Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Геометрия и топология - метод. указания для I курса.docx
Скачиваний:
74
Добавлен:
16.05.2015
Размер:
798.01 Кб
Скачать

«УТВЕРЖДАЮ»            

Ректор университета              

_______________ О.Н. Федонин

«_____»___________ 2014г.      

Геометрия и топология

Методические указания и задачи

к практическим занятиям для студентов

I курса очной формы обучения

инженерно-технических специальностей

(I семестр)

Брянск 2014

УДК 511

Геометрия и топология [Текст]+[Электронный ресурс]: Методические указания и задачи к практическим занятиям для студентов I курса очной формы обучения инженерно-технических специальностей (I семестр). – Брянск: БГТУ. - с.

Разработали: ст.пр. Кобзев В.М.

доц. Сычева Н.В. 

Рекомендовано кафедрой «Высшая математика»

(протокол №    от . . ).

Научный редактор Гореленков А.И.

Редактор издательства Афонина Л.И.

Компьютерный набор Левкина А.П.

Темплан 2014 г., п.

Подписано в печать Формат 60х84 1/16 Бумага офсетная

Офсетная печать. Печ. Л. Уч.-изд. Л. Т. 30 экз. Заказ Бесплатно

Издательство Брянского государственного технического университета

Брянск, бульвар 50-летия Октября, 7, тел. 588-249

Лаборатория оперативной печати БГТУ, ул. Институтская, 16

Предисловие

В наши дни в естествознании инженерных науках и их всевозможных приложениях все большую роль играют математические методы исследования и проектирования. Это обусловлено ускоренным развитием компьютерных технологий, благодаря которым существенно расширяются возможности успешного применения математики при решении конкурсных общетеоретических и прикладных задач.

Немаловажную роль в их решении играют геометрические методы, поскольку зачастую именно в геометрических идеях и образах заложены выдающиеся идеи современных математических открытий.

1. Линейные операции над векторами

1.3. На трех компланарных векторах , и построен параллелепипед. Указать те вектор-диагонали, которые соответственно равны,,, и.

1.4. медианы треугольника АВС. Доказать равенство =0.

1.5. медианы треугольника АВС. Выразить через =и=векторы.

Ответ: ;;=.

1.6. В параллелограмме ABCD обозначены: =,=. Выразить черезивекторы, где М – точка пересечения диагоналей параллелограмма.

Ответ: ;;;.

1.7. В треугольнике АВС . Полагая,=,=, выразитьчерез векторыи.

Ответ: ;.

1.8. ABCDEF – правильный шестиугольник, причем =,=. Выразить черезивекторы

Ответ: ;.

1.9. М – точка пересечения медиан треугольника АВС, О – произвольная точка пространства. Доказать равенство .

1.10. В пространстве заданы треугольники АВС и A'B'C'; M и M' –точки пересечения их медиан. Выразить вектор через векторыи.

Ответ: ).

1.11. Точки Е и F – середины сторон AD и BC четырехугольника АВСD. Доказать, что . Ввести отсюда теорему о средней линии трапеции.

1.12. В трапеции ABCD отношение длины основания AD к длине основания BC равно . Полагая =,=, выразить черезивекторы

Ответ: .

1.13. В равнобедренной трапеции ОАСВ угол ВОА=60˚, ОВ=ВС=СА=2, М и N – середины сторон ВС и АС. Выразить векторы и – единичные векторы направленийи.

Ответ: ,, ,.

1.14. На стороне [AD] параллелограмма АВСD отложен вектор длины ||=1/5||, а на диагонали [AC] – вектор длины ||=1/6||. Доказать, что векторыколлинеарны и найти такое, что .

Ответ: =5.

1.15. Разложить вектор по трем некомпланарным векторам: , ,.

Ответ: s=.

1.16. Найти линейную зависимость между данными четырьмя некомпланарными векторами: , ,,.

Ответ: 3p-4q-3r-2s=0.

1.17. Даны четыре вектора . Вычислить их сумму, если известно, что, и векторы некомпланарны.

Ответ: 0

1.18. Даны три некомпланарных вектора . Доказать, что векторы ,,компланарны.

1.19. Даны три некомпланарных вектора . Вычислить значения  при которых векторы ,, компланарны.

Ответ: 0,1,2.

1.20. Даны три некомпланарных вектора . Вычислить значения  и µ при которых векторы и коллинеарны.

Ответ: =µ=1.