5. Смешанное произведение векторов

5.1. Векторы ,,образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и ||=4, ||=2, ||=3. Вычислить.

Ответ: 24.

5.2. Векторы образуют левую тройку, ||=1, ||=2, ||=3 и°;, . Найти .

Ответ: -3/2.

5.3. Заданы векторы (1;-1;3),(-2;2;1),(3;-2;5). Вычислить. Какова ориентация троек: а) (,,), б) (,,), в) (,,)?

Ответ: -7. а) левая; б) правая; в) правая.

5.4. Установить, образуют ли векторы ,и базис в множестве всех векторов, если:

а) (2;3;-1),(1;-1;3),(1;9;-11); б)(3;-2;1),(2;1;2),(3;-1;-2).

Ответ: а) нет; б) да.

5.5. Проверить, компланарны ли данные векторы:

а) , ,;

б) , ,.

Ответ: а) да; б) нет.

5.6. Доказать, что векторы  компланарны. Ответ:

5.7. Проверить компланарность векторов .

Ответ: компланарны.

5.8. При каком  векторы будут компланарны?

а) (;3;1), (5;-1;2),(-1;5;4); б)(1;2;1), (1;;0), (0;;1).

Ответ: а) -3; б) при любом .

5.9. Доказать, что четыре точки А(1,2,-1), В(0;1;5), С(-1;2;1) и D(2;1;3) лежат в одной плоскости.

5.10. Проверить, лежат ли точки А(2;-1;-2); В(1;2;1); С(2;3;0); D(5;0;6) в одной плоскости.

Ответ: не лежат.

5.11. Построить параллелепипед на векторах , ,и вычислить его объем. Правой или левой будет связка векторов?

Ответ: V=51, левая.

5.12. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Ответ: 51.

5.13. Построить пирамиду с вершинами О(0;0;0), А(5;2;0), В(2;5;0) и С(1;2;4) и вычислить ее объем, площадь грани АВС и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

Ответ: V=14,

5.14. Вычислить объем тетраэдра ОАВС, если ;;.

Ответ: 17/2.

5.15. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А(2;-3;5); В(0;2;1), С(-2;-2;3) и D(3;2;4).

Ответ: 6.

5.16. В тетраэдре с вершинами в точках А(1;1;1), В(2;0;2), С(2;2;2) и D(3;4;-3) вычислить высоту h=||.

Ответ: 3.

5.17. Задана пирамида с координатами своих вершин: А(2;0;0); В(0;3;0); С(0;0;6) и D(2;3;8). Вычислить ее объем и высоту, опущенную на грань АВС.

Ответ: 14; .

6. Прямая на плоскости

В задачах 6.1-6.3 требуется:

1. написать уравнение прямой, привести его к общему виду и построить прямую;

2. привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от начала координат до прямой.

6.1. Прямая L задана точкой М₀(х₀, у₀)L и нормальным вектором (A,B):

а) М₀(-1;2), (2;2); б)М₀(2;1), (2;0); в)М₀(1;1), (2;-1).

Ответ: а) 2(х+1)+2(у-2)=0. Общее уравнение: х+у-1=0. Нормальное уравнение: б) 2(х-2)=0. Общее уравнение: х-2=0, прямая параллельна оси Оу. Нормальное уравнение: х-2=0; р=2; в) 2(х-1)-(у-1)=0. Общее уравнение: 2х-у-1=0. Нормальное уравнение: .

6.2. Прямая L задана точкой М₀(х₀, у₀)L и направляющим вектором (l,m):

а) М₀(-1;2), (3;-1); б)М₀(1;1), (0;-1); в)М₀(-1;1), (2;0).

Ответ: а) . Общее уравнение:х+3у-5=0. Нормальное уравнение: б)Общее уравнение: -х+1=0, прямая параллельна оси Оу. Нормальное уравнение: х-1=0; р=1; в) . Общее уравнение:у-1=0, прямая параллельна оси Ох. Нормальное уравнение: у-1=0; р=1.

6.3. Прямая L задана точками М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂, у₂):

а) М₁(1;2), М₂(-1;0); б) М₁(1;1), М₂(1;-2); в) М₁(2;2), М₂(0;2).

Ответ: а) . Общее уравнение:х-у+1=0. Нормальное уравнение: б). Общее уравнение:х-1=0, прямая параллельна оси Оу. Нормальное уравнение х-1=0; р=1. в) . Общее уравнение:у-2=0, прямая параллельна оси Ох. Нормальное уравнение: у-2=0; р=2.

6.4. Построить прямую, отсекающую на оси Оу отрезок b=3 и составляющую с осью Ох угол: 1) 45˚; 2) 135˚. Написать уравнения этих прямых.

Ответ: 1) 2).

6.5. Определить параметры k и b для каждой из прямых: 1) 2х-3у=6; 2) 2х+3у=0; 3) у=-3; 4) .

Ответ: 1) 2)3)4)

6.6. Уравнения прямых: 1) 2х-3у=6; 2) 3х-4у+4=0 привести к виду в отрезках на осях.

Ответ: 1) 2)

6.7. Заданы прямая L и точка М. Требуется:

1) вычислить расстояние ρ(M,L) от точки М до прямой L;

2) написать уравнение прямой L', проходящей через точку М перпендикулярно заданной прямой L;

3) написать уравнение прямой L", проходящей через точку М параллельно заданной прямой L.

