Метод.указ Мех.материалов и ОК

Рис. 3. Расчетные схемы к заданию 2. В кружках – номера вариантов

Таблица 2

11

Исходные данные к заданию 2

ПРИМЕР РАСЧЁТА

К круглому чугунному брусу, закреплённому с одной стороны в заделке, приложены вращающие моменты(рис. 4, а) T1 = 400 Н·м, T2 = 250 Н·м, T3 =100 Н·м, длина l = 0, 2 м, наружный диаметр d = 30 мм, отношение внутреннего диаметра к наружномуd0 / d = 0,8. Построить эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания. Определить коэффициент запаса прочности бруса при модуле сдвига чугуна Gч = 4×104 МПа и продольных касательных напряжениях tlim = 90 МПа.

Решение

1. Разбиваем брус вдоль продольной оси на четыре силовых участка. Границами участков являются границы бруса и сечения, в которых приложены вращающие моменты. Определение реакций в защемлении не обязательно, так как внутренние силовые факторы – крутящие моменты – можно найти методом сечений, перемещаясь вдоль продольной оси от свободного конца стержня(бруса) к защемлению (на

12

Выполним аналогичные операции на втором участке. К нижней части бруса сечения 2-2 приложим внешний вращающий момент Т3 и внутренний крутящий момент Т2, который условно считаем положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали крутящий момент Т2' направлен против часовой стрелки. Следует всегда задавать Т' положительным (против часовой стрелки), тогда результат всегда будет получаться правильным по знаку(против часовой стрелки – плюс, а по часовой – минус)..

Для второго участка уравнение статического равновесия имеет

вид

первом участке постоянный и направлен против часовой стрелки. На эпюре это прямая, параллельная базисной линии (рис. 4, б). Условие равновесия нижней части бруса на третьем участке имеет вид

åTi = 0; -T3 + T2' + T3' = 0 ; T3' = T3 -T2 =100 - 250 = -150 Н·м.

13

Крутящий момент Т3¢ на всем участке постоянный и направлен по часовой стрелке. Его эпюра представлена прямой, параллельной базисной линии.

Применим метод сечений для четвертого участка. Уравнение статического равновесия имеет вид

åTi =0; -T3 +T2 +T4' -T1 = 0 ; T4' = T3 -T2 +T1 =100 - 250 + 400 = 250 Н·м.

Крутящий момент Т4' на всем четвертом участке постоянный и направлен против часовой стрелки. Его эпюра представлена прямой, параллельной базисной линии (рис. 4, б).

2. Построим эпюру касательных напряженийτ для определения наиболее напряженных сечений бруса.

Предварительно необходимо рассчитать геометрические характеристики сечений круглого стержня (бруса).

Полярный момент сопротивления круглого сечения диаметромd определяют по формуле

Wp3 = 0,2d33 (1-(d0 / d3 )4 ) = 0,2×603 (1-0,84 )= 25,5×103 ммз.

Касательные напряжения на первом участке постоянны и равны

t1 = T1¢ / Wp1 = 0 .

На втором участке касательные напряжения зависят от диаметров d1 и d2. На первом подучастке второго участка при диаметреd1 касательные напряжения

14

t1 = T1' / Wp1 =100×103 / 3,2 ×103 = 31 Н/мм2 = 31 МПа.

На втором подучастке второго участка при диаметре d2 t1' = T1' / Wp2 =100 ×103 / 86,1×103 =1 Н/мм2 =1 МПа.

На первом подучастке третьего участка

t3 = T3' / Wp2 = -150 ×103 / 86,1×103 = -2 Н/мм2 = -2 МПа.

На втором подучастке третьего участка

t3' = T3' / Wp3 = -150×103 / 25,5×103 = -6 Н/мм2 = -6 МПа.

На четвертом участке

Полярный момент инерции для полого круглого сечения брусакольца (рис. 6) определяют по формуле

Ip = Ip' -Ip0 =(( pd4 ) / 32-( pd04 ) / 32) =(pd4 / 32) (1-d0 / d)4) »0,1d4(1-(d0 / d)4).

Имеем:

-при d1 = d = 30 мм

3. Определим перемещения сечений – углы поворота j i на каждом силовом участке стержня:

-на первом

-на втором

j2 = j2¢ +j2¢¢,

где j2' – угол поворота подучастка с диаметром d второго участка, а j2''– угол поворота на подучастке с диаметром 3d второго участка.

