Метод.указ Мех.материалов и ОК

b и Ix , то есть швеллер №16 и двутавр №16, проверить их на проч-

ность и соответственно изменить соотношение масс mi / mш = Ai /Aш.

5. СЛОЖНОЕ НАГРУЖЕНИЕ

Задание 5. Стальной пространственный ломаный брус круглого поперечного сечения нагружен внешними силамиF1 и F2 (рис. 11). Рассчитать диаметр поперечного сечения бруса, если известно, что

Примечание. Знак минус в таблице указывает на, что сила направлена в противоположную сторону той, что показана на рис. 11.

Указания по выполнению задания

1.Применяя метод сечения для каждого участка ломаного бруса, строим эпюру изгибающих и крутящих моментов от каждой силы отдельно.

2.На базе метода суперпозиции сложением эпюр, полученных от каждой силы отдельно, строим результирующие эпюры изгибающих моментов M x , M y и крутящего момента Т.

3.Используя одну из гипотез прочности, определим эквивалент-

M 2 = M x2 + M y2 .

31

4. Из условия прочности определим значение диаметра в этом сечении, приняв допускаемые напряжения [s ] = sт / S.

32

Рис. 11. Расчётные схемы к заданию 5. В кружках – номера вариантов

33

ПРИМЕР РАСЧЕТА

Пространственный ломаный брус круглого сечения нагружен

Решение

1. При построении эпюр для пространственных брусьев выбирают текущую систему координат на прямолинейном участке со стороны свободного конца. При этом ось z всегда направляют в сторону свободного конца, а оси х и у правой системы координат размещают в плоскости сечения. При переходе к последующему участку поворачивают систему координат, принятую на предыдущем участке, относительно оси, перпендикулярной плоскости, образуемой смежными участками рамы.

Построение эпюр начинаем от свободного конца, двигаясь по прямолинейным участкам в сторону защемления. Эпюры строим, поочерёдно: сначала только от силы F1 , а затем только от силы F2 . Результирующие эпюры внутренних силовых факторов получим сложением эпюр, построенных от каждой силы в отдельности.

2. Строим эпюры только от силы F1 . На первом участке осьz направлена к свободному концу(рис. 12, а). Изгибающий момент действует относительно оси х, при переменной координате z1 полу-

чим M x1 = F1 × z1, 0 £ z1 £ l;

при z1 = 0 M x1 = F1 × 0 = 0;

при z1 = l M x1 = F1 ×l = 30 ×0, 2 = 6 кН·м (сжатый слой бруса снизу). На втором участке ось z направлена вдоль продольной оси к сво-

бодному концу. Перенесём силу F1 в начало второго участка, приложив к нему вращающий момент T = F1 ×l1 , постоянный на всем участке II и направленный против часовой стрелки (знак положительный). Изгибающий момент действует относительно оси х.

Введя переменную z2 , получим M x 2 = F1 × z2 , 0 £ z2 £ l;

34

свободному концу (рис. 12, а). В начале третьего участка действуют изгибающие моменты, постоянные на всей длине участка III:

M x3 = F1 ×l = 30 ×0, 2 = 6 кН·м (сжатый слой бруса слева); M y 3 = F1 ×l = 30 ×0,2 = 6 кН·м (сжатый слой бруса сзади).

На четвёртом участке осьz направлена вдоль продольной оси к свободному концу (рис. 12, а). В начале четвертого участка действует сила F1 и возникшие при её переносе вращающий моментT = F1 ×l , направленный против часовой стрелки(знак плюс), и изгибающий

(сжатый слой с начала участка до середины – сверху, а затем – снизу).

Эпюра крутящих моментов постоянная на всей длине участка четыре, T = F1 ×l = 30 ×0,2 = 6 кН·м (положительное направление).

3. Строим эпюры только от силы F2 . На первом и втором участках сила F2 не вызывает изгибающих и крутящих моментов. В этом можно убедиться, применяя метод сечений для каждого из участков.

На третьем участке вводим переменную координату z3 (0 £ z3 £l) . Изгибающий момент на этом участке: M x3 = F2 × z3 ,

Крутящий момент постоянный на всём четвертом участке T4 = F2 ×l = 40 ×0,2 = 8 кН·м (рис. 12, в).

