном решении задачи проектирования механизмов электромеханического привода.

Методические указания содержат задания по шести основным разделам курса. В каждом разделе приведён пример решения типовой задачи. Указан список литературных источников по разделам курса и сборников задач с примерами их решения.

Номер схемы для выполнения задания соответствует последней цифре номера зачетной книжк, а номер варианта числовых значений параметров – предпоследней цифре. Например, если номер зачётной книжки 901638, то нужно выполнять задание, соответствующее расчетной схеме 8 и числовым значениям параметров по варианту 3. Цифра ноль соответствует десятому варианту или десятой схеме задания.

Расчётно-графические работы оформляются в виде пояснительной записки, содержащей формулы, расчётные схемы, эпюры, числовые значения параметров, результаты вычислений и краткие пояснения выполняемых действий.

2

1. РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ) СТЕРЖНЕЙ

Задание 1. К стальному (Ест, sт) или чугунному(Еч, sвр, sвс) стержню (брусу) переменного сечения площадьюАi приложены со-

средоточенные силы F1 и F2 и распределенная нагрузка интенсивностью q согласно схеме(рис. 1). Определить коэффициент запаса прочности стержня (по его величине сделать вывод о разрушении) и перемещение его не опёртого конца. Исходные данные для расчета приведены в табл. 1.

Таблица 1

Исходные данные к заданию 1

3

Рис. 1. Расчётные схемы к заданию 1. В кружках – номера вариантов

4

Указания по выполнению задания

1.Построить эпюру продольных сил N , применяя метод сечений.

2.Построить эпюру нормальных напряжений s по эпюре N, используя зависимость s = N / А.

3.Найти максимальное значение напряженийsmах на эпюреs.

ПРИМЕР РАСЧЕТА

К чугунному брусу (стержню) переменного сечения площадью Аi приложены сосредоточенные силы F1 = 40 кН, F2 = 60 кН и распределённая нагрузка q = 200 кH/м согласно схеме (рис. 2). Определить коэффициент запаса прочности бруса и перемещение его свободного конца, если площадь сечения A = 4 ×10-4 м2, а длина l = 0, 2 м.

Решение

1. Разбиваем стержень на силовые участки, в пределах которых силовой фактор описывается одним математическим выражением. Границами участков являются границы стержня и сечения(точки), в которых приложены нагрузки. Стержень содержит четыре силовых участка. Определение опорной реакции в защемлении(заделке) не является обязательным, так как внутренние продольные усилия в сечениях стержня можно найти методом сечений, перемещаясь вдоль продольной оси (оси z) от свободного конца стержня к защемлению (на рис. 2, а – сверху вниз).

5

Рис. 2. К расчету стержня на растяжение (сжатие): а – расчетная схема стержня; б – расчетная схема для второго участка; в – расчетная схема для третьего участка; г – эпюра продольной силы; д – эпюра напряжений; е – эпюра удлинений стержня

Мысленно проведём на первом силовом участке сечение1-1 и, отбросив нижнюю часть стержня, рассмотрим равновесие верхней части. На первом участке внешние силовые факторы отсутствуют, поэтому внутреннее продольное усилие N1 = 0 .

Выполним аналогичные операции на втором силовом участке. К верхней части стержня сечения 2-2 приложим внутреннее растягивающее продольное усилие, которое условно считаем положительным (направлено от сечения 2-2 вдоль оси z), и внешнюю силу F1 (рис. 2, б). Под действием этих сил верхняя часть стержня находится в равновесии.

Для второго участка уравнение статического равновесия

åZi = 0; N2 + F1 = 0;

N2 = -F1 = -40 кН. Знак минус показывает, что внутренняя продольная сила – сжимающая и постоянная на всем участке. Эпюра продольной силы N2 на втором участке ограничивается прямой, параллельной базисной линии (рис. 2, г).

