Методичка заоч МЛ_ ИВТ_2евысш2015

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Студенты БГТУ заочной формы обучения специальностей, связанных с информатикой, изучают курс математической логики и теории алгоритмов. При этом у них возникает потребность в методических указаниях, содержащих не только контрольные задания, но и краткие теоретические сведения к ним, а также примеры решения наиболее сложных задач, что облегчило бы заочникам выполнение контрольных работ.

Эту задачу и призвана решить данная работа.

Структура данных указаний такова: для каждого из заданий контрольных работ № 1 и № 2 сначала даются краткие теоретические сведения, затем формулируется постановка задачи, дается пример решения типовой задачи. После этого приводятся все варианты контрольных заданий (номера вариантов между студентами распределяет лично преподаватель).

Контрольная работа № 1.

Задание 1.

СТАНДАРТНЫЕ ФОРМЫ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Булевы функции (далее для краткости БФ) можно представлять в самых разных видах благодаря наличию многочисленных логических тождеств.

Приведем несколько важнейших логических тождеств:

1. x = x .

4.( xÚy)z =xzÚyz – раскрытие скобок.

5.x ~ y = xy Ú x × y – выражение эквиваленции через основные логи-

ческие операции.

6. x Dy = xy Ú xy – выражение исключающего «или» через основные логические операции.

7. x Þ y = x Ú y – выражение импликации через основные логические операции.

8. x ~ y = xDy – отрицание эквиваленции (отсюда ясно, что и наоборот, xDy = x ~ y ).

3

9.x Þ y = x × y – отрицание импликации.

10.xÚx=x, x×x=x.

11.xÚx =1, x×x =0.

12. xÚ1=1, x×1=x

13. xÚ0=x, x×0=0

Пользуясь этими тождествами, можно проводить самые разные преобразования БФ. Однако при этом надо иметь какую-то цель, а не просто заменять одно выражение другим.

Потребности математической логики привели к трём конкретным целям:

а) Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) – это дизъюнкция нескольких элементарных конъюнкций (ЭК) вида

xi1 × xi2 × ...× xik , где отрицания могут стоять на любых местах.

СДНФ обладает наибольшей логической простотой, так как ясно показывает все возможные случаи, когда истинна данная БФ.

Приводить данную формулу к виду СДНФ лучше всего с помощью следующего алгоритма:

Шаг 1. Добиться, чтобы в формуле остались только дизъюнкции, конъюнкции и отрицания аргументов (применяя тождества № 2–9) . Шаг 2. Добиться, чтобы конъюнкции выполнялись раньше дизъюнкций (раскрыть скобки по тождеству 4).

Шаг 3. Сделать все ЭК правильными, применяя тождества 11 и 13. Шаг 4.Сделать все ЭК полными, применяя тождество 12; а именно,

если в ЭК отсутствует переменная x, то домножить ее на 1=xÚx . При возникновении скобок вернуться к шагу 2.

Шаг 5. Ликвидировать одинаковые элементарные конъюнкции, применяя тождество 10.

ПРИМЕР. Преобразовать в СДНФ по алгоритму формулу

(xÞy)(z+x).

Решение. Применяем алгоритм по шагам:

1. Добьемся, чтобы в формуле остались только дизъюнкции, конъюнкции и отрицания аргументов: (x Þ y)(z + x) =(x Ú y)(zx Ú zx).

4

2.Добьемся, чтобы конъюнкции выполнялись раньше дизъюнкций (раскроем скобки): (x Ú y)(zxÚzx) = x ×zxÚ yzxÚxzx Ú yzx .

3.Делаем все элементарные конъюнкции правильными:

x×zxÚ yzxÚxzx Ú yzx =0Úxyz Úxz Úxyz = xyz Úxz Úxyz

4.Делаем все элементарные конъюнкции полными:

xyz Úxz Úxyz = xyz Úx(y Ú y)z Úxyz = xyz ÚxyzÚx × yz Úxyz

5. Ликвидируем одинаковые элементарные конъюнкции: xyz Ú xyzÚ x × yz Ú xyz = xyz Ú xyzÚ x × yz .

Получили СДНФ, задача решена.

б) Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) – это двойственное к СДНФ выражение, то есть конъюнкция нескольких

элементарных дизъюнкций. Например, выражение ( x Ú y )( y Ú z ) является СКНФ.

Легко понять, что получить СКНФ для данной БФ f можно с помощью понятия двойственности.

Определение : Пусть дана БФ f(x1, … ,xn). Двойственной к ней называется БФ f*, заданная формулой

f *(x1,..., xn ) = f (x1..., xn )

Если f*=f, то БФ называется самодвойственной.

Для получения СКНФ для заданной БФ f применяется следующий трехшаговый алгоритм:

1. Найти двойственную f* к данной БФ.

2. Привести f* к виду СДНФ.

3. Еще раз взять двойственную БФ: (f*)*= f = СКНФ.

ПРИМЕР. Преобразовать в СКНФ с помощью двойственности БФ

f=(xÞy)(z+x).

РЕШЕНИЕ. 1. Находим двойственную БФ:

f* =( x Þ y )( z + x ) =( x Þ y )Ú( z + x ) = x × y Ú z × x Ú z × x .

2. Преобразуем ее к СДНФ:

5

f * = x × y( z Ú z ) Ú z × x( y Ú y ) Ú z × x( y Ú y ) =

xyzÚxyz Úxyz Úxy×z ÚxyzÚx × yz =x × yzÚxyz ÚxyzÚxy×z Úxyz

– получили СДНФ.

3. Еще раз берем двойственную БФ:

(f*)*= f =( x Ú y Ú z )( x Ú y Ú z )( x Ú y Ú z )( x Ú y Ú z )( x Ú y Ú z )

– получили СКНФ.

в) Многочлен Жегалкина – это композиция сложений и умножений, а точнее выражение вида a + å xi1 xi2 ...xik , где суммирование ведет-

ся по некоторому множеству различных наборов (i1, i2,…, ik), в которых ни один индекс не повторяется.

Например, многочленами Жегалкина являются x+y+1, xy+z,

xyz+y+1, но не являются xxy+y, xz+zx+1 и т.п.

Любую БФ можно привести к виду многочлена Жегалкина, и притом единственным образом. Чтобы практически это сделать, достаточно перейти к трем основным логическим операциям (аналогично шагу 1 преобразования формулы в СДНФ), а затем применить два новых тождества:

14.x = x + 1 .

15.xÚy =xy+x+y.

Теперь, раскрыв скобки и приведя подобные члены по тождеству

16. x+x = 0,

мы получим многочлен Жегалкина.

ПРИМЕР. Преобразовать к виду многочлена Жегалкина БФ

f=(xÞy)(z~x).

РЕШЕНИЕ. f = ( x Ú y )( z D x ) = ( x y + x + y )( z + x + 1 ) =

= (( x + 1 ) y + x + 1 + y )( z + x + 1 ) = ( xy + x + 1 )( z + x + 1 ) =

= x y z + x z + z + x x y + x x + x + x y + x + 1 = x y z + x z + x + 1

– получили многочлен Жегалкина.

Степень многочлена Жегалкина – это наибольшее число множителей в его членах. Например, xyz+x+1 – многочлен Жегалкина степени 3. Многочлен Жегалкина степени 1 или 0 называется линейной функцией. Так, функции x+1 и x+y+ z – линейны.

7

Задание 2.

МИНИМИЗАЦИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Длиной ДНФ называется общее количество переменных, входящих в ее запись. ДНФ минимальной длины, тождественно равная данной функции, называется ее минимальной ДНФ (МДНФ).

Для практической минимизации ДНФ с небольшим числом переменных (3-4) вполне достаточно следующих двух приемов:

а) Прием склейки. Это действие, обратное к шагу 4 алгоритма преобразования формулы в СДНФ. А именно, если удалось выделить множитель вида x Ú x , то, заменив его единицей в силу тождества 12, мы существенно уменьшим длину ДНФ.

ПРИМЕР. Действуя по формулам xy Ú xy = x( y Ú y ) = x ×1 = x , то есть применив склейку по переменной y, мы уменьшили длину ДНФ с 4 до 1 и, безусловно, получили МДНФ.