15

j2¢ = ( T2¢ l2¢) / ( G I p1) = (100 ×10 3 2 0,2 ×103 ) / (4 ×10 4 4,8 ×104 )= 2 ×10-2 рад, j2¢¢ = (T2¢l2¢¢) / (G I p2 ) = (100×103 ×2 ×0,2×103 ) / (4 ×104 ×387,4 ×104 )= 0,03×10-2 рад,

j2 = 2×10-2 + 0,02×10-2 = 2,03 ×10-2 рад;

-на третьем

j3 = j3¢ +j3¢¢,

где j3 '– угол поворота на подучастке с диаметром 3d третьего участка, а j3' '– угол поворота на подучастке с диаметром 2d,

j3¢ = (T3¢l3¢) / (G Ip2 ) = (-150×103 ×2×0,2×103 ) / (4×104 ×387,4×104) = -0,04 ×10-2 рад, j3'' = (T3¢l3¢¢) / (G I p3 ) = (-150×103 ×1×0,2×103 ) / (4×104 ×76,5×104 ) = -0,1×10-2 рад,

j3 = j3¢ +j3¢¢ = -0,04×10-2 - 0,1×10-2 = -0,14×10-2 рад;

-на четвёртом

j4 = (T4¢ l4 ) / (G I p3 ) = (250×103 ×0,2 ×103 ) / (4×104 ×76,5×104 ) = 0, 2×10-2 рад.

Построение эпюры углов сечений брусаj начинают от защемления, где поворот защемлённого сечения j = 0 . Тогда на границе тре-

тьего и четвертого участков угол поворота составитj = j4 = 0,2×10-2 рад. График представлен наклонной линией на четвёртом участке. На третьем участке в месте перехода диаметра2d в диаметр 3d угол поворота сечения

j = j4 +j3¢¢ = 0,2 ×10-2 - 0,1×10-2 = 0,1×10-2 рад.

На границе второго и третьего участков

j = j4 +j3¢¢ +j3¢ = 0,2 ×10-2 - 0,1×10-2 - 0,04×10-2 = 0,06×10-2 рад.

На втором участке в месте перехода диаметра 3d в диаметр d

j = j4 +j3'' +j3' +j2'' = (0,2 - 0,1 - 0,04 + 0,03 )×10-2 = 0,09×10-2 рад.

На границе первого и второго участков

j =j4 +j3¢¢ +j3¢ +j2¢¢ +j2¢ = (0,2 -0,1 -0,04 +0,03 +2)×10-2 = 2,09 ×10-2 рад.

На первом участке угол поворота (закручивания) сечений постоянный:

j =j4 +j3¢¢ +j3¢ +j2¢¢ +j2¢ +j1 = (0,2-0,1-0,04+0,03+2+0)10-2 =2,09×10-2 рад

.

График представлен прямой, параллельной базисной линии эпюры

16

(рис. 4, г). Угол закручивания свободного конца брусаj = 2,09×10-2 рад или 1,2 °.

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Задание 3. 0пределить геометрические характеристики сечения сложной формы (рис. 6): а) площадь; б) моменты инерции относительно центральных осей; в) полярный момент; г) центробежный момент инерции; д) положение главных центральных осей; е) главные центральные моменты инерции; ж) главные центральные радиусы инерции.

Исходные данные для расчета приведены в табл. 3, где b – угол поворота сечения против часовой стрелки от горизонтальной оси.

Таблица 3

Исходные данные к заданию 3

Указания по выполнению задания

1.Выбрать исходную систему координат х, у, вычислить относительно этих осей статические моменты сечения, найти центр тяжести сечения.

2.Провести через центр тяжести сечения осиxс , ус , параллель-

ные исходным.

3.Вычислить осевые, полярный и центробежный моменты относительно этих осей.

4.Определить положение главных центральных осей инерции u, v.

5.Вычислить значения главных центральных моментов инерции относительно осей u, v.

17

Рис. 6. Расчетные схемы плоских сечений к заданию3. В кружках – номера вариантов

18

6.Рассчитать значения главных центральных радиусов инерции ru

иrv.

19

Проводим параллельно исходным осям x и у через центр тяжести сечения С с координатами (44,7; 23,1) центральные оси координат xс

иус.

4.Вычислим моменты инерции относительно центральных осей

xс и yс.

Момент инерции сечения относительно оси xс

расстояния между осями xс21 и хc

a2 = y2 - yc = 20 - 23,1 = -3,1 мм;

площадь прямоугольника II

20