Аналогично мысленно выполним сечение 3-3 на третьем участке (рис. 2, в). Переменная координата изменяется от 0 до 5l, (5l ³ z3 ³ 0). Условия равновесия верхней части стержня на третьем участке имеют вид

6

åZi = 0; N3 + F1 - qz3 = 0 ; N3 = -F1 + qz3 ; 5l ³ z3 ³ 0

вначале третьего участка при z3 = 0 N3 (0) = -F1 + q×0 = -F1 = -40 кН (сжатие);

вконце третьего участка при z3 = 5l

N3 (5l) = -F1 + q ×5l = -40 + 200×5 ×0,2 =160 кН (растяжение).

Эпюра продольной силыN3 на третьем участке представляется наклонной прямой (рис. 2, г), так как q = const , а переменная z3 в первой степени.

При определении внутреннего продольного усилия методом -се чений нет необходимости всякий раз изображать отсеченную часть бруса. Достаточно мысленно выполнить изображенные на рис. 2, а и 2, б действия, направить внутреннее продольное усилие от сечения (как растягивающее усилие) и написать уравнение статического равновесия отсеченной части стержня. Для четвёртого участка (сечение 4-4) оно имеет вид

N4 + F1 - q ×5l + F2 = 0; N4 = -F1 + q×5l - F2 = -40 + 200×5×0,2 - 60 =100

кН (растяжение).

Продольная сила N4 - растягивающая и постоянная на всем четвертом участке, изображенная на эпюре прямой, параллельной базисной линии (рис. 2, г). При определенном навыке можно пропускать уравнение статического равновесия, а записывать выражение для N сразу, учитывая внешние силовые факторы со знаком плюс, если они направлены от рассматриваемого сечения, и минус, если они направлены в сторону рассматриваемого сечения.

2. Построим эпюру нормальных напряжений σ для определения максимальных напряжений. Напряжение на первом участке постоянное и равное

s1 = N1 / A = 0 .

На втором участке нормальное напряжение постоянно и равно: s2 = N2 / A = -40×10-4 / 4×10-4 = -100 ×106 Н/м2 =100 МПа.

На третьем участке напряжения переменные, так как продольная сила изменяется линейно N3 (z3 ) и изменяется площадь сечения. В

начале третьего участка

s3 (0) = N3 (0) / (2 A) = (-40 ×103 ) / (2 ×4×10-4 ) = -50 ×106 Н/м2 = -50 МПа.

На расстоянии z3 = 2l при площади сечения 2А:

7

N3 (3l) = -F1 + q ×3l = -40 + 200×3×0,2 = 80 кН (растяжение).

s3 (3l) = N3 (3l) / (2 A) = (80 ×103 ) / (2 ×4 ×10-4 ) =100 ×106 Н/м2 =100 МПа.

Там же при площади 3А

s3¢¢(3l) = N3 (3l) / (3A) = (80×103 ) / (3×4×10-4 ) = 67×106 Н/м2 = 67 МПа.

Вконце третьего участка:

s3 (5l) = N3 (5l) / (3A) = (160 ×103 ) / (3×4×10-4 ) =133 ×106 Н/м2 =133 МПа.

На четвертом участке:

s4 = N4 / (3A) = (100 ×103 ) / (3×4×10-4 ) = 83×106 Н/м2 = 83 МПа.

По полученным значениям напряжений строим эпюруσ (рис. 2, д). Видно, что максимальное нормальное напряжение в стержне

smax =133 МПа.

Коэффициент запаса прочности

S= slim / smax = sвр / smax =150 / 133 =1,13 .