б) Когда склеек больше нет (получена так называемая тупиковая ДНФ), могут помочь два сокращающих логических тождества:

19.xÚ xy = x – закон поглощения,

20.x Ú xy = x Ú y – закон сокращения.

ПРИМЕРЫ. 1) xy Ú xyz = xy – по закону поглощения;

2) xy Ú xyz = x( y Ú yz ) = x( y Ú z ) = xy Ú xz – по закону сокра-

щения. Мы уменьшили длину ДНФ с 5 до 4. Интуитивно ясно, что полученная ДНФ является минимальной (хотя строго доказать это не так просто).

Задание 2 контрольной работы № 1

а) Дана двоичная строка, представляющая собой столбец значений БФ f в ее таблице истинности.

Получить по этой строке СДНФ и привести ее к минимальной ДНФ. Для приведения СДНФ к минимальной применять на первом этапе процедуру склейки, а на втором – сокращающие логические тождества 19 и 20.

Приводим варианты к заданию 2(а):

8

б) Дана СДНФ в виде формулы. Привести ее к минимальной ДНФ. Для этого следует сначала привести данную формулу к какой-нибудь ДНФ, применив шаги 1 и 2 алгоритма преобразования формулы в СДНФ. После чего действуем точно так же, как в задании 1 контрольной работы № 2, то есть применяем склейки и сокращающие логические тождества.

Пример. Преобразовать к МДНФ формулу xy +( x Þ yzt ) . Решение. Приведем формулу к ДНФ:

xy +( x Þ yzt ) = xy ×( x Þ yzt )Ú xy ×( x Þ yzt ) =

= xy × x × yzt Ú( x Ú y )×( x Ú yzt ) = xy ×( y Ú z Ú t ) Ú( x Ú yx Ú x × yzt ) = xy × z Ú xy × t Ú x Ú yx Ú x × yzt – получили ДНФ.

Применяем закон поглощения и получаем ДНФ xy × z Ú xy × t Ú x . Применяем дважды закон сокращения и получаем ДНФ

y × z Ú y × t Ú x . По всем признакам она является минимальной ДНФ, длина ее равна l=5 и уменьшить длину не представляется возможным.

Если в Вашем варианте встретилась такая ситуация, сдавайте работу преподавателю – он точно определит, получена ли минимальная ДНФ или возможно еще её уменьшить.

Приводим варианты к заданию 2(б):

10

Легко доказать, что всякая композиция дизъюнкций и конъюнкций также монотонна.

Пример: f = xyzÚyt – монотонна, так как является композицией дизъюнкций и конъюнкций. Составлять таблицу истинности не нужно.

ПРОБЛЕМА ПОЛНОТЫ СИСТЕМ БФ.

Напомним два факта:

1)всякая БФ может быть представлена в виде композиции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания (например, СДНФ).

2)любая БФ может быть представлена в виде композиции сложения, умножения и константы (многочлен Жегалкина).

Обобщим эти два факта:

Определение: системы БФ {j1, j2,…,jn} называется полной, если любая БФ может быть представлена в виде их композиции.

Факты 1 и 2 показывают нам, что система {xÚy, xy} полна; система {x+y, xy, 0, 1} также полна.

Проблема полноты состоит в том, чтобы для любой заданной системы БФ выяснить, полна она или нет.

Эта проблема тесно связана с вопросом элементной базы логических схем: из каких стандартных логических элементов можно собрать любую схему.

Легко привести примеры НЕПОЛНЫХ систем.

Пример 1. Полна ли система {xÚy, xy} ? Так как любая композиция дизъюнкций и конъюнкций монотонна, то ни какую немонотонную БФ нельзя представить в виде композиции дизъюнкций и конъюнкций. Система неполна.

Пример 2. Полна ли система {x+y, x+y+z, 1} ? Так как все эти функции линейны (многочлены Жегалкина 1-й или 0-й степени), то любая их композиция также линейна, поэтому ни одна нелинейная БФ не может быть через них выражена. Система неполна.

Примеры 1 и 2 можно обобщить, введя важнейшее понятие.

ФУНКЦИОНАЛЬНО ЗАМКНУТЫЕ КЛАССЫ Определение. Множество БФ называются функционально замкнутым классом (ФЗК), если любая композиция функций из этого класса снова принадлежит ему же.