2. Прямоугольные координаты точки и вектора. Базис

2.1. Построить вектор ==2+3+6и определить его длину и направление (проверить по формулеcos²α+cos²β+cos²γ=1).

Ответ:

2.2. Даны точки А(1;2;3) и В(3;-4;6). Построить вектор =, его проекции на оси координат и определить длину и направление вектора. Построить углы векторас осями координат.

Ответ:

2.3. На плоскости хОу даны точки А(4;2); В(2;3) и С(0;5) и построены векторы , и . Разложить геометрически и аналитически векторпо векторам.

Ответ: .

2.4. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;-2;3); В(3;2;1); С(6;4;4). Найти координаты его четвертой вершины D.

Ответ: D (4;0;6).

2.5. Даны три вершины А(3;-4;7); В(-5;3;-2) и С(1;2;-3) параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину D, противоположную В.

Ответ: D(9;-5;6).

2.6. Даны две смежные вершины параллелограмма А(-2;6); В(2;8) и точка пересечения его диагоналей М(2;2). Найти две другие вершины.

Ответ: С(6;-2); D(2;-4).

2.7. Определить координаты вершин треугольника, если известны середины его сторон: К(2;-4); М(6;1); N(-2;3).

Ответ: А(-6;-2); В(2;8); С(10;-6).

2.8. На оси абсцисс найти точку М, расстояние от которой до точки А(3;-3) равно 5.

Ответ: М₁(7;0) и М₂(-1;0).

2.9. На оси ординат найти точку М, равноудаленную от точек А(1;-4;7) и В(5;6;-5).

Ответ: М(0;1;0).

2.10. Даны вершины треугольника А(3;-1;5); В(4;2;-5) и С(-4;0;3). Найти длину медианы, проведенной из вершины А.

Ответ: 7.

2.11. Отрезок с концами с точках А(3;-2) и В(6;4) разделен на три равные части. Найти координаты точек деления.

Ответ: (4;0) и (5;2).

2.12. Определить координаты концов отрезка, который точками С(2;0;2) и D(5;-2;0) разделен на три равные части.

Ответ: (-1;2;4) и (8;-4;-2).

2.13. Треугольник задан координатами своих вершин А(3;-2;1); В(3;1;5); С(4;0;3). Вычислить расстояние от начала координат до точки пересечения медиан этого треугольника.

Ответ: .

2.14. Задан тетраэдр OABC. В базисе из ребер и. Найти координаты:

а) вектора гдеD и Е – середины ребер и;

б) вектора , гдеF – точка пересечения медиан основания АВС.

Ответ: а) (-1/2;1/2;1/2); б) (1/3;1/3;1/3).

2.15. В тетраэдре ОАВС медиана AL грани АВС делится точкой М в отношении . Найти координаты векторав базисе из ребери.

Ответ: (7/10;3/20;3/20).

2.16. Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О. В базисе из векторов инайти координаты:

а) вектора , гдеМ – точка пересечения диагоналей параллелограмма;

б) вектора , гдеК – середина стороны AD.

Ответ: а) (1/2;0;1/2); б) (1;-1/2;1/2).

2.17. В трапеции ABCD известно отношение длин оснований: . Найти координаты векторав базисе из векторов.

Ответ: (1;-1/;-1).

2.18. На плоскости заданы векторы (-1;2),(2;1) и(0;-2). Убедиться, что β=(,) – базис в множестве всех векторов на плоскости. Построить заданные векторы и найти разложение векторапо базису β.

Ответ: =-.

2.19. Показать, что тройка векторов (1;0;0),(1;1;0) и(1;1;1) образует базис в множестве всех векторов пространства. Вычислить координаты вектора в базисе β=(,) и написать соответствующее разложение по базису.

Ответ: =-2е₁+е₂-е₃.

2.20. Заданы векторы , ,. Найти:

а) координаты орта ;

б) координаты вектора ;

в) разложение вектора по базису β=();

г) .

Ответ: а) а₀(2/;3/;0); б)а-b+c=d(3;11/2;0); в) a+b-2c=-2j; г) пр_j(a-b)=6.

2.21. Найти координаты орта , если(6;7;-6).

Ответ: (6/11;7/11;-6/11).

2.22. Найти Z(), если Х()=3, Y()=-9 и ||=12.

Ответ: .

2.23. Найти длину и направляющие конусы вектора , если, k, .

Ответ: |p|=,cosα=9/,cosβ=8/,cosγ=3/.

2.24. Найти вектор , коллинеарный вектору, образующий с ортом острый угол и имеющий длину ||=15.

Ответ: х=-5i+10j+10k.

2.25. Найти вектор , образующий со всеми тремя базисными ортами равные острые углы, если ||=.

Ответ: х=2i+2j+2k.

2.26. Найти вектор , образующий с ортомугол 60^о, с ортом – угол 120^о, если ||=.

Ответ: х=±5i+j-k.

2.27. При каких значениях α и β векторы и коллинеарны?

Ответ: α=-1, β=4.