3.Определим перемещения на каждом силовом участке стержня. На первом силовом участке перемещения

Dl1 = N1 l1 / (Er A2 ) = 0 , так как N1=0. На втором участке перемещения

Dl2 = N2 l2 / (Er A2 ) = N2 2l / (Er A) = (-40 ×103 ×2×0,2) / (105 ×106 ×4×104 ) = -4×10-4 =

= -0, 4 мм (сокращение длины). Перемещение на третьем участке

Dl3 = Dl3¢ + Dl3¢¢,

где ∆l3' – перемещение подучастка третьего участка с меньшим сечением площадью 2А, а ∆l3'' – перемещение подучастка с бóльшим сечением 3A;

Dl3' = N3(0)×l3' / (Er ×A3' )+q(l3)2 / (2Er ×A3' ) = N3(0)×3l / (Er ×2A)+q(3l)2 / (2Er ×2A); Dl3' =(-40×103 ×3×0,2)/ (105 ×106 ×2×4×10-4 )+(200×103 ×(3×0,2)2 )/ (2×105 ×106 ×2 ×4 ×10-4 ); Dl3' = -3×10-4 + 4,5 ×10-4 = 0,15 мм (удлинение);

Dl3'' = N3(3l)×l3'' / (Er ×A3'' )+q(l3'' )2 / (2Er ×A3'' )= N3(3l)×2l / (Eч ×3A)+q(2l)2 / (2Eч 2A); Dl3'' =(80×103 ×2×0,2)/ (105 ×106 ×3×4×10-4 )+(200×103 (2×0,2)2 )/ (2×105 ×106 ×3×4 ×10-4 ); Dl3'' = 2,7 ×104 +1,3 ×10-4 = 4×10-4 м = 0,4 мм (удлинение);

Dl3 = 0,15 + 0, 4 = 0,55 мм Перемещение на четвертом участке

8

Dl4 = N4 l4 / ( Er ×A4 ) = N4 l / ( Er ×3A) =(100×103 ×0,2) / (10 5 ×10 6 ×3×4 ×10-4) =1,7×10-4 м =

= 0,17 мм (удлинение).

Построение эпюры перемещений сечений стержня∆l начинают от защемления, где перемещение защемлённого сечения Dl = 0. Тогда на границе четвертого и третьего участков оно составит Dl = 0,17 мм. На третьем участке перемещения сечений изменяются по параболе. В месте изменения размеров перемещение сечения составит

Dl = Dl4 + Dl3'' = 0,17 + 0, 4 = 0,57 мм.

Перемещение на границе третьего и второго участков:

Dl = Dl4 + Dl3'' + Dl3' = 0,17 + 0, 4 + 0,15 = 0,72 мм.

Первый силовой участок не нагружен внешними силами, поэтому не даёт приращения перемещения (Dl1 = 0) . Перемещение свободного конца стержня (рис. 6, е)

Dl = Dl4 + Dl3'' + Dl3' + Dl2 + Dl1 = 0,17 + 0, 4 + 0,15 - 0, 4 + 0 = 0,32 мм.

Эпюра на первом участке изображена прямой, параллельной базисной линии. Перемещение (удлинение) свободного конца Dl = 0,32 мм.

2. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ

Задание 2. Круглый стальной брус диаметромd1, одним концом жёстко закрепленный в заделке, воспринимает действие сосредоточенных, вращающих (скручивающих) моментов Ti (рис. 3). Построить эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания. Определить коэффициент запаса прочности бруса, если модуль сдвига стали G = 8 ×104 МПа, предельные касательные напряжения tlim =170 МПа. Исходные данные для расчета даны в табл. 2.

Указания по выполнению задания

1.Построить эпюру крутящих моментовT, применяя метод сече-

ний.

2.Построить эпюру касательных напряжений τ, используя эпюру

Ти зависимость t = Т / Wp .

3.Найти максимальное значение напряжений τmах на эпюре τ и определить коэффициент запаса прочности по формуле S =tlim /tmax , где τlim –

9

предельные напряжения, для пластических материаловtlim =tT , для хрупких -tlim = tв. Пределы текучестиτт и прочностиτв определяют по таблицам в зависимости от марки материала. Если tmax >tlim ( S <1), то наступает разрушение конструкции.

10