35

4.Строим результирующую суммарную эпюру путем сложения эпюр моментов, действующих в одной плоскости. Например, на третьем участке эпюра M x3 :

при z3 = 0 M x 3 = F1 × l = 30 × 0, 2 = 6 кН·м;

при z3 = l M x 4 = F1 × l - F2 × l = l ( F1 - F2 ) = 0, 2(30 - 40) = -2 кН·м.

Эпюра представлена наклонной прямой, пересекающей базисную линию. Крутящий момент на четвёртом участке

T = F1 ×l - F2 ×l = l(F1 - F2 ) = 0,2 × (30 - 40) = -2 кН·м.

На остальных участках результирующие эпюры дублируют графики соответствующих участков эпюр от отдельных сил (рис. 12, г).

5. Определим диаметр поперечного сечения пространственного бруса из условия его прочности при сложном нагружении. Диаметр определяем по формуле

d = 310 × M экв III / [s ],

где M экв III – эквивалентный момент, полученный по третьей гипотезе

прочности, M экв III = M x2 + M y2 + T 2 , M x , M y - изгибающие моменты в опасном сечении относительно осейx и y соответственно; [s ]– до-

пускаемые напряжения, [s ] = s / S = 340 / 3 =113 МПа = 113 Н/мм2.

Рис. 12. К расчету балки при сложном нагружении: – расчётная

36

схема; б, в – эпюры изгибающих и крутящих моментов сил F1 и F2 ; г

–результирующая эпюра

Внаиболее нагруженном сечении защемления максимальный эквивалентный момент

M экв III = M x2 + M y2 + T 2 = 62 +162 + 22 = 17,2 кН·м,

тогда диаметр в наиболее нагруженном сечении:

d = 3(17, 2 ×106 ) / 113 = 53, 4 мм.

Принимаем диаметр бруса d = 54 мм.

6. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Задание 6. Определить диаметр для раздаточного вала постоянного сечения (рис. 13), передающего вращательное движение мощностью Р со шкива 1 на шкив 2 и 3 при частоте вращенияn (табл. 6). Допускаемые напряжения [s ] = 60 МПа, диаметры шкивов D1 , D2 и

D3 , силы натяжения ветвей ремня Fi = 2Fi ' , расстояние между шкивами li .

Указания по выполнению задания

1. Определить вращающие моменты, действующие на вал, по заданным значениям мощности P и частоты вращения n:

3.Перенести действующие на вал нагрузки на его ось. Отбросить опоры вала, заменив их действие опорными реакциями в вертикальной и горизонтальной плоскостях.

4.Составить уравнения равновесия всех сил, действующих на вал, отдельно в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Определить реакции опор в обеих плоскостях.

5.Построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной M x и

горизонтальной M y плоскостях и эпюру крутящих моментов.

6. Определить наибольшее значение эквивалентного момента:

37

M эквШ = M x2 + M y2 + T 2 .

7. Рассчитать диаметр вала в этом сечении d = 310 × MэквШ / [s ] .

38

Рис. 13. Расчётные схемы к заданию 6. В кружках – номера вариантов

39

ПРИМЕР РАСЧЁТА

Определить диаметр раздаточного вала постоянного сечения (рис. 14, а), передающего мощность Р = 3 кВт со шкива 1 на шкивы 2

и 3 при частоте вращения п = 60 мин -1 , диаметрах шкива D1 = 320 мм, D2 = 200 мм, D3 =180 мм, расстояниях l1 = l2 = l3 = l4 = 200 мм и допускаемых напряжениях [s ] = 50 МПа. Натяжение ветвей ремня

Fi = 2Fi '.

Таблица 6

Исходные данные к заданию 6

Решение

1. Определим вращающие моменты, действующие на вал от шкива

1:

T1 = P / w =30×P / (p ×n) =30×3×103 / (3,14×600) =47,8 Н·м.

Вращающие моменты, снимаемые со шкивов 2 и 3

T2 =T3 = 0,5×47,8 = 23,9 Н·м.

40