8. Кривые второго порядка

8.1. Написать уравнение окружности с центром С(-4;3), радиусом R=5 и построить ее. Лежат ли на этой окружности точки А(-1;-1), В(3;2), О(0;0)?

Ответ: А и О – на окружности, В – вне ее.

8.2. Построить окружности: 1) х²+у²-4х+6у-3=0; 2) х²+у²-8х=0; 3) х²+у²+4у=0.

8.3. Построить эллипс х²+4у²=16, найти его фокусы и эксцентриситет.

Ответ:

8.4. Построить эллипс 9х²+25у²=225. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнение директрис.

Ответ: а) а=5, b=3; б) F₁(-4;0), F₂(4;0); в) е=4/5; г) D₁: х=-25/4; D₂: х=25/4.

8.5. Написать каноническое уравнение эллипса, если: а) а=3, b=2; б) а=5, с=4; в) с=3, е=3/5; г) b=5, е=12/13; д) с=2 и расстояние между директрисами равно 5; е) е=1/2 и расстояние между директрисами равно 32.

Ответ: а) ; б); в); г); д); е).

8.6. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что: 1) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось b=3; 2) большая полуось а=6, а эксцентриситет е=0,5.

Ответ: 1) 2)

8.7. Земля движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Наименьшее расстояние от Земли до Солнца равно приблизительно 147,5 млн км, а наибольшее 152,5 млн км. Найти большую полуось и эксцентриситет орбиты Земли.

Ответ: а=150 млн км,

8.8. Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси Ох, проходит через точку М(-4; ) и имеет эксцентриситет е=3/4. Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиус-вектор точки М.

Ответ:

8.9. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осями, проходит через точки М₁(2;) иМ₂(0;2). Написать его уравнение, найти фокальные радиусы точки М₁ и расстояния этой точки до директрис.

Ответ: .

8.10. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки М(2) и А(6;0). Написать его уравнение, найти эксцентриситет и расстояния от точки М до фокусов.

Ответ:

8.11. Написать простейшее уравнение эллипса, у которого расстояния от одного из фокусов до концов большой оси равны 5 и 1.

Ответ: или

8.12. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, найти его центр С, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис:

а) 5х²+9у²-30х+18у+9=0;

б) 16х²+25у²+32х-100у-284=0;

в) 4х²+3у²-8х+12у-32=0.

Ответ: а) С(3;-1), а=3; b=,е=2/3, D₁: 2х+3=0; D₂: 2х-15=0;

б) С(-1;2), а=5; b=4, е=3/5, D₁: 3х+28=0; D₂: 3х-22=0;

в) С(1;-2), а=4; b=,е=1/2, D₁: у+10=0; D₂: у-6=0.

8.13. Определить траекторию точки М, которая при своем движении остается вдвое ближе к точке F(-1;0), чем к прямой х=-4.

Ответ:

8.14. Написать уравнение кривой, по которой движется точка М, если сумма расстояний от нее до точек F₁(-1;-1) и F₂(1;1) остается постоянной и равной 2.

Ответ: 2х²-2ху+2у²-3=0.

8.15. Написать уравнение кривой, по которой движется точка М, если расстояние от нее до точки F(3;0) остается в два раза меньше расстояния до прямой х+у-1=0.

Ответ: 7х²-2ху+7у²-46х+2у+71=0.

8.16. Построить эллипс , его директрисы и найти расстояния от точки эллипса с абсциссойх=-3 до правого фокуса и правой директрисы.

Ответ: r=7,4, d=9,25.

8.17. Построить гиперболу 16х²-9у²=144. Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.

Ответ: а) а=3, b=4; в) F₁(-5;0), F₂(5;0), в) е=5/3; г) у=±4/3х; д) х=±9/5.

8.18. Построить гиперболу х²-4у²=16 и ее асимптоты. Найти фокусы, эксцентриситет, угол между асимптотами.

Ответ:

8.19. Написать каноническое уравнение гиперболы, если: а) а=2, b=3; б) b=4, с=5; в) с=3, е=3/2; г) а=8, е=5/4; д) с=10 и уравнения асимптот ; е)е=3/2 и расстояние между директрисами равно 8/3.

Ответ: а) б)в); г)

д) е)

8.20. Гипербола симметрична относительно осей координат, проходит через точку М(6;-2) и имеет мнимую полуось b=2. Написать ее уравнение и найти расстояния от точки М до фокусов.

Ответ:

8.21. Убедившись, что точка М(-5;9/4) лежит на гиперболе , найти фокальные радиусы этой точки и ее расстояния до директрис.

Ответ: r₁=9/4; r₂=41/4; (М,D₁)=9/5, (М,D₂)=41/5.

8.22. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса .

Ответ: .

8.23. Найти точки гиперболы , находящиеся на расстоянии 7 от фокусаF₁.

Ответ: (-6;).

