Образец исследования в области экономики:
Исследование 1.
Фирма провела рекламную компанию. Через 10 недель менеджер проанализировал эффективность этого вида рекламы, сопоставив недельные объемы продаж (y у.е.) с расходами на рекламу (x, у.е.).
|
x |
5 |
8 |
6 |
5 |
3 |
9 |
12 |
4 |
3 |
10 |
|
y |
72 |
76 |
78 |
70 |
68 |
80 |
82 |
65 |
62 |
90 |
Полагая, что между переменными имеет место линейная зависимость, составить выборочное уравнение регрессии методом наименьших квадратов и найти ожидаемое значение еженедельного объема продаж при расходах на рекламу
.Определить тесноту взаимосвязи исследуемых признаков, применяя метод Бравэ-Пирсона и оценить достоверность коэффициента корреляции при уровне значимости 0,05.
Решение.
1. Выборочное
уравнение регрессии
составим, используя метод наименьших
квадратов. Для вычисления значенийa
и b
по формулам
и
составим
расчетную таблицу:
(Заполните самостоятельно)
|
№ варианта |
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
72 |
25 |
360 |
5184 |
|
2 |
8 |
76 |
|
|
|
|
3 |
6 |
78 |
|
|
|
|
4 |
5 |
70 |
|
|
|
|
5 |
3 |
68 |
|
|
|
|
6 |
9 |
80 |
|
|
|
|
7 |
12 |
82 |
|
|
|
|
8 |
4 |
65 |
|
|
|
|
9 |
3 |
62 |
|
|
|
|
10 |
10 |
90 |
|
|
|
|
∑ |
65 |
743 |
509 |
5040 |
55861 |
Подставляя в формулы значения, получим (завершите расчеты):
Подставив найденные
значения a
и b
в уравнение
,
получим:
–выборочное
уравнение линейной регрессии.
(Для вычисления
ожидаемого значения еженедельного
объема продаж при
расходах
на рекламу
,
подставим данное значение в уравнение
регрессии.)
При
имеем:
2. Вычислим значение коэффициента корреляции Пирсона:
(Если значение r больше 0, то между исследуемыми признаками существует положительная связь, поэтому с увеличением значения х соответствующее значение у также увеличивается. Если значение r отрицательно, то и связь отрицательная, то есть с увеличением значения х соответствующее значение у будет уменьшаться.
При
связь отсутствует.
При
связь слабая.
При
связь умеренная.
При
связь средняя.
При
связь сильная.
При
связь функциональная.)
Вывод. Найденное значение близко к 1, что свидетельствует о _________ _____________________________связи (с ростом расходов на рекламу объем продаж будет ___________________________. Таким образом, данный вид рекламы является ______________________________________.
Оценим достоверность
коэффициента корреляции, воспользовавшись
таблицей критических значений коэффициента
корреляции r
(приложение
1) при уровне значимости 0,05 и числе
степеней свободы
____.
(Если
,
то коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона
признается достоверным, то есть данная
зависимость наблюдается в генеральной
совокупности. В противном случае
коэффициент корреляции недостоверен,
то есть данная зависимость не наблюдается
в генеральной совокупности.)
Вывод. ________________________________________________________
________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Исследование 2.
Два человека дегустируют 10 сортов
энергетических напитков. Каждый из них
расположил эти сорта в порядке убывания
предпочтения. Определите при доверительной
вероятности
,
есть ли связь между этими результатами?
|
Сорт напитка |
А |
Б |
В |
Г |
Д |
Е |
Ж |
З |
И |
К |
|
Дегустатор 1 |
1 |
7 |
5 |
6 |
2 |
3 |
4 |
9 |
8 |
10 |
|
Дегустатор 2 |
2 |
6 |
3 |
7 |
1 |
4 |
5 |
10 |
8 |
9 |
Решение.
Вычислим значение
коэффициента ранговой корреляции
Спирмена по формуле
,
где
,
причем
.
Для упрощения расчетов заполним таблицу:
|
Сорт напитка |
Дегустатор 1 Rx |
Дегустатор 2 Ry |
d |
|
|
А |
1 |
2 |
-1 |
1 |
|
Б |
7 |
6 |
|
|
|
В |
5 |
3 |
|
|
|
Г |
6 |
7 |
|
|
|
Д |
2 |
1 |
|
|
|
Е |
3 |
4 |
|
|
|
Ж |
4 |
5 |
|
|
|
З |
9 |
10 |
|
|
|
И |
8 |
8 |
|
|
|
К |
10 |
9 |
|
|
|
∑ |
– |
– |
0 |
12 |
Используя результаты расчетов, получим:
Определим
достоверность коэффициента корреляции
Спирмена , сравнив расчетное значение
критерия с критическим. Критическое
значение критерия Стьюдента определим
по таблице распределения (см. приложение
2) при условии, что
и
.
(Если
,
то коэффициент корреляции Спирмена
признается достоверным, т.е. между
результатами дегустации присутствует
значимая ранговая корреляционная связь.
Если
,
то коэффициент корреляции Спирмена не
может быть признан достоверным, т.е.
между результатами дегустации отсутствует
значимая ранговая корреляционная
связь.)
Вывод.
Т.к.
,
то коэффициент корреляции Спирмена
____________
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Приложение 1.
