4. Размерность величин и их анализ

Любую гидравлическую модель можно представить как некое аналоговое устройство, способное решать систему рассматриваемых уравнений. При этом вид этих уравнений знать совершенно не обязательно. При учете специфики гидравлических явлений всегда есть возможность перейти от широкого к более узкому кругу задач, что существенно упрощает процесс моделирования и, в конечном счете, исходные уравнения. Например, переход от общего уравнения гидродинамики (Навье-Стокса) к более частному случаю может выглядеть следующим образом:

1. механическое движение,

2. движение сплошной среды,

3. движение жидкости,

4. движение капельной жидкости,

5. напорное турбулентное движение.

За счет такой детализации существенно сокращается число критериев подобия, а следовательно, упрощается процесс моделирования. Однако на реальных объектах происходят процессы с малопредсказуемыми результатами, что вызывает проблемы с замыканием системы уравнений, и усложняет процесс моделирования. В этом случае при использовании одних и тех же уравнений движения и соответствующих им критериев подобия можно существенно упростить процесс моделирования. Для этого используется теория анализа размерности, представляющая собой анализ гидродинамики в самом общем виде.

Теория анализа размерности

Все физические величины подразделяются на размерные, значения которых зависят от принятой системы единиц, и безразмерные, которые от этой системы не зависят. Между собой физические величины связаны основными физическими значениями.

Размерные величины делятся на основные (для задач гидротехники: длина, масса, время) и производные (скорость, давление, плотность, вязкость, ускорение), они зависят от основных размерных величин и представлены в виде формулы размерности:

В зависимости от того, какие значения принимают n₁, n₂, n₃, данное выражение позволяет получить размерность любых физических величин. Иногда для этого требуется вводить дополнительные константы, а в случае наличия других источников энергии (тепловой, электрической и т.д.) и другие размерные величины (канделла). Основные физические законы в общем случае независимы от выбора величин и могут быть записаны в виде уравнения связи между этими величинами (между m, n – величинами):

φ(x, …, x_n) = 0

Если в этом уравнении среди n-величин имеется k безразмерных, то эта зависимость может быть записана с уменьшением количества переменных на величину k:

φ(x, …, x_n-k) = 0.

Это утверждение называется π-теоремой Ньютона, которая позволяет:

1. уменьшить количество исследуемых параметров модели;

2. при использовании в качестве этих параметров критериев гидравлического подобия получить адекватную численную модель процессов, происходящих на объекте (адекватно уравнению Навье-Стокса).

5. Закон подобия Ньютона

На основе уравнений механики Ньютон сформулировал условия подобия гидравлических процессов следующим образом: условие однозначности протекающих на модели и на объекте гидравлических процессов обусловлено идентичностью критериев гидродинамического подобия π = idem.

Набор критериев модели и объекта аналогичен и одинаковые критерии совпадают. Кроме этого должны быть равны критерии геометрического подобия.

Сущность закона подобия Ньютона состоит в следующем:

1. Составляется список сил, участвующих в задаче.

2. Каждая из этих сил выражается через величины, характеризующие явление, протекающее на модели и на объекте через физическое представление размерных величин, обусловливающих эти силы.

F = ma.

3. Составляется отношение сил, представляющих собой критерии гидродинамического подобия.

4. Число безразмерных критериев приравнивается к числу независимых сил, участвующих в процессе моделирования.

Основой закона подобия Ньютона является второй его закон, при этом силы разной природы соотносятся с силами.

Некоторые из рассматриваемых сил могут быть весьма малыми, но при сопоставлении друг с другом их отношение может варьироваться в очень широком диапазоне.

Тем не менее, отбрасывать такие силы не представляется возможным. Сведем большинство сил гидродинамики в таблицу критериев подобия и вычислим их отношение:

U – скорость,

E – модуль упругости,

ρ – плотность,

γ – поверхностное натяжение,

l – характеристические размеры,

p – гидростатическое давление,

μ – динамическая вязкость,

g – ускорение свободного падения.

В том случае, если процессы в гидродинамике сопровождаются другими явлениями, то этот список критериев дополняется другими, которые однозначным образом характеризуют процесс переноса массы, энергии и т.д. Эти критерии получаются на основе аналогичного соотношения сил с учетом уравнений баланса тепла, массы и энергии.

Таблица 1. Критерии подобия

Основные силы	Сила тяжести FG, [FG]=[][l3][g]	Сила упругости FE, [FE]=[E][l]2	Сила поверхностного натяжения FS, [FS]=[S][l]	Сила давления FP, [FP]=[P][l]2	Сила вязкости F, [F]=[][U][l]
Сила инерции FI, [FI]=[][U]2[l]2	Число Фруда	Число Коши	Число Вебера	Число Эйлера	Число Рейнольдса
F				Число Стокса
FP
FS
FE