8.24. Построить гиперболу , ее директрисы и найти расстояния от точки гиперболы с абсциссойх=5 до левого фокуса и левой директрисы.

Ответ: Директриса х=3,2,е=1,25, r=10,25, d=8,2.

8.25. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояния от одной из ее вершин до фокусов равны 9 и 1.

Ответ: или .

8.26. Найти точки пересечения асимптот гиперболы х²-3у²=12 с окружностью, имеющей центр в правом фокусе гиперболы и проходящей через начало координат.

Ответ: (0; 0) и (6; ).

8.27. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис:

а) 16х²-9у²-64х-54у-161=0;

б) 9х²-16у²+90х+32у-367=0;

в) 16х²-9у²-64х-18у+199=0.

Ответ: а) С(2;-3), а=3, b=4, е=5/3, уравнения асимптот: 4х-3у-17=0 и 4х+3у+1=0; уравнения директрис: 5х-1=0 и 5х-19=0; б) С(-5;1), а=8, b=6, е=5/4, уравнения асимптот: 3х+4у+11=0 и 3х-4у+19=0; уравнения директрис: х=-11,4 и х=1,4; в) С(2;-1), а=4, b=3, е=5/4, уравнения асимптот: 4х+3у-5=0 и 4х-3у-11=0; уравнения директрис: у=-4,2 и у=2,2.

8.28. Построить следующие параболы и найти их параметры:

а) у²=6х; б) х²=5у; в) у²=-4х; г) х²=-у.

Ответ: а) р=3; б) р=5/2; в) р=2; г) р=1/2.

8.29. Построить параболы, заданные уравнениями: 1) у²=4х; 2) у²=-4х; 3) х²=4у; 4) х²=-4у, а также их фокусы и директрисы и написать уравнения директрис.

8.30. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(0;2) и от прямой у=4. Найти точки пересечения этой кривой с осями координат и построить ее.

Ответ:

8.31. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что:

а) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ох и р=1/2;

б) парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку М(4;-8);

в) фокус параболы находится в точке F(0;-3).

Ответ: а) у²=-х; б) х²=-2у; в) х²=-12у.

8.32. Написать уравнение параболы: 1) проходящей через точки (0;0) и (-1;2) и симметричной относительно оси Ох; 2) проходящей через точки (0;0) и (2;4) и симметричной относительно оси Оу.

Ответ: 1) 2).

8.33. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, найти координаты ее вершины А и величину параметра р:

а) у²=4х-8; б) х²=2-у; в) у=4х²-8х+7; г) у=-1/6х²+2х-7; д) х=-1/4у²+у; е) х=2у²-12у+14.

Ответ: а) А(2;0); р=2; б) А(0;2); р=1/2; в) А(1;3); р=1/8; г) А(6;-1); р=3; д) А(1;2); р=2; е) А(-4;3); р=1/4.

8.34. Вычислить фокальный радиус точки М параболы у²=12х, если у(М)=6.

Ответ: 6.

y

8.35. Зеркальная поверхность прожектора (рис.2) образована вращением параболы вокруг ее оси симметрии.

b

C

B

A

a

x

0

Рис.2

Диаметр зеркала 80 см, а глубина его 10 см. На каком расстоянии от вершины параболы нужно поместить источник света, если для отражения лучей параллельным пучком он должен быть в фокусе параболы?

Ответ: 40 см.

8.36. Определить область расположения кривой . Построить кривую.

Ответ:

8.37. Определить область расположения кривой . Построить кривую.

8.38. Перенесением начала координат упростить уравнения:

1) ; 2);

3) (у+2)²=4(х-3); 4) 2у=-(х+2)²;

5) х²+4у²-6х+8у=3; 6) у²-8у=4х;

7) х²-4у²+8х-24у=24; 8) х²+6х+5=2у.

Построить старые и новые оси координат и кривые.

Ответ: 5) 6)7)8)

8.39. Выделением полных квадратов и переносом начала координат упростить уравнения линий:

1) 2х² +5у²-12х+10у+13=0;

2) х²-у²+6х+4у-4=0;

3) у²+4у=2х;

4) х²-10х=4у-13.

Построить старые и новые оси координат и кривые.

Ответ: 1) 2)3)4)

8.40. Преобразовать к каноническому виду уравнения и построить кривые:

1) 3х² -2ху+3у²-4х-4у-12=0; 2) х²-6ху+у²-4х-4у+12=0.

Ответ: 1) 2)

8.41. Преобразовать к каноническому виду уравнения линий:

1) х²+4ху+4у²-20х+10у-50=0; 2) х² -4ху+4у²-6х+12у+8=0

и построить их.

Ответ: 1) 2) пара прямыхх-2у=31.

8.42. Преобразовать к каноническому виду уравнения и построить кривые:

1) х²-ху+у²-2х-2у-2=0; 2) 3х² +10ху+3у²-12х-12у+4=0.

Ответ: 1) 2)