Критические значения коэффициента корреляции (r)
|
Число степеней
свободы
|
Уровень
значимости
|
Число степеней
свободы
|
Уровень
значимости
| ||
|
0,05 |
0,01 |
0,05 |
0,01 | ||
|
5 |
0,75 |
0,87 |
27 |
0,37 |
0,47 |
|
6 |
0,71 |
0,83 |
28 |
0,36 |
0,46 |
|
7 |
0,67 |
0,80 |
29 |
0,36 |
0,46 |
|
8 |
0,63 |
0,77 |
30 |
0,35 |
0,45 |
|
9 |
0,60 |
0,74 |
35 |
0,33 |
0,42 |
|
10 |
0,58 |
0,71 |
40 |
0,30 |
0,39 |
|
11 |
0,55 |
0,68 |
45 |
0,29 |
0,37 |
|
12 |
0,53 |
0,66 |
50 |
0,27 |
0,35 |
|
13 |
0,51 |
0,64 |
60 |
0,25 |
0,33 |
|
14 |
0,50 |
0,62 |
70 |
0,23 |
0,30 |
|
15 |
0,48 |
0,61 |
80 |
0,22 |
0,28 |
|
16 |
0,47 |
0,59 |
90 |
0,21 |
0,27 |
|
17 |
0,46 |
0,58 |
100 |
0,20 |
0,25 |
|
18 |
0,44 |
0,56 |
125 |
0,17 |
0,23 |
|
19 |
0,43 |
0,55 |
150 |
0,16 |
0,21 |
|
20 |
0,42 |
0,54 |
200 |
0,14 |
0,18 |
|
21 |
0,41 |
0,53 |
300 |
0,11 |
0,15 |
|
22 |
0,40 |
0,52 |
400 |
0,10 |
0,13 |
|
23 |
0,40 |
0,51 |
500 |
0,09 |
0,12 |
|
24 |
0,39 |
0,50 |
700 |
0,07 |
0,10 |
|
25 |
0,38 |
0,49 |
900 |
0,06 |
0,09 |
|
26 |
0,37 |
0,48 |
1000 |
0,06 |
0,09 |
Приложение 2.
Критические точки распределения Стьюдента
|
Число степеней свободы ν |
Уровень значимости α (двусторонняя критическая область) | |||||
|
0,10 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,002 |
0,001 | |
|
1 |
6,31 |
12,7 |
31,82 |
63,7 |
318,3 |
637,6 |
|
2 |
2,92 |
4,30 |
6,97 |
9,92 |
22,33 |
31,6 |
|
3 |
2,35 |
3,18 |
4,54 |
5,84 |
10,22 |
12,9 |
|
4 |
2,13 |
2,78 |
3,75 |
4,60 |
7,17 |
8,61 |
|
5 |
2,01 |
2,57 |
3,37 |
4,03 |
5,89 |
6,86 |
|
6 |
1,94 |
2,45 |
3,14 |
3,71 |
5,21 |
5,96 |
|
7 |
1,89 |
2,36 |
3,00 |
3,50 |
4,79 |
5,40 |
|
8 |
1,86 |
2,31 |
2,90 |
3,36 |
4,50 |
5,04 |
|
9 |
1,83 |
2,26 |
2,82 |
3,25 |
4,30 |
4,70 |
|
10 |
1,81 |
2,23 |
2,76 |
3,17 |
4,14 |
4,59 |
|
11 |
1,80 |
2,28 |
2,72 |
3,11 |
4,03 |
4,44 |
|
12 |
1,78 |
2,18 |
2,68 |
3,05 |
3,93 |
4,32 |
|
13 |
1,77 |
2,16 |
2,65 |
3,01 |
3,85 |
4,22 |
|
14 |
1,76 |
2,14 |
2,62 |
2,98 |
3,79 |
4,14 |
|
15 |
1,75 |
2,13 |
2,60 |
2,95 |
3,73 |
4,07 |
|
16 |
1,75 |
2,12 |
2,58 |
2,92 |
3,69 |
4,01 |
|
17 |
1,74 |
2,11 |
2,57 |
2,90 |
3,65 |
3,96 |
|
18 |
1,73 |
2,10 |
2,55 |
2,88 |
3,61 |
3,92 |
|
19 |
1,73 |
2,09 |
2,54 |
2,86 |
3,58 |
3,88 |
|
20 |
1,73 |
2,09 |
2,53 |
2,85 |
3,55 |
3,85 |
|
21 |
1,72 |
2,08 |
2,52 |
2,83 |
3,53 |
3,82 |
|
22 |
1,72 |
2,07 |
2,51 |
2,82 |
3,51 |
3,79 |
|
23 |
1,71 |
2,07 |
2,50 |
2,81 |
3,49 |
3,77 |
|
24 |
1,71 |
2,06 |
2,49 |
2,80 |
3,47 |
3,74 |
|
25 |
1,71 |
2,06 |
2,49 |
2,79 |
3,45 |
3,72 |
|
26 |
1,71 |
2,06 |
2,48 |
2,78 |
3,44 |
3,71 |
|
27 |
1,71 |
2,05 |
2,47 |
2,77 |
3,42 |
3,69 |
|
28 |
1,70 |
2,05 |
2,46 |
2,76 |
3,40 |
3,66 |
|
29 |
1,70 |
2,05 |
2,46 |
2,76 |
3,40 |
3,66 |
|
30 |
1,70 |
2,04 |
2,46 |
2,75 |
3,39 |
3,65 |
|
40 |
1,68 |
2,02 |
2,42 |
2,70 |
3,31 |
3,55 |
|
60 |
1,67 |
2,00 |
2,39 |
2,66 |
3,23 |
3,46 |
|
120 |
1,66 |
1,98 |
2,36 |
2,62 |
3,17 |
3,37 |
|
Число степеней свободы ν |
0,05 |
0,025 |
0,01 |
0,005 |
0,001 |
0,0005 |
|
Уровень значимости α (односторонняя критическая область) | ||||||