Исходные данные:

а) L: -2x+y-1=0, M(-1;2); б) L: 2y+1=0, M(1;0); в) L: х+y+1=0, M(0;-1).

Ответ: а) (М,L)=-2(x+1)+(y-2)=0;

б) (М,L)=2y=0;

в) (М,L)=0x+y+1=0.

6.8. Найти расстояния от точек А(4;3), В(2;1) и С(1;0) до прямой 3х+4у-10=0. Построить точки и прямую.

Ответ: 2,8; 0; 1,4.

В задачах 6.9-6.13 исследовать взаимное расположение заданных прямых L₁ и L₂. При этом в случае, если прямые параллельны, то найти расстояние (L₁,L₂) между прямыми, а в случае, если прямые пересекаются – косинус угла () и точкуМ₀ пересечения прямых.

6.9. L₁: -2x+y-1=0, L₂: 2y+1=0.

Ответ: пересекаются в точке М₀(-3/4;-1/2); cos()=1/.

6.10.

Ответ: пересекаются в точке М₀(1;0); cos()=2/.

6.11. L₁: x+y-1=0, L₂: 2х-2y+1=0.

Ответ: Параллельны; (L₁,L₂)=/4.

6.12. L₁: x+y-1=0,

Ответ: Параллельны; (L₁,L₂)=.

6.13. L₁: -x+2y+1=0, L₂: 2х-4y-2=0.

Ответ: совпадают.

6.14. Среди прямых 3х-2у+7=0, 6х-4у-9=0, 6х+4у-5=0, 2х+3у-6=0 указать параллельные и перпендикулярные.

6.15. Определить угол между прямыми:

1) у=2х-3, у=+1; 2) 5х-у+7=0, 2х-3у+1=0.

Ответ: 1) 2) 45˚.

6.16. Показать, что прямые 2х-3у=6 и 4х-6у=25 параллельны, и найти расстояние между ними.

Указание. На одной из прямых взять произвольную точку и найти расстояние от нее до другой прямой.

Ответ: .

6.17. Построить области, координаты точек которых удовлетворяют неравенствам:

1) y<2-x, x>-2, y>-2;

2) y>2-x, x<4, y<0;

3) ,y≥x+2, x≥-4.

6.18. Написать уравнения сторон ромба с диагоналями 10 см и 6 см, приняв бόльшую диагональ за ось Ох и меньшую – за ось Оу.

Ответ:

6.19. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(4;3) и отсекающей от координатного угла треугольник площадью, равной 3.

Ответ: или.

6.20. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М(8;6) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12.

Ответ: 3х-2у-12=0, 3х-8у+24=0.

6.21. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₀(2;4) и отстоящей от точки А(0;3) на расстояние =1.

Ответ: х+1=0, у-2=0.

6.22 Найти уравнения прямых, параллельных прямой 12х+5у-7=0 и отстоящих от нее на расстоянии d=3.

Ответ: 12х+5у-46=0, 12х+5у+32=0.

6.23. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₀(1;2) и удаленной от точки А(-2;-5) вдвое дальше, чем от точки В(1;8).

Ответ: 13х+у-11=0, 15х-у-13=0.

6.24. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₀(-2;3) на одинаковых расстояниях от точек М₁(5;-1) и М₂(3;7).

Ответ: 4х+у+5=0 или у-3=0.

6.25. Написать уравнение прямой, проходящей на расстоянии от точкиА(5;4) перпендикулярно прямой 2х+6у-3=0.

Ответ: 3х-у-1=0, 3х-у-21=0.

6.26. Найти точку В, симметричную точке А(-2;4) относительно прямой 3х+у-8=0.

Ответ: (4;6).

6.27. В треугольнике с вершинами А(-2;0), В(2;6) и С(4;2) проведены высота ВD и медиана ВЕ. Написать уравнения стороны АС, медианы ВЕ и высоты ВD.

Ответ:

6.28. Дан треугольник с вершинами А(-2;0), В(2;4) и С(4;0). Написать уравнения сторон треугольника, медианы АЕ, высоты АD и найти длину медианы АЕ.

Ответ: АЕ: AD:

6.29. Найти длину высоты BD в треугольнике с вершинами А(-3;0), В(2;5) и С(3;2).

Ответ:

6.30. Написать уравнения сторон треугольника АВС, если задана его вершина А(1;3) и уравнения двух медиан x-2y+1=0 и y-1=0.

Ответ: х+2у-7=0, х-4у-1=0, х-у+2=0.

6.31. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В(2;6), а также уравнения высоты x-7y+15=0 и биссектрисы 7x+y+5=0, проведенных из одной вершины.

Ответ: 4х-3у+10=0, 7х+у-20=0, 3х+4у-5=0.

6.32. Даны две противоположные вершины квадрата А(1;3) и С(-1;1). Найти координаты двух его других вершин и написать уравнения его сторон.

Ответ: В(1;1); D(-1;3); (АВ): х-1=0; (ВС): у-1=0; (CD): х+1=0;

(АD): у-3=0.

6.33. Известны уравнение одной из сторон квадрата x+3y-3=0 и точка пересечения диагоналей N(-2;0). Написать уравнения остальных его сторон.

Ответ: 3х-у+1=0, х+3у+7=0, 3х-у+11=0.

6.34. Из точки М(5;4) выходит луч света под углом φ=arctg2 к оси Ох и отражается от нее. Написать уравнения падающего и отраженного лучей.

Ответ: у-2х+6=0, у+2х-6=0.