7.1. 7.2.

7.3. 7.4.

7.5. 7.6.

7.7. 7.8.

7.9. 7.10.

7.11. 7.12.

7.13. 7.14.

7.15. 7.16.

7.17. 7.18.

7.19. 7.20.

7.21. 7.22.

7.23. 7.24.

VIII. Решение дифференциальных уравнений

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение

которое связывает независимый аргумент x, неизвестную функцию y и ее производные Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок производной, входящей в уравнение.

Решением дифференциального уравнения называется функция , которая при подстановке в уравнение превращает его в тождество. График этой функции называетсяинтегральной кривой.

Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида:

называется уравнением с разделенными переменными. Уравнение, которое приводится к данному виду, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Пример 8.1. Решить дифференциальное уравнение:

Решение.

Таким образом, получаем общий интеграл:

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение вида:

где и– однородные функции одинакового измерения, называетсяоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Данное уравнение можно привести к виду где– однородная функция нулевого измерения. С помощью заменыгде– новая неизвестная функция, рассматриваемое уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 8.2. Решить дифференциальное уравнение:

Решение. Сделаем замену и получим:

;

Сделав обратную замену получим общий интеграл:

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид

где и– некоторые (непрерывные) функции переменной. В случае, когда функциятождественно равна нулю, уравнение называетсяоднородным, в противном случае – неоднородным.

Будем искать решение в виде . Очевидно, что здесь искомыми становятся функциии. Так как, то из определения следуетили

Найдем сначала какое-либо частное решение уравнения

Тогда функция – решение уравнения

Таким образом, решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными.

Пример 8.3. Решить уравнение

Решение. Разделив обе части уравнения на , получим линейное неоднородное уравнение:

Пусть , т.е., тогда исходное уравнение примет видили

Положим или, откуда. Проинтегрировав, найдем какое-либо частное решение этого уравнения, например, прии. Приравенствообратится в уравнение, или. Решая данное уравнение с разделяющимися переменными, получаем. Тогда окончательно имеем:

Уравнение Бернулли.

Уравнение вида

где

называется уравнением Бернулли. Данное уравнение приводится к линейному с помощью подстановки . Также можно использовать подстановкуили метод вариации произвольных постоянных.

Пример 8.4. Решить дифференциальное уравнение

Решение. Сделаем замену и получим

Сгруппируем второе слагаемое с третьим:

()

Приравняем к нулю выражение в квадратных скобках и найдем функцию :

Подставив в (), находим:

Отсюда